安徽省阜陽市2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)數(shù)學(xué)試題

阜陽市20232024學(xué)年度高三教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)測(cè)試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合或，集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義列出不等式，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)榛?，，且，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B．2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和模長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】，故，.故選：B3.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示．則有A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對(duì)稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且彎曲較陡峭，選A．4.已知數(shù)列滿足，則“為遞增數(shù)列”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由為遞增數(shù)列得，再由充分條件與必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由為遞增數(shù)列得，，則對(duì)于恒成立，得．可得，反之不行，故選：C．5.降水量是指水平地面上單位面積降水深度（單位：）．氣象學(xué)中，把24小時(shí)內(nèi)的降水量叫作日降雨量，等級(jí)劃分如下：降水量等級(jí)小雨中雨大雨曝雨某數(shù)學(xué)建模小組為了測(cè)量當(dāng)?shù)啬橙盏慕邓?，制作了一個(gè)上口直徑為，底面直徑為，深度為的圓臺(tái)形水桶（軸截面如圖所示）．若在一次降水過程中用此桶接了24小時(shí)的雨水恰好是桶深的，則當(dāng)日的降雨所屬等級(jí)是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由圓臺(tái)的體積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)上口半徑為，下口半徑為，桶深為，水面半徑為，則，降水量的體積，降水深度為，屬于大雨等級(jí).故選：C．6.已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為，半徑，則，直線PQ與圓C相切，有，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上，所以，則．即的最小值是.故選：A7.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】，，，.故選：D．8.已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若存在，使得，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合賦值法求出，并由單調(diào)性脫去法則，轉(zhuǎn)化為二次方程在上有解即得.【詳解】任取，且，則，而當(dāng)時(shí)，，于是，又，因此，則函數(shù)是增函數(shù)，而，于是，令，得，令，得，令，得，令，得，令，得，即有，因此，原問題即在有解，令，則在時(shí)有解，從而，，所以a的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，頻率分布直方圖和方差，下列說法正確的是（）A.改變其中一個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)和眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變B.頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等C.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)D.樣本數(shù)據(jù)的方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、頻率分布直方圖和方差的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，例如：數(shù)據(jù)1，3，3，將數(shù)據(jù)改成2，3，3，數(shù)據(jù)的眾數(shù)未改變，仍為3，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法，頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，所以B正確；對(duì)于C中，根據(jù)頻率分布直方圖可得，單峰不對(duì)稱且在右邊“拖尾”，則平均數(shù)大于中位數(shù)，所以C正確；對(duì)于D．樣本數(shù)據(jù)方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，離散程度越小，所以D正確故選：BCD．10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)都在上，，三點(diǎn)共線，（不與重合）為上頂點(diǎn)，則（）A.的最小值為4 B.為定值C.存在點(diǎn)，使得 D.【答案】BCD【解析】【分析】求出可判斷A；由橢圓的對(duì)稱性可判斷B；因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)可判斷C；求出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的方程可知，所以焦點(diǎn)，設(shè)，則，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓的對(duì)稱性可知，，可得B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以以為直徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則存在點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，則，故D正確．故選:BCD．11.2022年9月錢塘江多處出現(xiàn)罕見潮景“魚鱗潮”，“魚鱗潮”的形成需要兩股涌潮，一股是波狀涌潮，另外一股是破碎的涌潮，兩者相遇交叉就會(huì)形成像魚鱗一樣的涌潮．若波狀涌潮的圖像近似函數(shù)的圖像，而破碎的涌潮的圖像近似（是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）的圖像．已知當(dāng)時(shí)，兩潮有一個(gè)交叉點(diǎn)，且破碎的涌潮的波谷為－4，則（）A. B.C.是偶函數(shù) D.在區(qū)間上單調(diào)【答案】BC【解析】【分析】由，求得，由題意得，由，，解出，由破碎的涌潮的波谷為4，解得，得到和解析式，逐個(gè)判斷選項(xiàng).【詳解】，則，由題意得，即，故，因?yàn)椋?，所以，所以，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槠扑榈挠砍钡牟ü葹?，所以的最小值為，即，得，所以，則，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，則選項(xiàng)C正確；，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上不單調(diào)，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．12.如圖，在四邊形中，分別為的中點(diǎn)，，則______．【答案】##【解析】【分析】連接、，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】連接、，所以，，又、分別為、的中點(diǎn)，所以，所以．故答案為：13.拋物線繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，得到拋物線，其準(zhǔn)線方程為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于頂點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，求出，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由于拋物線繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)之后，拋物線的頂點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離與到其焦點(diǎn)的距離相等，即為且可知，則，則，所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：.14.已知，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，將已知條件兩邊同時(shí)平方兩式相加，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系與余弦函數(shù)的和差公式即可求解；第二空，利用三角函數(shù)的和差公式得到，再利用倍角公式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】由可得，即，由可得，即，兩式相加可得，即，解得；因?yàn)椋?，所以，所以．故答案為：?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)半角公式的轉(zhuǎn)化，從而得解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，角的對(duì)邊分別是，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面積．【答案】15.16.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊化角，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理得，因?yàn)椋?，即，即．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕拘?詳解】．因?yàn)?，所以①．因?yàn)椋寓冢?lián)立①②可得，解得（負(fù)根舍去），故的面積為．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是正方形，是等邊三角形，平面平面，E，F(xiàn)分別是棱PC，AB的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求平面PBC與平面PDF夾角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理結(jié)合條件可得平面，然后利用坐標(biāo)法，可得平面的法向量，進(jìn)而即得；（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.【小問1詳解】因?yàn)槭堑冗吶切?，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，底面是正方形，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨令，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，即，又平面，所以平面；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，又平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面PBC與平面PDF夾角的余弦值為.17.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)直線過點(diǎn)，當(dāng)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為．（1）求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）當(dāng)直線與雙曲線交于異于的兩點(diǎn)時(shí)，記直線的斜率為，直線的斜率為．是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而可得，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式表達(dá)斜率，進(jìn)而代入化簡(jiǎn)即可求解.【小問1詳解】，故當(dāng)直線過且與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，與的漸近線平行．設(shè)直線，則點(diǎn)到直線的距離為，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由題可知，直線的斜率不為0，設(shè)直線，由得．成立，則，．，．故存在實(shí)數(shù)，使得成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答直線與圓錐曲線相交的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)．（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）是的導(dǎo)函數(shù)．證明：．【答案】（1）答案見解析（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論的單調(diào)性；（2）利用方程組，得到，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，換元后構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，從而得到證明.【小問1詳解】．①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，令得，即在上單調(diào)遞增；同理，令得，即在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】（?。┯桑?）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則有，所以的取值范圍為．（ⅱ）是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有①，②，①②得，即，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以不單調(diào)，因?yàn)?，得，所以．若要證明成立，只需證，即證，令，則，則不等式只需證，即證，令，，令，令，因?yàn)椋迷谏蠁握{(diào)遞減，得，得，即在上單調(diào)遞減，得，得，即在上單調(diào)遞減，所以有，故有，不等式得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于雙變量問題，要轉(zhuǎn)化為單變量問題，通常情況下利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化后利用構(gòu)造新函數(shù)及最值進(jìn)行求解證明.19.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）首先確定所有可能的取值