數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 高一下數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修2

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念廣信數(shù)學(xué)組引入我們知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)△=b2-4ac<0時(shí)沒有實(shí)數(shù)根.因此，在研究代數(shù)方程的過程中，如果限于實(shí)數(shù)集，有些問題就無(wú)法解決.事實(shí)上，數(shù)學(xué)家在研究解方程問題時(shí)早就遇到了負(fù)實(shí)數(shù)的開平方問題，但他們一直在回避.到16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家在研究實(shí)系數(shù)一元三次方程的求根公式時(shí)，再也無(wú)法回避這個(gè)問題了，于是開始嘗試解決.在解決這個(gè)問題的過程中，數(shù)學(xué)家們遇到了許多困擾，例如負(fù)實(shí)數(shù)到底能不能開平方?如何開平方?負(fù)實(shí)數(shù)開平方的意義是什么?等等.

本章我們將體會(huì)數(shù)學(xué)家排除這些困擾的思想，通過解方程等具體問題，感受引入復(fù)數(shù)的必要性，了解從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過程和方法，研究復(fù)數(shù)的表示、運(yùn)算及其幾何意義，體會(huì)“數(shù)”與“形”的融合，感受人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.

情境引入問題：你知道數(shù)系是怎樣擴(kuò)充的嗎？數(shù)系的每一次擴(kuò)充又解決了哪些問題？情境引入自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集刻畫相反意義的量引入了負(fù)數(shù)解決測(cè)量等分問題引入了分?jǐn)?shù)解決度量正方體對(duì)角線等問題引入了無(wú)理數(shù)自然數(shù)負(fù)整數(shù)整數(shù)無(wú)理數(shù)有理數(shù)分?jǐn)?shù)實(shí)數(shù)

從社會(huì)實(shí)踐來(lái)看隨著社會(huì)發(fā)展，數(shù)系在不斷擴(kuò)充．計(jì)數(shù)的需要引入了自然數(shù)課堂引入自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集刻畫相反意義的量引入了負(fù)數(shù)解決測(cè)量等分問題引入了分?jǐn)?shù)解決度量正方形對(duì)角線等問題引入了無(wú)理數(shù)

從社會(huì)實(shí)踐來(lái)看隨著社會(huì)發(fā)展，數(shù)系在不斷擴(kuò)充．?dāng)?shù)系的每一次擴(kuò)充都是為了滿足社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐的需要計(jì)數(shù)的需要引入了自然數(shù)情境引入另一方面，數(shù)集的每次擴(kuò)充都是為了解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾。從數(shù)學(xué)發(fā)展的角度來(lái)看（2）在整數(shù)集中求方程2x-1=0的解；自然數(shù)集N整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R無(wú)解有解無(wú)解有解有解無(wú)解（3）在有理數(shù)集中求x2-2=0方程的解；

（4）在實(shí)數(shù)集中求x2+1=0方程的解．無(wú)解有解？引入新數(shù)（1）在自然集中求方程x+1=0的解；情境引入為了解決這樣的方程在實(shí)數(shù)系中無(wú)解的問題,我們?cè)O(shè)想引入一個(gè)新數(shù)i,使得x=i是方程的解,即使得i2=-1.i是數(shù)學(xué)家歐拉最早引入的，它取自imaginary(想象的，假想的)一詞的詞頭，i2=i·i.（1）i2=-1；（2）實(shí)數(shù)可以與

i

進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立。如果沒有運(yùn)算，數(shù)只是孤立的符號(hào)！數(shù)系擴(kuò)充規(guī)則：數(shù)集擴(kuò)充后，新數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算，與原數(shù)集中規(guī)定的加法和乘法運(yùn)算協(xié)調(diào)一致，并且加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，乘法對(duì)加法滿足分配律．探究新知探究新知問題4：把實(shí)數(shù)系擴(kuò)充之后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？思考：你能否寫出一個(gè)代數(shù)形式，把剛剛的數(shù)都包含在內(nèi)？實(shí)數(shù)a把實(shí)數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi把實(shí)數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi例如：2i，-3i，例如：2+i，1-3i，a+0i0+bi所有實(shí)數(shù)以及i都可寫成a+bi(a,b∈R)的形式實(shí)部虛部1、復(fù)數(shù)的概念(1)形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù),通常用字母

z

表示.

i

叫虛數(shù)單位

(2)全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用C

表示.探究新知復(fù)數(shù)的代數(shù)表示虛數(shù)純虛數(shù)實(shí)數(shù)例1：指出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。

課堂典例問題4：復(fù)數(shù)

什么情況數(shù)下為實(shí)數(shù)？虛數(shù)集純虛數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集問題5：實(shí)數(shù)集R與擴(kuò)充后復(fù)數(shù)集C是什么關(guān)系呢？復(fù)數(shù)z=a+bi問題6：你能對(duì)復(fù)數(shù)a+bi(a，b∈R)進(jìn)行分類，并用韋恩圖表示它們之間的關(guān)系嗎？

探究新知2、復(fù)數(shù)的分類

課堂典例(2)當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．例2實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？解：(1)當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．(3)當(dāng)，且，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．

(1)是虛數(shù)；(2)是純虛數(shù).

探究新知3、復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)只有相等與不相等，沒有大小關(guān)系；如果兩復(fù)數(shù)比較大小，那么這兩復(fù)數(shù)一定為實(shí)數(shù)。規(guī)定：?jiǎn)栴}7:

實(shí)數(shù)可以比較大小，復(fù)數(shù)可以比大小嗎？若a+bi=3+2i則a=b=

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課堂典例例3：求適合下列方程的實(shí)數(shù)x與y的值:（1）

說明:實(shí)數(shù)問題復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化

課堂練習(xí)2.如果(m2-1)+(m2-2m)i>0,求實(shí)數(shù)m的值.練習(xí)：1.若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求實(shí)數(shù)x，y的值.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)劊?/p>

數(shù)系的擴(kuò)充課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)劊?/p>

數(shù)系的擴(kuò)充課堂小結(jié)虛數(shù)有理數(shù)Q整數(shù)Z自然數(shù)N實(shí)數(shù)R負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無(wú)理數(shù)復(fù)數(shù)C通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？試從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想、經(jīng)驗(yàn)等方面談?wù)劊?/p>

數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)的基本概念兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義復(fù)數(shù)的分類……實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系運(yùn)用了類比的研究方法.解決復(fù)數(shù)相等問題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.方