matlab符號基礎(chǔ)以及微積分省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第6講MATLAB符號計算一數(shù)學軟件數(shù)學軟件第1頁6.1符號計算基礎(chǔ)6.2符號導數(shù)及其應(yīng)用6.3符號積分第2頁6.1符號計算基礎(chǔ)6.1.1符號對象1.建立符號變量和符號常數(shù)(1)sym函數(shù)

sym函數(shù)用來建立單個符號量，比如，a=sym('a')建立符號變量a，今后，用戶能夠在表示式中使用變量a進行各種運算。第3頁例6.1考查符號變量和數(shù)值變量差異。在MATLAB命令窗口，輸入命令：

a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定義4個符號變量w=10;x=5;y=-8;z=11;%定義4個數(shù)值變量A=[a,b;c,d]%建立符號矩陣AB=[w,x;y,z]%建立數(shù)值矩陣Bdet(A)%計算符號矩陣A行列式det(B)%計算數(shù)值矩陣B行列式第4頁例6.2比較符號常數(shù)與數(shù)值在代數(shù)運算時差異。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pi1=sym('pi');k1=sym('8');k2=sym('2');k3=sym('3');%定義符號變量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3;%定義數(shù)值變量sin(pi1/3)%計算符號表示式值sin(pi2/3)%計算數(shù)值表示式值sqrt(k1)%計算符號表示式值sqrt(r1)%計算數(shù)值表示式值sqrt(k3+sqrt(k2))%計算符號表示式值sqrt(r3+sqrt(r2))%計算數(shù)值表示式值第5頁(2)syms函數(shù)syms函數(shù)普通調(diào)用格式為：symsvar1var2…varn

函數(shù)定義符號變量var1,var2,…,varn等。用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符分界符(')，變量間用空格而不要用逗號分隔。第6頁2.建立符號表示式例6.3用兩種方法建立符號表示式。在MATLAB窗口，輸入命令：U=sym('3*x^2+5*y+2*x*y+6')%定義符號表示式Usymsxy;%建立符號變量x、yV=3*x^2+5*y+2*x*y+6%定義符號表示式V2*U-V+6%求符號表示式值第7頁例6.4計算3階范得蒙矩陣行列式值。設(shè)A是一個由符號變量a,b,c確定范得蒙矩陣。命令以下：symsabc;U=[a,b,c];A=[[1,1,1];U;U.^2]%建立范得蒙符號矩陣det(A)%計算A行列式值第8頁例6.5建立x,y普通二元函數(shù)。在MATLAB命令窗口，輸入命令：symsxy;f=sym('f(x,y)');第9頁6.1.2基本符號運算1.符號表示式運算(1)符號表示式四則運算例6.6符號表示式四則運算示例。在MATLAB命令窗口，輸入命令：symsxyz;f=2*x+x^2*x-5*x+x^3%符號表示式結(jié)果為最簡形式f=2*x/(5*x)%符號表示式結(jié)果為最簡形式f=(x+y)*(x-y)%符號表示式結(jié)果不是x^2-y^2，而是(x+y)*(x-y)第10頁(2)因式分解與展開factor(S)對S分解因式，S是符號表示式或符號矩陣。expand(S)對S進行展開，S是符號表示式或符號矩陣。collect(S)對S合并同類項，S是符號表示式或符號矩陣。collect(S,v)對S按變量v合并同類項，S是符號表示式或符號矩陣。第11頁例6.7對符號矩陣A每個元素分解因式。命令以下：symsabxy;A=[2*a^2*b^3*x^2-4*a*b^4*x^3+10*a*b^6*x^4,3*x*y-5*x^2;4,a^3-b^3];factor(A)%對A每個元素分解因式第12頁例6.8計算表示式S值。命令以下：symsxy;s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2);expand(s)%對s展開collect(s,x)%對s按變量x合并同類項(無同類項)factor(ans)%對ans分解因式第13頁(3)表示式化簡MATLAB提供對符號表示式化簡函數(shù)有：simplify(S)應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對S進行化簡。simple(S)調(diào)用MATLAB其它函數(shù)對表示式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。例6.9化簡命令以下：symsxy;s=(x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2;simple(s)%MATLAB自動調(diào)用各種函數(shù)對s進行化簡，并顯示每步結(jié)果第14頁2.符號矩陣運算transpose(S)返回S矩陣轉(zhuǎn)置矩陣。determ(S)返回S矩陣行列式值。colspace(S)返回S矩陣列空間基。[Q,D]=eigensys(S)Q返回S矩陣特征向量，D返回S矩陣特征值。第15頁6.1.3符號表示式中變量確實定MATLAB中符號能夠表示符號變量和符號常數(shù)。findsym能夠幫助用戶查找一個符號表示式中符號變量。該函數(shù)調(diào)用格式為：findsym(S,n)函數(shù)返回符號表示式S中n個符號變量，若沒有指定n，則返回S中全部符號變量。在求函數(shù)極限、導數(shù)和積分時，假如用戶沒有明確指定自變量，MATLAB將按缺省標準確定主變量并對其進行對應(yīng)微積分運算。可用findsym(S,1)查找系統(tǒng)缺省變量，實際上，MATLAB按離字符'x'最近標準確定缺省變量。第16頁6.2符號導數(shù)及其應(yīng)用6.2.1函數(shù)極限limit函數(shù)調(diào)用格式為：limit(f,x,a)limit函數(shù)另一個功效是求單邊極限，其調(diào)用格式為：limit(f,x,a,'right')或limit(f,x,a,'left')第17頁例6.10求極限。在MATLAB命令窗口，輸入命令：symsamx;f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);limit(f,x,a)%求極限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;limit(f)%求極限(2)limit(f,inf)%求f函數(shù)在x→∞(包含+∞和-∞)處極限limit(f,x,inf,'left')%求極限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,'right')%求極限(4)第18頁6.2.2符號函數(shù)求導及其應(yīng)用MATLAB中求導函數(shù)為：diff(f,x,n)diff函數(shù)求函數(shù)f對變量xn階導數(shù)。參數(shù)x使用方法同求極限函數(shù)limit，能夠缺省，缺省值與limit相同，n缺省值是1。第19頁

例6.11求函數(shù)導數(shù)。命令以下：symsabtxyz;f=sqrt(1+exp(x));diff(f)%求(1)。未指定求導變量和階數(shù)，按缺省規(guī)則處理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f對x二階導數(shù)diff(f,x,3)%求(2)。求f對x三階導數(shù)f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求(3)。按參數(shù)方程求導公式求y對x導數(shù)(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3%求(3)。求y對x二階導數(shù)f=x*exp(y)/y^2;diff(f,x)%求(4)。z對x偏導數(shù)diff(f,y)%求(4)。z對y偏導數(shù)f=x^2+y^2+z^2-a^2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。按隱函數(shù)求導公式求z對x偏導數(shù)zy=-diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。按隱函數(shù)求導公式求z對y偏導數(shù)第20頁例6.12在曲線y=x3+3x-2上哪一點切線與直線y=4x-1平行。命令以下：x=sym('x');y=x^3+3*x-2;%定義曲線函數(shù)f=diff(y);%對曲線求導數(shù)g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0根，即求曲線何處導數(shù)為4第21頁6.3符號積分6.3.1不定積分在MATLAB中，求不定積分函數(shù)是int，其調(diào)用格式為：int(f,x)int函數(shù)求函數(shù)f對變量x不定積分。參數(shù)x能夠缺省，缺省標準與diff函數(shù)相同。第22頁例6.13求不定積分。命令以下：x=sym('x');f=(3-x^2)^3;int(f)%求不定積分(1)f=sqrt(x^3+x^4);int(f)%求不定積分(2)g=simple(ans)%調(diào)用simple函數(shù)對結(jié)果化簡第23頁6.3.2符號函數(shù)定積分定積分在實際工作中有廣泛應(yīng)用。在MATLAB中，定積分計算使用函數(shù)：int(f,x,a,b)例6.14求定積分。命令以下：x=sym('x');t=sym('t');int(abs(1-x),1,2)%求定積分(1)f=1/(1+x^2);int(f,-inf,inf)%求定積分(2)int(4*t*x,x,2,sin(t))%求定積分(3)f=x^3/(x-1)^100;I=int(f,2,3)%用符號積分方法求定積分(4)double(I)%將上述符號結(jié)果轉(zhuǎn)換為數(shù)值第24頁例6.15求橢球體積。命令以下：symsabcz;f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2;V=int(f,z,-c,c)V=4/3*pi*a*b*c第25頁例6.16軸長度為10米，若該軸線性密度計算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x為距軸端點距離)，求軸質(zhì)量。(1)符號函數(shù)積分。在MATLAB命令窗口，輸入命令：symsx;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)數(shù)值積分。先建立一個函數(shù)文件fx.m：functionfx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，輸入命令：m=quad('fx',0,10,1e-6)第26頁例6.17求空間曲線c從點(0，0，0)到點(3，3，2)長度。求曲線c長度是曲線一型命令以下：symst;x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3;f=diff([x,y,z],t)%求x,y,z對參數(shù)t導數(shù)g=sqrt(f*f')%計算一型積分公式中根式部分l=int(g,t,0,1)%計算曲線c長度第27頁6.3.3積分變換1.傅立葉(Fourier)變換在MATLAB中，進行傅立葉變換函數(shù)是：fourier(fx,x,t)求函數(shù)f(x)傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(Fw,t,x)求傅立葉像函數(shù)F(t)原函數(shù)f(x)。第28頁例6.18求函數(shù)傅立葉變換及其逆變換。命令以下：s