2023-2024學(xué)年山東省聊城市莘縣一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年山東省聊城市莘縣一中高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．2．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于3．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米4．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．5．羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生，，和名女生，，中各隨機(jī)選出兩名，把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽，則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．7．運(yùn)行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．20178．設(shè)函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．已知，則“直線與直線垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，將向量繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．12．在中，在邊上滿足，為的中點(diǎn)，則（）.A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若且時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．14．?dāng)?shù)列滿足遞推公式，且，則___________.15．若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最小值是___16．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，則S10=_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.18．（12分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米/小時(shí)、600千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每小時(shí)的損耗為m元（），運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請(qǐng)分別寫出、、的表達(dá)式；（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.19．（12分）在△ABC中，分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面積．20．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù).（1）若存在，使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)，，證明：.21．（12分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，∴，設(shè)，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)恒過點(diǎn)，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實(shí)數(shù)m的最大值為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．3、B【解析】

由于實(shí)際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛￠L比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長的計(jì)算，屬于容易題.4、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大，即．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)組合知識(shí)，計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為，然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為，最后簡單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：分別從3名男生、3名女生中選2人：將選中2名女生平均分為兩組：將選中2名男生平均分為兩組：則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為：和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，對(duì)平均分組的問題要掌握公式，比如：平均分成組，則要除以，即，審清題意，細(xì)心計(jì)算，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.6、B【解析】

，將,代入化簡即可.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.7、D【解析】

依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環(huán)．輸出1．選D．8、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A；通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:由題意知,函數(shù)的定義域?yàn)?，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選A排除；對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)并判斷其函數(shù)值符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.9、C【解析】試題分析：由題意知，當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)是成立，所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因?yàn)椋沟?，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故選C．考點(diǎn)：函數(shù)的綜合問題．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵．10、B【解析】

由兩直線垂直求得則或，再根據(jù)充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關(guān)系求得的值，同時(shí)熟記充要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點(diǎn)Z的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由，可得，，再將代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行變形，然后得到對(duì)應(yīng)不等式組，對(duì)的取值進(jìn)行分類，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時(shí)求參數(shù)范圍，列出對(duì)應(yīng)不等式組，即可求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以或，?dāng)時(shí)，對(duì)且不成立，當(dāng)時(shí)，取，顯然不滿足，所以，所以，解得；當(dāng)時(shí)，取，顯然不滿足，所以，所以，解得，綜上可得的取值范圍是：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍，難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分類討論法：分析參數(shù)的臨界值，對(duì)參數(shù)分類討論；（2）參變分離法：將參數(shù)單獨(dú)分離出來，再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.14、2020【解析】

可對(duì)左右兩端同乘以得，依次寫出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15、-1【解析】作出可行域，如圖：由得,由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最小值，A（1,0）所以-1故答案為-116、55【解析】

由求出.由，可得，兩式相減，可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即求.【詳解】由題意，當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，整理得，，即，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，.故答案為：55.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)連接，得，可得，可證，可得，進(jìn)而平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，連，可得，，可得（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設(shè)，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明:取中點(diǎn)連接，由則，則，故，，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設(shè)分別為邊的中點(diǎn)，則，（或補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.設(shè)為邊的中點(diǎn)，則，由知.又由（1）有平面，平面，所以為二面角的平面角，，設(shè)則在中，從而在中，，又，從而在中，因，，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點(diǎn)作交于點(diǎn)由（1）易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，由，易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設(shè)，則設(shè)平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對(duì)應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1），，.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最??；當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最??；當(dāng)時(shí)，此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【解析】

（1）將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.（2）作差比較、的大小關(guān)系得出結(jié)論.【詳解】（1），，.（2），故，恒成立，故只需比較與的大小關(guān)系即可，令，故當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省，當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.當(dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.【點(diǎn)睛】本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）整理得：，再由余弦定理可得，問題得解．（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．【詳解】（1）由題意，得，∴；（2）由正弦定理，得，,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡能力，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為，然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】（1），根據(jù)題意，在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則不等式在上有解，由得，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得成立，所以的取值范圍為。（2）當(dāng)時(shí)，，則，從而所證不等式轉(zhuǎn)化為，不妨設(shè)，則不等式轉(zhuǎn)化為，即，即，令，則不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)?，則，從而不等式化為，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以即不等式成立，故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，這里要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，在證明不等式時(shí)，通常是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值或最值來處理，本題是一道有高度的壓軸解答題.21、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【解析】

（I）取的中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點(diǎn)，易得面