2024年中考數學總復習第三章《函數》第五節(jié)：二次函數的實際應用（附答案解析）

2024年中考數學總復習第三章《函數》第五節(jié)：二次函數的

實際應用

★解讀課標★--------------熟悉課標要求，精準把握考點

1.通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義；

2.會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為y=a(x—h)2+k的形式，并能由此得到

二次函數圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題.

★中考預測★------------統計考題頻次，把握中考方向

二次函數是非常重要的函數，年年都會考查，總分值為18~20分，預計2024年各地中考還會

考，它經常以一個壓軸題獨立出現，有的地區(qū)也會考察二次函數的應用題，小題的考察主要

是二次函數的圖象和性質及或與幾何圖形結合來考查。

★聚焦考點★------------直擊中考考點，落實核心素養(yǎng)

考點講解

二次函數的實在生活中，我們常會遇到與二次函數及其圖象有關的問題，解決這類問題

的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關系，并且建

際應用

立適當的直角坐標系，再根據題目中的已知條件建立數學模型，即列出函

數關系式，然后運用數形結合的思想，根據函數性質去解決實際問題.考

察背景主要有：經濟問題；物體運動軌跡問題：拱橋問題等

二次函數與幾此類問題一般是通過分析動點在幾何圖形邊上的運動情況，確定出有關動

何圖形點函數圖象的變化情況.分析此類問題，首先要明確動點在哪條邊上運動

,在運動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運動過程中對應的函數

表達式，最后根據函數表達式判別圖象的變化.

★方法導引★------------總結思想方法，提升解題效率

1.利用二次函數解決利潤問題

在商品經營活動中，經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題.解此類題的關鍵是通過題意，

確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有

意義，因此在求二次函數的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍.

2.構建二次函數模型解決實際問題

利用二次函數解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當地把這些實際問題中

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的數據落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決

一些測量問題或其他問題.

3.幾何圖形中的最值問題

幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾

何中的最值的討論.

★真題呈現★--------------直面中考考題，總結考法學法

考點01二次函數的實際應用

1.（2022?南召縣模擬）如圖，某公司準備在一個等腰直角三角形ABC的綠地上建造一個矩

形的休閑書吧PMBN,其中點P在AC上，點NM分別在BC,AB上，記PM=x,PN=y,圖

中陰影部分的面積為S,若NP在一定范圍內變化，則y與x,S與x滿足的函數關系分別

是（）

A.反比例函數關系，一次函數關系

B.二次函數關系，一次函數關系

C.一次函數關系，反比例函數關系

1）.一次函數關系，二次函數關系

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數的應用；等腰三角形與直角三角形；應用意識.

【分析】設AB=m（m為常數），根據等腰直角三角形的性質得到AM=PM,根據矩形的性

質得到PN=BM,得到y=-x+m,根據三角形和矩形的面積得到結論.

【解答】解：設AB=m（m為常數），

在AAMP中，ZA=45",AMXPM,

...△AMP為等腰直角三角形，

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?.?四邊形PMBN是矩形,

；.PN=BM,

x+y=PM+PN=AM+BM=AB=m,

即y=-x+m,

?'.y與x成一次函數關系,

,/S=SAABC-S?S?PMBN=—m'-xy=』n/-x(-x+m)=x'-mx+L/，

222

與x成二次函數關系.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數的應用.一次函數的應用，等腰直角三角形的性質，矩形

的判定和性質，正確地作出函數解析式是解題的關鍵.

2.(2022?杏花嶺區(qū)校級模擬)太原某中學利用學校的體育場地設施和設備，充分調動全體

師生的積極性，廣泛開展各項體育活動，努力提高學生的身體素質，如圖①是小杰在鉛

球比賽中的一次擲球，鉛球出手以后的軌跡可近似看作是拋物線的一部分，已知鉛球出

手時離地面1.6米，鉛球離拋擲點水平距離3米時達到最高，此時鉛球離地面2.5米，

如圖②，以水平面為x軸，小杰所站位置的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系，則他擲

鉛球的運動路線的函數表達式為()

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數的應用；應用意識.

【分析】根據題意設出拋物線解析式為y=a(x-3)2+2.5,再把點B坐標代入解析式求

出a即可.

【解答】解：根據題意，得B(0,1.6),C(3,2.5)

設拋物線解析式為y=a(x-3)2+2.5,

將B點代入解析式得:9a+2.5=1.6,

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解得a=-A,

10

小杰擲鉛球的運動路線的解析式為y=-（x-3）2+2.5=-

101055

故選：A.

【點評】本題考查了二次函數的應用，解決本題的關鍵是掌握二次函數的性質.

3.（2022?荷塘區(qū)校級模擬）在特定條件下，籃球賽中進攻球員投球后，籃球的運行軌跡是

開口向下的拋物線的一部分.“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階

段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”.對于某

次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋

帽”的可能性越大，收集幾次籃球比賽的數據之后，某球員投籃可以簡化為下述數學模

型：如圖所示，該球員的投籃出手點為P,籃框中心點為Q,他可以選擇讓籃球在運行途

中經過A,B,C,D四個點中的某一點并命中Q,忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”

的可能性最大的線路是（）

A.P-A-QB.P-B-QC.P-C-QD.P-D-Q

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數圖象及其性質；推理能力.

【分析】分類討論投籃線路經過A,B,C,D四個點時籃球上升階段的水平距離求解.

【解答】解：B,D兩點，橫坐標相同，而D點的縱坐標大于B點的縱坐標，顯然，B點

上升階段的水平距離長；

A,B兩點，縱坐標相同，而A點的橫坐標小于B點的橫坐標，等經過A點的籃球運行到

與B點橫坐標相同時，顯然在B點上方，故B點上升階段的水平距離長；

同理可知C點路線優(yōu)于A點路線，

綜上：P-B-Q是被“蓋帽”的可能性最大的線路.

故選：B.

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【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，解題關鍵是理解題意，通過分類討論

求解.

4.（2022?鎮(zhèn)江一模）如圖，在長為20m、寬為14m的矩形花圃里建有等寬的十字形小徑,

若小徑的寬不超過1m,則花圃中的陰影部分的面積有（）

卜-----20------------a

A.最小值247B.最小值266C,最大值247D.最大值266

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數的應用.

【分析】設十字型小徑的寬為xm,根據平移的性質可得，花圃中的陰影部分可看作是長

為（20-x）m,寬為（14-x）m的矩形，然后進行計算即可解答.

【解答】解：設十字型小徑的寬為xm,

由題意得：

花圃中的陰影部分的面積y=（20-x）（14-x）

=x2-34x+280,

=（x-17）2-9,

?.?OVxWl,

.?.當x=l時，y有最小值，

止匕時y=（1-17）2-9=247.

故選：A.

【點評】本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，熟練掌握平移的性質是解題的關

鍵.

5.（2022?徐州一模）北京冬奧會跳臺滑雪項目比賽其標準臺高度是90m.運動員起跳后的

飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距

離x（單位：m）近似滿足函數關系y=ax、bx+c（aWO）.如圖記錄了某運動員起跳后

的x與y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高

點時，水平距離為（）

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.y/m

93.9---------r

90.0；

82.2---------r

o2040~x/m

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數的應用；運算能力.

【分析】將點(0,90.0)、(20,93.9)、(40,82.2)分別代入函數解析式，求得系

數的值；然后由拋物線的對稱軸公式可以得到答案.

【解答】解：根據題意知，拋物線y=ax2+bx+c(a#0)經過點(0,90.0)、(20,93.9)、

(40,82.2),

'c=90.0

則，400a+20b+c=93.9，

1600a+40b+c=82.2

'a=-0.0195

解得：＜b=0.585.

c=90

所以x=--=0.585=15(m).

2a2X(-0.0195)

故選：B.

【點評】此題考查了二次函數的應用，此題也可以將所求得的拋物線解析式利用配方法

求得頂點式方程，然后直接得到拋物線頂點坐標，由頂點坐標推知該運動員起跳后飛行

到最高點時，水平距離.

6.(2022?甘肅武威)如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小

球的飛行路線是一條拋物線.若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度〃(單位：m)與飛行時

間f(單位：s)之間具有函數關系：h=-5t2+20t,則當小球飛行高度達到最高時，飛行時

間，=_______s.

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【答案】2

【分析】把一般式化為頂點式，即可得到答案.

【詳解】解:Vh=-5t2+20t=-5(t-2),+20,且-5<0,

.?.當t=2時，h取最大值20,故答案為：2.

【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握將二次函數一般式化為頂點式.

7.(2022?湖北黃岡)為增強民眾生活幸福感，市政府大力推進老舊小區(qū)改造工程.和諧小

區(qū)新建一小型活動廣場，計劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉.市場調查發(fā)現：甲種

花卉種植費用y(元/n?)與種植面積x(m?)之間的函數關系如圖所示，乙種花卉種植費用

為15元/nA

(1)當xWlOO時，求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

⑵當甲種花卉種植面積不少于30m2,且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍

時.

①如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費用w(元)最少？最少是多少元？

②受投入資金的限制，種植總費用不超過6000元，請直接寫出甲種花卉種植面積x的取值

范圍.

y=30(0<x<40)

【答案】(1)>1:

y=--x+40(z40<x<100)A

(2)①甲種花卉種植90m2,乙種花卉種植270m2時，種植的總費用w最少，最少為5625元；

②x440或6O〈x這360.

【分析】(1)根據函數圖像分兩種情況，xW40時y為常數，40WxW100時y為一次函數，

設出函數解析式，將兩端點值代入求出解析式，將兩種情況匯總即可；

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(2)①設甲種花卉種植面積為機，則乙種花卉種植面積為360-加，根據乙的面積不低于甲

的3倍可求出30WmW90,利用總費用等于兩種花卉費用之和，將m分不同范圍進行討論列

出總費用代數式，根據m的范圍解出最小值進行比較即可；

②將x按圖像分3種范圍分別計算總費用的取值范圍即可.

(1)

由圖像可知，當甲種花卉種植面積xW40m2時，費用y保持不變，為30(元/m?),

所以此區(qū)間的函數關系式為：y=30(0<x<40),

當甲種花卉種植面積40WxW100m2時，函數圖像為直線，

設函數關系式為：y=^+b(40WxW100),

,當x=40時，y=30,當x=100時，y=15,代入函數關系式得：

/30=404+6

[\5=l00k+b'

解得：k=~,b=40,

4

y=-；x+40(40WxW100)

.?.當xWlOO時，y與x的函數關系式應為：

>'=30(0<x<40)

：

y=-lx+40(40<x<100)

(2)①設甲種花卉種植面積為加根Z30),則乙種花卉種植面積為360-機，

：乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍，

/.360-m三3機,

解得：，"W90,

的范圍為：30WmW90

當30WAWW40時，卬=306+15(360-㈤=15m+54(X),

此時當m最小時，w最小，

即當111=30時，w有最小值15x30+5400=5850(元)，

當40VMW90時,w=w(-—w+40)+15(360-/7?)=-—(/?-50)2+6025,

44

此時當m=90時，離對稱軸m=50最遠，w最小，

即當m=90時，w有最小值一:(90-50)2+6025=5625(元)

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V5625<5850,

.?.當m=90時種植的總費用w最少，為5625元，此時乙種花卉種植面積為360-〃尸270,

故甲種花卉種植90m2,乙種花卉種植270mz時，種植的總費用w最少，最少為5625元.

②由以上解析可知：

(1)當x<40時，總費用=15x+54(X)W15x4O+54CO=60OO(:元)，

(2)當40cxW1OO時，總費用=」(X-50)2+6025,

4

令」(x-50)2+6025W60(X),

4

解得：xW40或x,60,

又。40<xW100,

60WxW100

(3)當l(X)<x近360時，總費用=360x15=5400(元),

綜上，在x440、604*與100和100<*忘360時種植總費用不會超過6000元，

所以甲種花卉種植面積x的取值范圍為：XM40或60WxW360.

【點睛】本題考查一次函數的實際應用，解題關鍵是根據函數圖像獲取自變量的取值范圍，

仔細分情況討論，掌握二次函數在自變量取值范圍內求最小值的方法.

8.(2022?浙江臺州)如圖1,灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線/的方向行駛，為綠化帶

澆水.噴水口//離地豎直高度為〃(單位：m).如圖2,可以把灌溉車噴出水的上、下邊

緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG,

其水平寬度OE=3m,豎直高度為EF的長.下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到,

上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m,灌溉車到I的距離OD

為d(單位：m).

圖1

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圖2

(1)若人=1.5,跖=0.5m；

①求上邊緣拋物線的函數解析式，并求噴出水的最大射程0C；

②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；

③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求d的取值范圍；

(2)若E尸=1m.要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出h的最小值.

【答案】⑴①6m；②(2,0)；③2&d￡2也-1

⑵建

32

【分析】(1)①根據頂點式求上邊緣二次函數解析式即可；

②設根據對稱性求出平移規(guī)則，再根據平移規(guī)則由C點求出B點坐標；

③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經過F點，下邊

緣拋物線0344,計算即可；

(2)當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點。，尸恰好分別在兩條拋物線

上，設出D、F坐標計算即可.

(1)

(1)①如圖1,由題意得42,2)是上邊緣拋物線的頂點，

設y=a(x-2)2+2.

又：拋物線經過點(0,1.5),

1.5=467+2,

a=--.

8

上邊緣拋物線的函數解析式為y=-：(x-2尸+2.

8

第10頁共83頁

當y=0時，一，(X-2)2+2=0,

8

玉=6,x2=-2(舍去).

圖1

②?.?對稱軸為直線x=2,

點(0,1.5)的對稱點的坐標為(4,1.5).

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，

即點B是由點C向左平移4m得到，則點B的坐標為(2,0).

③如圖2,先看上邊緣拋物線，

,.1E尸=0.5,

...點1的縱坐標為0.5.

拋物線恰好經過點F時，

--(X-2)2+2=0.5.

8

解得x=2±2百>

x>0,

x=2+26.

當x>0時，)'隨著x的增大而減小，

...當24x46時，要使”0.5,

則X42+26

..?當0Mx<2時，y隨X的增大而增大，且x=o時，y=1.5>0.5,

.?.當04x46時，要使yN0.5,則04x42+26.

；DE=3,灌溉車噴出的水要澆灌到整個綠化帶，

第11頁共83頁

:.d的最大值為(2+2^3)-3=273-1.

再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是084”,

的最小值為2.

綜上所述，d的取值范圍是24d42百-1.

⑵八的最小值為菰'.

由題意得A(2,〃+0.5)是上邊緣拋物線的頂點，

設上邊緣拋物線解析式為產?(x-2)2+h+0.5.

?.?上邊緣拋物線過出水口(0,h)

/.y=4a+h+0.5=h

解得

o

.?.上邊緣拋物線解析式為y=-：(x-2)2+/?+0.5

8

:對稱軸為直線x=2,

點(0,0的對稱點的坐標為(4,力).

下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，

二下邊緣拋物線解析式為y=-+2)2+6+0.5.

o

當噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個綠化帶時，點尸恰好分別在兩條拋物線上,

VDE=3

??.設點D(m,0),E(m+3,0),F^/H+3,—^(/n+3-2)2+〃+0.5),

YD在下邊緣拋物線上，

——(/77+2)~+/?+0.5=0

第12頁共83頁

VEF=1

-；（/M+3-2）2+〃+0.5=1

：.--（m+3-2）2+h+0.5——-（/n+2）2+/z+0.5=1,

8L8_

解得=2.5,

代入一［（m+2）2+/i+0.5=0,得力=竺.

832

所以/^的最小值為竺.

32

【點睛】本題考查二次函數的實際應用中的噴水問題，構造二次函數模型并把實際問題中的

數據轉換成二次函數上的坐標是解題的關鍵.

★變式訓練★--------------深挖數學思想，揭示內涵實質

1.（2022?東城區(qū)校級模擬）某市煤氣公司要在地下修建一個容積為10,立方米的圓柱形煤

氣儲存室.記儲存室的底面半徑為r米，高為h米，底面積為S平方米，當h,r在一定

范圍內變化時，S隨h,r的變化而變化，則S與h,S與r滿足的函數關系分別是（）

A.一次函數關系，二次函數關系

B.反比例函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，反比例函數關系

D.反比例函數關系，一次函數關系

【考點】二次函數的應用.

【專題】函數及其圖象；應用意識.

【分析】根據圓的面積公式及圓柱體的體積公式可得答案.

【解答】解：根據題意得：

S=1°一,S=itr2,

h

，S與h是反比例關系，S與r是二次函數關系，

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數、二次函數的應用，解答該類問題的關鍵是確定兩個變

量之間的函數關系式，然后再根據題意進行解答.

2.（2022?金鄉(xiāng)縣二模）有一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外邊用長為20m的籬笆圍成.已

知墻長為15m,若平行于墻的一邊長不小于8m,則這個苗圃園面積的最大值和最小值分

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別為()

k15米[

，//////"

芭■圃園

A.48m=37.5m：B.50m',32nr

C.50mI37.5m2D.48m2,32m2

【考點】二次函數的應用；矩形的性質.

【專題】應用題；數形結合；二次函數的應用；應用意識.

【分析】設平行于墻的一邊長為xm,苗圃園面積為Sm2,則根據長方形的面積公式寫出

面積的表達式，將其寫成二次函數的頂點式，根據二次函數的性質及問題的實際意義，

得出答案即可.

【解答】解：設平行于墻的一邊長為xm,苗圃園面積為Sn>2,則

S=xxA(20-x)

2

=-A(x2-20x)

2

=-A(x-10)2+50(8WXW15)

2

：-A<o

2

有最大值，x=10>8時，Sa大=50

?.?墻長為15m

???當x=15時，S最小

S最小=15X』X(20-15)=37.5

2

這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為50m:37.5m2.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，正確地根據實際問題列出函數關系

式，并明確二次函數的性質，是解題的關鍵.

3.(2022?西山區(qū)二模)根據防疫的相關要求，學生入校需晨檢，體溫超標的同學須進入臨

時隔離區(qū)進行留觀.某校要建一個長方形臨時隔離區(qū)，隔離區(qū)的一面利用學校邊墻(墻

長5米)，其它三面用防疫隔離材料搭建，但要開一扇1米寬的進出口(不需材料)，

共用防疫隔離材料10米搭建的隔離區(qū)的面積最大為()平方米.

第14頁共83頁

A.至B.25C.D.15

28

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數的應用；應用意識.

【分析】設這個隔離區(qū)垂直于墻的一邊長是X米，則平行于墻的一邊是（11-2x）米，

面積S=-2x、llx,再利用二次函數的性質解答即可.

【解答】解：設這個隔離區(qū)垂直于墻的一邊長是x米，則平行于墻的一邊是（11-2x）

米，

.,.面積S=x（11-2x）=-2X2+11X,

?.?墻長5米，

-2xW5,

解得3Wx<5.5,

???-2<0,對稱軸x=-且=-11=11,在對稱軸的右側，S隨x的增大而減小，

2a-44

.?.當x=3時，S最大為-2X9+11X3=15（平方米），

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用及二次函數的應用，解題關鍵是要讀懂題目的

意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程及二次函數表達式.

4.（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，某涵洞的截面是拋物線形，現測得水面寬AB=1.6m,

涵洞頂點0與水面的距離CO是2m,則當水位上升1.5m時，水面的寬度為（）

A.0.4mB.0.6mC.0.8mD.Im

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數的應用；應用意識.

【分析】首先建立平面直角坐標系，可設函數關系式為y=ax2.根據AB=1.6,涵洞頂

點0到水面的距離為2.4m,那么A點坐標應該是（-0.8,-2）,利用待定系數法即可

求解析式，再把y=-0.5代人進而得出答案.

【解答】解：建立如圖所示的坐標系，

第15頁共83頁

A點坐標應該是(-0.8,-2),

那么-2=0.8X0.8Xa,

即a=-至，

8

當y=-0.5時,-0.5=-至X〉,

8

解得x=±0.4,

,水面的寬度為0.8m.

故選：C.

【點評】本題主要考查了二次函數的實際應用，根據題中的信息得出函數經過的點的坐

標是解題的關鍵.

5.(2022?武功縣模擬)在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運動路線呈拋物線形，羽毛球距地

面的高度丫(m)與水平距離x(m)之間的關系如圖所示，點B為落地點，且0A=lm,

0B=4m,羽毛球到達的最高點到y軸的距離為國『那么羽毛球到達最高點時離地面的

2

【專題】待定系數法；二次函數的應用；應用意識.

【分析】由已知得A(0,1),B(4,0),拋物線對稱軸為直線x=3,用待定系數法

第16頁共83頁

得拋物線解析式為y=-lx2+lx+l；令x=2?得羽毛球到達最高點時離地面的高度為空

44216

m.

【解答】解：由已知得：A(0,1),B(4,0),拋物線對稱軸為直線x=3,

2

設拋物線解析式為y=ax?+bx+c,

"c=l

.16a+4b+c=0

??I>

b3

云節(jié)

，1

a=-7

解得\工，

b-4

c=l

.?.拋物線解析式為y=-工x、3x+l；

44

令*=旦得丫=-工*(3)2+3X3+I=至，

2424216

...羽毛球到達最高點時離地面的高度為案!!!，

故選：D.

【點評】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，用待定系數法求出拋物線

的解析式.

6.(2022?建湖縣一模)如圖，游樂園里的原子滑車是很多人喜歡的項目，驚險刺激，原子

滑車在軌道上運行的過程中有一段路線可以看作是拋物線的一部分，原子滑車運行的豎

直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數關系y=ax2+bx+c(aWO).如

圖記錄了原子滑車在該路段運行的x與y的三組數據A(xi,yl、B(x2,y2),C(x3,

%),根據上述函數模型和數據，可推斷出，此原子滑車運行到最低點時，所對應的水

平距離x滿足()

第17頁共83頁

X

A.x<xiB.xi<x<x2C.x=X2D.x2<x<X3

【考點】二次函數的應用.

【專題】二次函數圖象及其性質；幾何直觀；運算能力.

【分析】解法一：將點A(0,2)、B(2,1)、C(4,4)分別代入函數解析式，求得系

數的值；然后由拋物線的對稱軸公式可以得到答案.

解法二：根據圖象可以直接解答.

【解答】解：解法一：根據題意知，拋物線y=ax2+bx+c(a￥0)經過點A(0,2)、B

(2,1)、C(4,4),

'c=2

則,4a+2b+c=l，

16a+4b+c=4

fJ_

a~2

m：3,

c=2

3

.?.此原子滑車運行到最低點時，所對應的水平距離X滿足X,<X<X2.

解法二：從圖象上看，拋物線開口向上，有最低點，x的值越離對稱軸越近，函數y的值

就越小，若對稱軸是直線x=xz時，A、C兩點應該要一樣高(即y值相等)，但是很明

顯A點比C點低，說明A點離對稱軸更近，所以對稱軸在A、B之間，即xi〈x<X2.

故選：B.

【點評】此題考查了二次函數的應用，此題也可以將所求得的拋物線解析式利用配方法

第18頁共83頁

求得頂點式方程，然后直接得到拋物線頂點坐標，由頂點坐標推知此原子滑車運行到最

低點時，所對應的水平距離.

7.（2022?四川廣元）為推進“書香社區(qū)”建設，某社區(qū)計劃購進一批圖書.已知購買2

本科技類圖書和3本文學類圖書需154元，購買4本科技類圖書和5本文學類圖書需282

元.

（1）科技類圖書與文學類圖書的單價分別為多少元？

（2）為了支持“書香社區(qū)”建設，助推科技發(fā)展，商家對科技類圖書推出銷售優(yōu)惠活動（文

學類圖書售價不變）：購買科技類圖書超過40本但不超過50本時，每增加1本，單價降低

1元；超過50本時，均按購買50本時的單價銷售.社區(qū)計劃購進兩種圖書共計100本，其

中科技類圖書不少于30本，但不超過60本.按此優(yōu)惠，社區(qū)至少要準備多少購書款？

【答案】（D科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元.

（2）社區(qū)至少要準備2700元購書款.

【分析】（1）設科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，然后根據題意可列

出方程組進行求解；

（2）設社區(qū)需要準備w元購書款，購買科技類圖書m本，則文學類圖書有本，由

（1）及題意可分當30〈機＜40時，當40VM＜50時及當50＜機＜60時，進而問題可分類求

解即可.

（1）解：設科技類圖書的單價為x元，文學類圖書的單價為y元，由題意得：

2x+3y=154x=38

,解得:

4x+5y=282y=26

答：科技類圖書的單價為38元，文學類圖書的單價為26元.

（2）解：設社區(qū)需要準備w元購書款，購買科技類圖書m本，則文學類圖書有（100-m）本,

由（1）可得：

①當30?，"<40時，則有：卬=38〃?+26。00-加）=12〃7+2600,

V12＞0,

...當m=30時，w有最小值，即為墳=360+2600=2960；

②當40WwW50時，則有：卬=（38—，〃+40），〃+26（100—，"）=—+52帆+2600,

V-K0,對稱軸為直線加=26,

...當40W〃?450時，w隨m的增大而減小，

第19頁共83頁

，當m=50時，w有最小值，即為卬=-5()2+52x50+2600=2700;

③當50<〃叱60時，此時科技類圖書的單價為78-50=28(元)，則有

w=28"?+26(100-/?/)=2m+2600,

V2>0,

.?.當m=51時,w有最小值,即為卬=102+2600=2702；

綜上所述：社區(qū)至少要準備2700元的購書款.

【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應用、一次函數與二次函數的應用，解題的關鍵是

找準等量關系，注意分類討論.

8.(2022?浙江寧波)為了落實勞動教育，某學校邀請農科院專家指導學生進行小番茄的

種植，經過試驗，其平均單株產量y千克與每平方米種植的株數x(2Wx?8,且x為整數)

構成一種函數關系.每平方米種植2株時，平均單株產量為4千克；以同樣的栽培條件，每

平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克.

(1)求y關于x的函數表達式.

(2)每平方米種植多少株時，能獲得最大的產量？最大產量為多少千克？

【答案】⑴y=-0.5x+5(2X8,且x為整數)

(2)每平方米種植5株時，能獲得最大的產量，最大產量為12.5千克

【分析】(1)由每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克，即可得求得解

析式；

(2)設每平方米小番茄產量為W千克，由產量=每平方米種植株數X單株產量即可列函數關

系式，由二次函數性質可得答案.

(1)解：????.?每平方米種植的株數每增加1株，單株產量減少0.5千克，

Ay=4-0.5(x-2)=-0.5x+5(2<x<8,且x為整數)；

(2)解：設每平方米小番茄產量為W千克，

w=x(-0.5x+5)=-0.5/+5x=-0.5(x-5)2+12.5.

.,.當x=5時,w有最大值12.5千克.

答：每平方米種植5株時，能獲得最大的產量，最大產量為12.5千克.

【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數關系式.

9.(2022?江西)跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后

飛行的路線是拋物線的一部分(如圖中實線部分所示)，落地點在著陸坡(如圖中虛線部分

第20頁共83頁

所示)上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離

分越高.2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度。4為66m,基準點K到起跳臺

的水平距離為75m,高度為/zrn(h為定值).設運動員從起跳點A起跳后的高度y(m)與水

平距離x(m)之間的函數關系為y=加+6+c(aH0).

19

(2)①若運動員落地點恰好到達K點，且此時“=-而,6=5,求基準點K的高度h；

②若。=-5時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為；

(3)若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,試判斷他的落地點能否超

過K點，并說明理由.

【答案】(1)66

9

⑵①基準點K的高度h為21m；②b>歷；

(3)他的落地點能超過K點，理由見解析.

【分析】(1)根據起跳臺的高度0A為66m,即可得c=66；

1010

(2)①由a=，b=正，知丫=-^x2+—x+66,根據基準點K到起跳臺的水平距離

為75m,即得基準點K的高度h為21m；

②運動員落地點要超過K點，即是x=75時，y>21,故-'X75?+75b+66>21,即可解得

答案：

(3)運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,即是拋物線的頂點為(25,

2

76)，設拋物線解析式為y=a(x-25)2+76,可得拋物線解析式為y=——(x-25)。76,

125

當x=75時，y=36,從而可知他的落地點能超過K點.

(1)解：..?起跳臺的高度0A為66m,

第21頁共83頁

AA(0,66),

把A(0,66)代入y=ax?+bx+c得:

c=66,

故答案為：66；

19

(2)解：@Va=--,b=—,

._12,9

??y=---x+—x+66,

5010

??,基準點K到起跳臺的水平距離為75m,

129

???y=——X752+—X75+66=21,

5010

???基準點K的高度h為21m；

@Va=:"-，

50

y=——x2+bx+66,

50

???運動員落地點要超過K點，

???當x=75時，y>21,

即--X752+75b+66>21,

50

9

解得bA5,

9

故答案為：b>—；

(3)解：他的落地點能超過K點，理由如下：

?.?運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m,

...拋物線的頂點為(25,76),

設拋物線解析式為y=a(x-25)、76,

把(0,66)代入得：

66=a(0-25)2+76,

解得a=-11r

2

???拋物線解析式為y=-—(x-25)2+76,

2

當x=75時，y=-------X(75-25)2+76=36,

V36>21,

第22頁共83頁

，他的落地點能超過K點.

【點睛】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能根據題意把實際問題轉化為

數學問題.

10.(2022?山東濰坊)某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進展，小亮和小瑩到海水稻種

植基地調研.小瑩根據水稻年產量數據，分別在直角坐標系中描出表示2017-2021年①號山

和②號田年產量情況的點(記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產量)，如

下圖.

近5年②號田年產量

噸

4-

..(5,3.5)

3-.(4.3.4)

.(33.1)

(2-2.6)

2-.

(1-1-9)

1-

x7年度

小亮認為，可以從y=kx+b(k>0),y="(m>0),y="0.Ix'+ax+c中選擇適當的函數模型，模

x

擬①號田和②號田的年產量變化趨勢.

(1)小瑩認為不能選y='(〃?>0).你認同嗎？請說明理由；

X

(2)請從小亮提供的函數模型中，選擇適當的模型分別模擬①號田和②號田的年產量變化趨

勢，并求出函數表達式；

(3)根據(2)中你選擇的函數模型，請預測①號田和②號田單年產里在哪一年最大？最大是

多少？

【答案】(D認同，理由見解析

(2)①號田的函數關系式為y=0.5x+l(k>0)；②號田的函數關系式為y=-0.lx2+x+l；

(3)在2024年或2025年總年產量最大，最大是7.6噸.

【分析】(1)根據年產量變化情況，以及反比例函數的性質即可判斷；

(2)利用待定系數法求解即可；

(3)設總年產量為w,依題意得亞=旬.1X2+X+1+0.5X+1,利用二次函數的性質即可求解.

(1)解：認同，理由如下：

第23頁共83頁

觀察①號田的年產量變化：每年增加0.5噸，呈一次函數關系；

觀察②號田的年產量變化：經過點(1,1.9),(2,2.6),(3,3.1),

VIXI.9=1.9,2X2.6=5.2,1.9W5.2,

不是反比例函數關系，

小瑩認為不能選y=—(加>0)是正確的；

x

⑵解：由(1)知①號田符合y=kx+b(k>0),

k+h=1.5

由題意得

2k+b=2

2=0.5

解得:

b=\

，①號田的函數關系式為y=0.5x+l(k>0)；

檢驗，當x=4時,y=2+1=3,符合題意;

②號田符合lx2+ax+c,

-0.1+〃+c=1.9

由題意得

—0.4+2。+c=2.6

解得：?，

工②號田的函數關系式為y=-0.lx2+x+l；

檢驗，當x=4時,y=-1.6+4+l=3.4,符合題意；

⑶解：設總年產量為明

依題意得:w=-0.lx2+x+l+0.5x+l=-0.lx2+l.5x+2

=-0.l(x-15x+---)+2

44

=-0.1(x-7.5)2+7.625,

V-0.KO,/.當x=7.5時,函數有最大值，

.?.在2024年或2025年總年產量最大，最大是7.6噸.

【點睛】本題考查了二次函數和一次函數的應用，待定系數法求函數式，二次函數的性質,

反比例函數的性質，理解題意，利用二次函數的性質是解題的關鍵.

★真題呈現★--------------直面中考考題，總結考法學法

考點02二次函數與幾何圖形

第24頁共83頁

1.（2022?贛州模擬）用一張寬為x的矩形紙片剪成四個全等的直角三角形，如圖1,然后

把這四個全等的直角三角形紙片拼成一個趙爽弦圖；如圖2,若弦圖的大正方形的邊長為

6,中間的小正方形面積為S,請?zhí)骄縎與x之間是什么函數關系（）

圖1圖2

A.一次函數B.二次函數C.反比例函數D.其它函數

【考點】二次函數的應用；全等圖形；勾股定理的證明.

【專題】二次函數的應用；運算能力；應用意識.

【分