現(xiàn)代控制理論課后習(xí)題及答案

《現(xiàn)代控制理論》課后習(xí)題及答案

第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

1-1.試求圖系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。

圖1-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)方塊圖

解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

圖1-2雙輸入一雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

X]=x2

X27人3

Kn1Kp

七~~rx4+~x5+~x6

J]JxJ]

%4=%3

X5=~KlX3+K/

?K\儲K|

x6=------X,---九6----------M

KK.Kp

令e（s）=y,貝！]y=X]

所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為

?010000

X

*Kb-0-

?00000

J20

rz尤2

?_sK.1

^000

7工

?3+0u

^4001000

?0

^5與

?00_&00&（

^6/.^6.

0000

一pKp_

y=[>00000

X5

1-2.有電路如圖1-3所示。以電壓“⑺為輸入量，求以電感中的電流

和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2上的電壓作為

輸出量的輸出方程。

R1L1

―

C

—Uc

U

圖1-3電路圖

解：由圖，令=項」2=%2，%=玉3，輸出量y=R/2

R]X[+右$+七=〃

?_R1

Xi=-------2-H-----------

有電路原理可知：LXI+RX=X

2223既得L2L2

X]=x2+Cx3

y=%%

寫成矢量矩陣形式為:

二

一-O

-

。L■1-

L[

^1&

。乙

%o1

--匚

X2+0u

。

^11-工

_X3_0

-_-

一-CC0

y=[0R20x2

1-3.兩輸入％,u2,兩輸出力，力的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-4所

示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。

圖1-4雙輸入一雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示:

W“x(s)=(s/-A)

s-10000

as+q00

叱“(s)=C(s/—4)-5=[101024A

-10s-100

0a5?4?3_0打

1-4.系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述

y+5y+7y+3y=〃+3〃+2u

列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

1

解：令X]=y,X2—y,x3=y,貝j有

010九?0

=00+0M

-3-71

玉

y=[231_x2

相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

3

「5.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)卬")=而篝看,試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的

實現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

101

6(5+1)-A-3

解:W(s)=+

s(s+2)(s+3)2(s+3)~s+3s+2s

1-6.給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式

X0100

x2-2—30%+1〃

1-3J|_X3J[_2

y=[001_x2

_X3

(1)畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖

(2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：

5-10

(2)W(s)=(s/-A)=25+30

1-15+3

15/-=5(5+3)~+2(s+3)=(s+3)(s+2)(s+1)

(s+3)2s+30

(si-AV=----2-(--5-+--3-)---s-(-s--+-3)0

(5+3)(5+2)(5+1)

-5-55-1(5+1)(5+2)

飛+3)2s+30'o-

叱,r(s)=(si-AY'B=7=Lc、l.-2(5+3)5(54-3)01

(s+3)(s+2)(s+1)

-5-55-1(5+1)(5+2)2

(s+3)

]________

s(s+3)

(s+3)(s+2)(s+1)

(2s+l)G+3)

G+3)

________1________

叱,v(s)=C(s/—A)TB=[O0f5(5+3)

(s+3)(s+2)(s+l)

(25+l)(s+3)

(2s+1)

(s+2)(s+1)

1-7.求下列矩陣的特征矢量

010

A=302

-12-7-6

2-10

解：A的特征方程田-川=-3A—2=才+6Z2+112+6=0

127A+6

解之得：4=-1,%=-2,4=-3

010AiPH

4=—1

當(dāng)時,302P21一P21

-12-7—6P31P31

Ai1

解得：〃21=〃31=-外令P11=1得4=Pi\-1

P31-1

(或令Pu=-1,得6

0

當(dāng)4=-2時,30

-12-7

P122

1

解1"可'P12=一282,Pyi]Pl2令P12=2得6P22-4

P321

P\2

（或令021,得舄，22-2)

232

,2.

0

當(dāng)4=-3時,30

-12-7

解得：，23=-303，〃33=3P13令P”=1得

1-8.將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）

41一2X131

當(dāng)102x2+27M

當(dāng)1-13

120玉

X2

.必011

2-4-12

解：A的特征方程一A|=-12-2=(2-l)(Z-3)2=0

-11A-3

4.2=3,4=1

一41-2>11"

當(dāng)4=3時，102P21=3P21

1-13_.fti..P3L

%]p

解之得加=〃31=P\\令Pu=1得6=，21=1

1

一P3」L

'41-2>11T

當(dāng)小=3時，102Pl\P21+1

1-13__〃31_41

Pl21

=

解之得Pi2=P12+1也2=〃32令P121得鳥=〃22=0

“32__。-

'41-2'p;

當(dāng)4=1時，102P23=〃23

1-13__，33_

。3_

>i3ir0

解之得P\3—°，〃23=2P33令“33=1付A=P23=2

P33J

1100-12

T=102T-'11-2

10101-1

0-12T318-1

T—B=11-227-52

01-1￡53-34

r110

120314

CT=102

011203

J101

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

3io]r8-1

030x+-52u

01J[-3

04

314

1-9.已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為%(s)和Wz(s)

1111

W；(s)=5+1s+25+3s+4

5+1嗎(s)=1

00

5+2s+1

試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所

得結(jié)果

解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)

11T11

W(s)=W2(s)W/s)=s,s+4s+1-v+

]s2+5s+7

(s+1)($+3)(5+2)($+3)(5+4)

1]

(s+1)2(s+1)G+2)

（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)

1111

W(s)=叱(s)土叱(s)=s+1s+2±s+3s+4

5+11

00

s+2_.5+1

1-10.（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2

的傳遞函數(shù)陣分別為

I

O-

Wi(s)=s+

1

0

s+2_

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解:

11

05+1

=s

WG)w”(s)=s+[|_0

1」01

0

s+2_s+2

115+21

s+l10S+1

I+W^s)W(s)=/+

1015+3

00

s+2s+2

s+3]_s+1s+l

s+2ss+2+3)

⑴W2⑸

『s+2s+2

00

s+l_s+3

W(s)=[/+Wi(s)W2(s)「s

1

s+2

s+3

s+l(5+2)(5+l)

s+3

0

1-11.（第2版教材）已知如圖「22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2

的傳遞函數(shù)陣分別為

1

s+110

叱（s）=W(s)

1201

2

s+2

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解:

111_j_

7+T10

W(s)W(s)=s+ls

il101

22—

s+25+2

15+21

10

I+W(s)W(s)=5+1ss+1

ii101s+3

22

s+2s+2

s+3

仆網(wǎng)⑸『=黑s+2s

7+w2s+2

-2

S+1_

s+31

w（s）=[/+叱（s必（s）『叱G）S(S+1)s+2ss+2S

?s+21

s+5s+2-2s

5+1J_s+2

s+32

F—-------------1-------------

s(s+1)(5+2)2ss(s+2)s(s+2)

52+5s+222(5+2)21

-----------1-------------——4-------

5+25+1ss+1

(s+l)2(3s+8)5+1

(s+2)2(1+5s+2)s-+5s+2

+652+6ss+2

(s+2)(s?+5s+2)+5$+2

1-12.已知差分方程為

y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3u(k)

試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動函數(shù)U的系數(shù)b（即控

制列陣）為

(1)b

解法1：

2z+311

W(z)=-------1--------

z~+3z+2z+1z+2

--I0I「「

x(k+1)=_2x(%)+]“(%)

y(無)=[1l]x(&)

解法2：

x1(k+1)=x2(k)

x2(k+1)=-2x1(k)-3x2(k)+u

y(k)=3xi(k)-}-2x2(k)

,「。11Fol

x(k+1)=x(Z)+u(k)

-2一31

y(k)=[32卜(女)

求T,使得廣8=，]得L=[；；]所以T=[；7

ip-「4o-

[011-2-3I01J[—5-1J

rfl-11r1

CT=[32Q1=[3-1]

所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為

r-4oirr

Z(k+1)=z⑹+u(k)

—J-11

y⑻=[3-l]z⑹

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的解

2-1.用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)小。

(\八

A;

141J

解：第一種方法：令圖-川=0

貝J嗔11]=0,即("1)2一4=0。

求解得到4=3,4=一1

當(dāng)一時’特征矢量

由

即[Pu+P2l=3Pu,可令p=1

.4Pu+“2l=32212

Pl2

當(dāng)%=T時，特征矢量P2=

〃22

11P12~P\2

由Ap2=4〃2，得

41._〃22~P12

JPl2+P22=_Pl2

即可令P2=

[4PI2+P22=-。22

]_

11l24

則T=T~=

2-2

,24

第二種方法,即拉氏反變換法:

5—1-1

si-A

-45-1

陽q15-11

（5-3）（5+l）L4s-l_

5-1]

（5-3）（5+l）（5-3）（5+l）

4s-l

（5-3）（5+l）（5-3）（5+l）

1111

2V7^3+7+1

11111

+

s—35+12l7^37+T

1?113,1

—e+—e—e—e

2244

eA,=Ul

13,1

e3'-e~'-e+-e

22

第三種方法，即凱萊一哈密頓定理

由第一種方法可知4=3,4=一1

31,3.

-e3+-e

44

113,1

-e——e

444

13,^113,1

—e+—e—e—e

2244

寧+河[;+%+2[:Ie--，-e3'+-e-'

22

2-2.下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對

應(yīng)的A陣。

；(Y+e")

2

(1)①(。=2e-'-2e-'(2)①(f)

2e-2,-e~'

-e'+e3'

解：（1）因為①（o）=]:4/,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

-2e'+Ie1'-4”"+Ie'0-2

—(<L=-e-'+le~2'-4e~21+"'1-3

（2）因為①⑼=1:1/,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

J3*

—e+—e

4411

A=%L

1-,33,~_41

—e+x-e

22r=0

2-3.求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解:

y=(l,O)x

初始狀態(tài)x(O)=［；］,輸入“⑺時單位階躍函數(shù)。

01

解：A

00

-1

si-A

0s

1

(…1s

~20

0

①(，)=*=叩S/-4)[=0

1

因為B=；,?(r)=/(r)

x(z)=O(r)x(0)+￡o(z-r)Bw(r)6?T

1「Jit-v

=+

0叫01

[t+ll-t2

=「2

LJl_t

-r+t+l

=2

t+\

y=[l0]x=—r2+z+l

2-4.有系統(tǒng)如圖2.1所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周

期分別為T=0.1s和1s,而％和內(nèi)為分段常數(shù)。

U2

圖2.1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖

列出狀態(tài)方程

x]=ku、-x}

/2二玉一

y=W+2%

尸[21]:

則離散時間狀態(tài)空間表達(dá)式為

X(Z+1)=G(T)X(Z)+”(T)”(Z)

y(Z)=6(攵)+。〃(左)

由G(T)=*和"(T)=^eA'dtB得：

--10]卜0-/「2]

A=B=CT=

_1oj|_0-11

[s+ioil_re"o'

*=匚1(s/—A)T]=Z>T1-11

H=f*d/=fU)1[k01_rl-e-Top01k(l-e")0

J。Jo[[_e-T14。一1_1一卜一1+"，"I。4(7一1+二)-T

,、「eT0〕，、「女(1一代)01/、

當(dāng)T=1時xR+1=_x(A+u(k)

|_l-e1J|_k/-1

y(4+1)=[21卜(左)

r/>/olr%(l-e叫0-

當(dāng)T=0.1時x(k+1)=x(Z)+u(k\

I7Ll-e-0J1J1J[VS)-。.1

y(左+1)=[21卜(攵)

第三章線性控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

3-1.判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值

對能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？

系統(tǒng)如圖3.1所示：

圖3-1系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

解：由圖可得：

x}=-axx+u

*

x2=-bx2

cx

x3=-CX3+々+%2-3

*

x4=x3-dx4

狀態(tài)空間表達(dá)式為:

—a00

*

%=0-b0

11-(

*001

兒

y=[0010>

由于尤2、七、Z與“無關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。

由于y只與X,有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。

(3)系統(tǒng)如下式：

11一-21-

^

0o

--+0

0C〃O

一--

cod一

?

oOo

解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控,

控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0,故有

。w0,Z?w0o

要使系統(tǒng)能觀，則C中對應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0,故有

cw0,dw0o

3-2.時不變系統(tǒng)

-3111

xx+u

1-311

11

yX

1-1

試用兩種方法判別其能控性和能觀性O(shè)

解：方法一:

-311111

A=,C—

1-3lj[1-1

n11-2-2

M=r[BAB]=][

-2-2

rankM=1<2,系統(tǒng)不能控。

11

1-1

-2-2

-44

m〃ZN=2,系統(tǒng)能觀。

方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。

■?A+3-i

1口|=,=（A+3）2—1=0

2+3

4—2,4—4

1

則狀態(tài)矢量：AR=4R=>P,=

1

1

AiP,=Z-.P,=>P,

-1

41

-1--

12

-r

1_12

-—-

_L2

~2

_

_1

-

2121

=1lr1-3111-20

'A<T12-

——-I-3卜-1J0-4

2

一

.2~2.

T」B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。CT中沒有全為0的列，系統(tǒng)可

觀。

3-3.確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)

，C=[1-1]

解：構(gòu)造能控陣：

M=\bAb\=1%+1

|_1a2

要使系統(tǒng)完全能控，則即%-02+1。。

構(gòu)造能觀陣：

「c[「1_1]

N==

CAJ[_a}\-a2

要使系統(tǒng)完全能觀，則「見豐,即

3-4.設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

y(s)_s+。

“(S)$3+10$2+27s+18

(1)當(dāng)a取何值時，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？

(2)當(dāng)a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。

(3)當(dāng)a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。

解：(1)方法1：%)="=.…―-

〃(s)(S+1)(5+3)(5+6)

系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒有零極點對消。因此當(dāng)a=l,或a=3

或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

方法2：

a-1a-3a-6

y(s)=s+a=106115

M(5)(s+1)(5+3X-S+6)S+l5+3s+6

4=一1，4=-3，4=—6

--1001Ff

X=0-30X+]u

0-6_|[1

0

a-1a-3a-6

y=X

10615

系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=l,或

a=3或a=6時，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

(2)當(dāng)a=l,a=3或a=6時，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型

010]ro-

x=001x+0

-10J[1

-18-27

y=[a10]x

(3)根據(jù)對偶原理，當(dāng)a=l,a=2或a=4時，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)H型

為

oo-18a

￡=10-27x+1u

01-100

y=[00l]x

3-5.已知系統(tǒng)的微分方程為：y+6y+lly+6y=6"

試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。

解：aQ-6,q=11,a,=6,=3,%=6

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

0100

X=001X+0U

-6-11-61

y=[600]x

傳遞函數(shù)為

-1

s-100

6

W(s)=C(sI-A)[B=[6000s-10

s3+6s?+115+6

6115+61

其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

00-66

X=10-11X4-U

01-6

y=[001]x

傳遞函數(shù)為卬⑸6

s'-61-11s+6

3-6.已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

,,、s~+6s+8

Wt(zs)=------------

S2+4S+3

試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

AW....s?+6s+82s+5

斛：W(s)=-----------=1+------------

s-+4s+3s'+45+3

系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為

010

x-x+u

-3-4j|_1_

y=[52]x+u

能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為

0-35

x-x+

1-42

y=[Ol]x+u

3-7.給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)

型。

o100"

x=-2-30x+1u

-1-32

y=[001]x

010°

解：A-2-30,b=1,C=[O01]

1-3

01-3

加=bAhA2b\^1-27

2-511

rankM=2<3,系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)，不能變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型

C001

N=CA-1-1-3

CA21-79

rankN=3,系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)，可以變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型,

3-8.試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解

12-1

A=0I0,b=

0-43

解:

0-1-4

M=\bAbA2b]000rankM=2<3,系統(tǒng)不是彳全能控的。

I39

-10

構(gòu)造奇異變換陣&：其中&是任意

叫,R2=Ab0，R3=

3

的，只要滿足R,滿秩。

0-10301

即此.001得上-100

130010

0-321

-2b=R；'b=\o\c=cR=\\2-1]

A=R；'ARC14c

0010

3-9.試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

12-1

A=010,b=11]

0-43

12-10

解:由已知得A010/=O,c=[l-11]

0-431

C1-11

則有NCA2-32

CA24-74

rankN=2〈3,該系統(tǒng)不能觀

1-11

構(gòu)造非奇異變換矩陣引，有尾=2-32

001

13-1-1-

則凡=2-10

001

■o1oirr

戈=反氏=-230x+2u

-732j[1

y=c《%=[l00]x

3To.試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

解：由已知得用=[人AbAb2~\=21226

20-2

rankM=3,則系統(tǒng)能控

c112

N=cA=—125

cA2-7411

rankN=3,則系統(tǒng)能觀

所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)

取北2=21226,則瑤=7---3

20-2F

002

則其=10-5c^cTe2=[71323]

014

3-11.求下列傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。

碗「11]「-10'

解：4=1，B。=,Ac=

11J[u—1

Bc=[-1o0i]fCc=「|1_l1]ifDc=「|0_o00一

系統(tǒng)能控不能觀

取叫；卜則N；

1

所以3=尾小,=-0,B=R.'Bc=

0—1

"「10'00

C-[10卜D=

00

100

所以最小實現(xiàn)為4=1,B=[11],C?,瓦=

m100

驗證：C"(s/-AJ'瓦=々；；=卬($)

\75+111

3-12.設(shè)2和%是兩個能控且能觀的系統(tǒng)

%：A=「_。3_14]，4,=「0]1，a=r?1]1

Z2：A2=—2,b2=1,C9=1

(1)試分析由z和％所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出

其傳遞函數(shù)；

(2)試分析由％和4所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫出

其傳遞函數(shù)。

解:

(1)%和4串聯(lián)

當(dāng)?shù)妮敵?是二的輸入“2時，W=-2工3+2為+工2

0100

x--3-40x+1u,y=[00\]x

21-20

01-4

M=[bAbA2;?]=1-413

01-4

則rankM=2<3,所以系統(tǒng)不完全能控。

5+21

W(s)=C(sl-A)-'B=

(.y+2)(5+3)(5+4)s2+75+12

當(dāng)z得輸出力是Z的輸入/時

0110

x——3■-141x+0uy=[210]x

00-21

001

因為Ah42可=01-6

1-2-4

rankM=3則系統(tǒng)能控

-cir2io-

因為N=cA=-3-21

_CA2_654

rankN=2<3則系統(tǒng)不能觀

1

W(s)=C(s/-A)-'B=-

+7.V+12

(2)%和4并聯(lián)

01-4

M=\_AAb1-413

1-2-4

因為rankM=3,所以系統(tǒng)完全能控

211

N=cA=-3-2-2

cA2654

因為rankN=3,所以系統(tǒng)完全能觀

2s+2H---5+2-------

29

w(s)=c(sl-Ay'B=-^―———一

、/、7(s+l)(s+2)(s+3)

第四章穩(wěn)定性和李雅普諾夫方法

4-1.判斷下列二次型函數(shù)的符號性質(zhì)