第7練 函數(shù)的性質（解析版）-2023屆高三數(shù)學一輪復習五層訓練（新高考地區(qū)）

第7練函數(shù)的性質

一、課本變式練

1.(人A必修一P85習題3.2T5變式)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

2

x_x3xII

A.y=2+2~B.y=xiC.y=—―-D.y=x\x\

【答案】D

【解析】y=/(x)=2'+2T,定義域為R關于原點對稱，且〃-x)=2T+2'=/(x),故該函數(shù)為偶函數(shù),

3_

故A不符題意；y=/(x)=/=J47,定義域為［0,8)不關于原點對稱，.?.該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B

不符題意：y=f(x)=lg(-x),定義域由一x>0得(-00,0)不關于原點對稱，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故

C不符題意；y=/(x)=x|x|,定義域為R關于原點對稱，且x)=-x|x|=-〃力，故該函數(shù)為奇函數(shù),

故選D.

2.(人A必修一P85習題3.2T7(1)變式)下列函數(shù)在(1,3)上單調遞減的是()

A.y=x2-4xB.y=2'-1

C.y=D.y=cosx+l

【答案】D

【解析】A：由二次函數(shù)性質知，y=d-4x圖象開口向上，且在(ro,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞

增，故A錯誤；

B：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性知I,函數(shù)y=2,在R上單調遞增，將y=2?圖象向右平移1個單位長度得出丫=2一

的圖象，其在(1,3)上單調遞增，故B錯誤；

C:由篝函數(shù)的單調性知y=場在［0,+8)上單調遞增，其在(1,3)上單調遞增，故C錯誤；

D：根據(jù)余弦函數(shù)的單調性知，y=cosx+l在(2版',2^+萬)(4eZ)上單調遞減，當左=0時，

(2版;2Qr+乃)=(0㈤，又(1,3)口0,萬)，所以y=cosx+l在(1,3)上單調遞減，故D正確.

故選D.

3.(人A必修一P85習題3.2T11變式)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當無<0時，〃x)=x+2,則

/(x)=.

x+2,x<0

【答案】/(x)=-o

x-2,x>0

【解析】因為/(x)為R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,當x>0時r<0,此時〃x)=-f(r)=—(r+2)=x-2,

x+2,x<0

所以"x)=,0.

x-2,x>0

4.(人A必修一P85習題3.2T7(2)變式)函數(shù)/(x)=+一2萬的最小值是.

【答案】3

【解析】“X)在定義域［3,內)上為增函數(shù)，所以其最小值為〃3)=3.

二、考點分類練

(一)函數(shù)的值域與最值

5.(2022屆廣東省深圳市高三上學期期末)如果函數(shù)/(“對任意的實數(shù)*,都有〃1+耳=/(一),且當犬2；

時，/(x)=log2(3x-l),那么函數(shù)f(x)在［-2,0］上的最大值與最小值之和為()

A.2B.3C.4D.-1

【答案】C

【解析】根據(jù)/(l+x)=/(-X),可知：/⑴關于x對稱，那么要求函數(shù)/(X)在［-2,0］上的最大值與最小

值之和，即求函數(shù)“X)在［1,3］上的最大值與最小值之和，因為，(力=1。8式3》-1)遞增，所以最小值與最大

值分別為：/⑴=1,/(3)=3,/(1)+/(3)=4,故選C.

6.(2022屆浙江省3月聯(lián)考)已知函數(shù)〃x)=T二，g(x)=log2x+?,若存在%?3,4］,任意電?4,8］,

使得f(xjNg(w),則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】b

【解析】若解勸在［3,4］上的最大值f(x)1nM,8(》)在［4,8］上的最大值8@)2,由題設,只需析x)1aNg(x)1rax

即可.在［3,4］上，f(x)=2+xN2、氏=6當且僅當x=3時等號成立，由對勾函數(shù)的性質：Ax)在［3,4］上遞

xVx

增，故/(0儂=2?5在［4,8］上，g(x)單調遞增，則g(x)max=3+*所以2亍5N3+*可得13

(二)函數(shù)的奇偶性

7.(2022屆甘肅省蘭州市高三診斷)已知/(X)是奇函數(shù)，當x>0時，/(x)=-log2(or),若/(-4)=3,

則”=()

13

A.—B.—C.2D.1

322

【答案】c

【解析】由題可知/(4)=一/(-4)=—3,.?.〃4)=-10g2(4a)=-3na=2.故選C.

8.(2022屆星云聯(lián)盟高三統(tǒng)一模擬)已知函數(shù)〃x)='+一二，則()

A./。+1)是奇函數(shù)B.f(x-l)是奇函數(shù)C.f(-x+D是偶函數(shù)D.7(-x-1)是偶函數(shù)

【答案】B

【解析】對于小)=%力〃，X+1H0

A,nx+l)=W++n且x*-3

尤+3

/(x+1)的定義域不關于原點對稱，函數(shù)不具有奇偶性，故A錯誤，對于B,了(0=：+七

,、11fx-1^0.、

=—+x+]/0=>xwi且工工一]，所以/(X—1)的定義域關于原點對稱

又了(一工-1)=-=------------1=一/(1+1),所以/(x-l)為奇函數(shù)，故B正確

-X—11—XX-1X+1

/、11/、11f-x+lwO

對于C,f(x]=—+------=>/(-x+l)=--------H----------,\且工工3

v7XX+2八7-x+\-x+3|-x+3^0

/(-X+1)的定義域不關于原點對稱，函數(shù)不具有奇偶性，故C錯誤，對于D,”》)=：+力

=f(-x-l)=—^+—^=--二-一二，且xxT,所以/(-尤-1)的定義域關于原點

-X—1—X+1X-1x+1[x+lw(J

對稱，乂/(x-l)=」7+」7=-/(—x-l),所以函數(shù)是奇函數(shù)，故D錯誤，故選B

9.(2022屆福建省高三4月百校聯(lián)合測評)已知奇函數(shù)/(X)在[05上單調遞增，在。,一)上單調遞臧,

且〃x)有且僅有一個零點，則f(x)的函數(shù)解析式可以是〃力=.

x,xe[-l,l]

【答案】/(%)=>(答案不唯一)

—,XG(一8,—1)U(1,4-0))

IX

【解析】由題意可知，.f(x)僅有一個零點x=0,結合單調性，可知/(力=八

—,xGu(L+8)

x,xe[-l,l]

故答案為/(x)=l1(答案不唯一).

—,xe(-8,-1)u(1,+8)

lx

(三)函數(shù)的單調性

10.(2022屆山西省太原市高三二模)已知函數(shù)〃x)=a(e*T+ej),則()

A.“X)在(—,2)上單調遞增

B.〃x)在(2,+8)上單調遞減

C.y=〃x)的圖象關于直線x=l對稱

D.y=〃x)的圖象關于點(1,0)對稱

【答案】C

【解析】因為〃x)=a(ei+ei),當a=0時〃x)=0,此時”x)為常數(shù)函數(shù)，不具有單調性，故A、B

均錯誤；因為〃17)=a(eET+eTi))=a(e-，+e,),〃l+x)=+皿=q(e，+e，)，

所以〃l-x)=〃l+x),所以〃x)=a(e'T+e5)關于x=l對稱，故C正確，D錯誤；故選C

11.(2022屆山東省聊城市高三下學期二模)已知f(x)為R上的奇函數(shù)，"2)=2,若對%,毛?。，口)，

當西時，都有(匕-W)半D-牛^<0,則不等式(x+l)f(x+l)>4的解集為()

A.(-3,1)B.(-3,-l)U(-l,l)

C.D.(-oo,-3)1,+oo)

【答案】B

【解析】由(％-々)["'—~~~7'I<。，得(百-/'--'I<。，因為不一馬>。X\X2>0,所以

%/(%)-毛/(工2)<0,即%/(3)<馬/(%),設g(%)=^(力,則g(?在(o,y)上單調遞減,

而g(x+l)=(x+l)/(x+l)>4=2〃2)=g⑵，則0<x+l<2,解得：因為f(x)為R上的奇函數(shù)，

所以g(r)=YA-x)=4(x)=g(x),則g(x)為R上的偶函數(shù)，故g(x)在(—,0)上單調遞增，

g(x+l)=(x+l)/(x+l)>4=g(—2),則-2<x+l<(),解得：-3<x<-l；綜上，原不等式的解集為

(-3,-1)；(-1,1).故選B.

12.(2022屆遼寧省錦州市高三第一次質量檢測)設函數(shù)f(x)的定義域為R,/(x-1)為奇函數(shù)，/(x+1)

為偶函數(shù)，當時，f(x)=—V+1,則下列結論正確的是()

A.=B.八力在(6,8)上為減函數(shù)

C.點(3,0)是函數(shù)〃x)的一個對稱中心D.方程f(x)+lgx=0僅有6個實數(shù)解

【答案】CD

【解析】f(x-l)為奇函數(shù)，=1),g|J./,(-%)=-/(-^-2),???〃力關于點(一1,0)對稱;

Q/(x+l)為偶函數(shù)，二/(7：+1)=/(》+1),即〃T)=〃X+2),.?J(x)關于x=l對稱；由

f(-x)=-f(x-2),/(-x)=〃x+2)得:f(x+2)=-/(-8)-4)=f(x),即是

周期為8的周期函數(shù)；對于A,=Z3+2]===A錯誤；對于C，

Q/(x+6)=-/(x+2)=-/(-x),BP/(x+6)+/(-x)=0,，/⑴關于點(3,0)成中心對稱，C正確；

對于BD,由周期性和對稱性可得/(X)圖象如下圖所示，

由圖象可知：f(x)在(6,8)上單調遞增，B錯誤；方程f(x)+lgx=0的解的個數(shù)，等價于/(力與y=-lgx

的交點個數(shù)，Q/(12)=/(4)=-/(O)=-l,-lgl2<-lgl0=-l,

??.結合圖象可知：〃x)與y=-Igx共有6個交點，即〃x)+lgx=0有6個實數(shù)解，D正確.

故選CD.

13.(2022屆皖豫名校聯(lián)盟體高三第三次聯(lián)考)函數(shù)/(幻=|“一2把'，》：°的單調遞減區(qū)間為__________.

-x-2,x<0

【答案】(f,1)

【解析】當x<0時，fM=-x-2,則其在(-00,0)上遞減，當xN()時，/(x)=(x-2)el,貝I］

尸(x)=e，+(x-2)e，=(x-l)e，，當04x<l時，f'(x)<0,所以〃x)在［0,1)上遞減,綜上,廣㈤的單調遞減

區(qū)間為(-8/)

(四)函數(shù)的周期性

14.(2022屆湖北省武漢市高三下學期四月調研)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x+l)=/(x)-2,則下列

是周期函數(shù)的是()

A.y=f(x)-xB.y=f(x)+x

C.y=/(x)-2xD.y=/(x)+2x

【答案】D

【解析】依題意，定義在R上的函數(shù)滿足〃x+l)=〃x)-2,所以〃x+l)+2(x+l)=〃x)+2x,

所以y=/(x)+2x是周期為1的周期函數(shù).故選D

15.(2022屆陜西省漢中市高三下學期教學質量第二次檢測)定義在R上的函數(shù)/(x),滿足〃x+5)=/(x),

當3,0］時,f(x)=-x-1,當xe(0,2］時,/(x)=log2x,M/(l)+/(2)+-+/(2022)=().

A.403B.405C.806D.809

【答案】B

【解析】由〃x+5)=〃x)得/(x)是周期函數(shù)，周期是5,/(l)=log2l=(),/(2)=log22=l,

/(3)=/(-2)=-(-2)-1=1,/(4)=/(-1)=0,/⑸=-0T=T,所以/⑴+/(2)+八3)+/(4)+/(5)=1,

/(l)+/(2)+-+/(2022)=404xl+/(l)+/(2)=405.故選B.

三、最新模擬練

16.(2022屆江蘇省南通市如皋市高三下學期適應性考試)若函數(shù)f(x)=4上^為奇函數(shù)，則實數(shù)。的值為

()

A.1B.2C.—1D.il

【答案】D

【解析】由/(X)為奇函數(shù)，所以f(-x)+f(x)=24±0+馬士^=匕土馬+4士=0,

''7Tx-a2'-a]-a-2x2x-a

所以2-2,-24.2,=0,可得"=1,解得。=±1,當a=—1時，”好的定義域為R,符合題意，當。=1時,

的定義域為(―,0)U(0,y)符合題意，故選D

17.(2022屆河南省許昌濟源平頂山高三第三次質量檢測)己知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)

間(-8,0)上是減函數(shù)，/(1)=0,則不等式〃1幅力>0的解集為()

A.B,(2,+oo)

C.(g』)u(2,+8)D.(0,；卜(2，+8)

【答案】D

【解析】因為函數(shù)“力是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(YO,0)上是減函數(shù)，所以，函數(shù)“X)在(0,田)

上是增函數(shù)，所以/(log2-r)>0<^>/(|log2x|)>/(l),即有|隆2耳>1,所以logzX〉1或log2K<-1，解得x>2

或0cxvL故選D.

2

18.(2022屆山西省太原市高三二模)已知函數(shù)〃x)=1——二，則()

xx-2

A.“X)在(fo,2)上單調遞增B.f(x)在(2,+8)上單調遞減

C.y=的圖象關于直線對稱D.y=/(x)的圖象關于點(1,0)對稱

【答案】c

【解析】因為===

—Z—Z—Z4—1—Z3

所以/(-2)>/(-1),所以A不正確;

因為/(3)=；-1=一|,7⑷=+￡=一：，

所以〃3)</(4),故B不正確;

因為…=￡1

~/3),

2-X-2

所以y=/(x)的圖象關于直線下?對稱，故c正確；

在一士的圖象上取一點(_2,一和則其關于點的點為《),

因為，(4)=-；=；，所以點(4,；)不在函數(shù)f(x)的圖象上，故y=f(x)的圖象不關于點(L0)對稱，故D不

正確.故選C

19.(2022屆江西省南昌市高三第二次模擬)若〃x)=F0；c為奇函數(shù)，則g(-2)=()

[g(x)+x,x<0\/

A.-8B.-4C.-2D.0

【答案】A

【解析】因為/(x)為奇函數(shù)，所以/(-2)=-/(2)=T,又/(-2)=g(-2)+4,可得g(—2)=—8.故選A.

20.(2022屆遼寧省鞍山市高三第二次質量監(jiān)測)已知函數(shù)/U)是定義在R上的奇函數(shù)，若對任意的

“吃目0,+功，且x產(chǎn)土，都有一/(“):成立,則不等式時(〃?)一(2m-1)〃2機-1)>0的解

X\~X2

集為()

A.(1)1)B.(-8,1)

C.(1,00)D.,°°，g)(1，+°°)

【答案】D

【解析】?..函數(shù)<x)是定義在R上的奇函數(shù)，，g(x)=^(x)為定義在R上的偶函數(shù)

又...(\)(、』<0,r.g(x)=#(x)在[0,+8)上遞減，則g(x)在(—0,0)上遞增，

西一*2

時⑵“_[)>0即可'(6)>(26_1)/(26_1),則加|<|2機_"解得：e卜8,；)u(l,+8).故

選D.

21.(2022屆天津市靜海區(qū)高三下學期4月調研)已知函數(shù)f(x)=3*且/(x)=g(x)+〃(x),其中g(x)為奇

函數(shù)，從x)為偶函數(shù).若關于x的方程2ag(x)+/z(2x)=0在(0,1]上有兩個解，則實數(shù)。的取值范圍是()

41rr整-冏C.D」夜萼

A.———f—y/2B.―

_24」.24；L24J[24J

【答案】B

【解析】f(X)=g(X)+/7(X)①，則/(-x)=g(-x)+h(-x),即一g(x)+h(x)=f(-x)②,

由①②得g(x)=/(x)?(-x)

—1,H(X)——,

222

O-2x

x

方程2ag(x)+A(2x)=0為a(3-3^)+=0(*),

2

Q

令/=3'—3一x是增函數(shù)，%￡(0,1］，則f￡(0q］,

方程(*)變?yōu)?必+d+2=0,此方程在(0,1］上有兩不等實解,

△=4/一8>0

八8

3,解得一親一起,

記°。)=/+2at+2,則<

奴0)=2>0

力、6416八

)=—+—6T+2>0

故選B.

22.(2022屆江西省臨川高三4月模擬)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足f{-x)=-/(x),函數(shù)y=f(x+1)

為偶函數(shù)，且當xeOl］時，/(x)=log?(x+a),則“2022)+/(2023)=()

A.-1B.1C.504D.無法確定

【答案】A

【解析】因為函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且/(-x)=-/(x),所以函數(shù)y=.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=log2a=0,解得a=l,HP/U)=log2(x+l),/(I)=log22=1；

因為y=f(x+D為偶函數(shù)，所以/(x+l)=〃-x+l),即y=f(x)的圖象關于x=l對稱，

又y=/(x)滿足J(T)=-J(X),所以=(x+D=_/d),貝！!/(x+2)=—7(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，周期為4,

則/(2022)+/(2023)=/(2)+/(3)=-/(0)-/⑴=-1.故選A.

V

23.已知函數(shù)/(犬)1=：+質1+士1+3圖像與函數(shù)g(x)=7^4-9、圖像的交點為區(qū)J),小,%)，…，(4，%)，

則Z(±+%)=()

i=\

A.20B.15C.10D.5

【答案】A

【解析】函數(shù)〃乂)=4+<+<+3定義域為(y,0)50,2)52,4)54,+?)),

xx-2x-4

其圖象是4條曲線組成，在區(qū)間(-8,0),Q2),(2,4),(4,+s)上都單調遞減，

當x<0時，/(x)<3,當0vx<2或2cx<4時，f(x)取一切實數(shù)，當x>4時，/(x)>3,

"IM(加(-3-3-泊+今士+占+3)=6,即小)的圖象關于點(2,3)對稱,

Q

函數(shù)g(X)=4--^-定義域為R,在R上單調遞增，值域為(2,4),其圖象夾在二平行直線y=2,y=4之間，

g(4-x)+g(x)=(4-王三卜〔4一號)=8-(最三+七)=6,g(x)的圖象關于點(2,3)時稱，

因此,函數(shù)〃x)的圖象與g(x)的圖象有4個交點,即機=4,它們關于點(2,3)對稱,

不妨令點(石,凹)與相互對稱，。2，/)與(七，%)相互對稱，則4+又=&+,=4,y+M=%+%=6,

所以￡(苦+?)=20.故選A

1=1

24.(多選)(2022屆河北省秦皇島市高三二模)已知函數(shù),f(x)=lg(必而-x),g(x)=j-^7,

F(x)=/(x)+g(x),則()

A.7(x)的圖象關于(0,1)對稱

B.g(x)的圖象沒有對稱中心

C.對任意的xe[-a,a](a>0),F(x)的最大值與最小值之和為4

D.若3HI<i,則實數(shù)*的取值范圍是(Y>/)U(3,+8)

x-\

【答案】ACD

【解析】由題意知f(x)的定義域為R，因為〃x)+/(-x)=lgl00=2,所以〃x)的圖象關于(0,1)對稱,

故A正確；

因為g(x)的定義域為R,且g(x)+g(-x)=2,所以g(x)的圖象關于(0,1)對稱，故B不正確；

因為尸(x)=/(x)+g(x),所以F(x)的圖象關于(0,2)對稱，所以對任意的xe[—。,可(。>0),尸(x)最大

值與最小值之和為4,故C正確；

由川x-3)+x-3<],得小一3)+x-3_]=小一^4,又尸(力在R上單調遞減，且產(chǎn)⑼=2,所

X—1X—1X—1

fx-3>0[x-3<0

以<?八或<?八，解得x>3或xvl,故D正確，故選ACD.

25.(2022屆江蘇省如東中學、姜堰中學、沐陽中學三校高三下學期4月階段性測試)華人數(shù)學家李天巖和

美國數(shù)學家約克給出了“混沌”的數(shù)學定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學、經(jīng)濟學和社會學領域都有重要作

用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關鍵概念，定義如下：設f(x)是定義在R上的函數(shù)，對于xeR,

令%=f(x,i)(〃=l,2,3,),若存在正整數(shù)&使得尤《=x0,且當0勺<&時，XjHx。，則稱為是/(x)的一個周

2x,x<—

期為4的周期點.若f(x)=J］,下列各值是/(x)周期為2的周期點的有()

2(1—x),x..

A.0B.-C.-D.1

33

【答案】AC

【解析】A：x°=0時，內=/(0)=0,周期為1,周期為2也正確，故A正確；

B：時，玉=/(g)=■1，*2=/■(：)=!■,七==X“=：，所以(不是f(x)的周期點.故B錯誤;

J\JJJ\JJJJ

22

C：時，x,=x2==%=§,周期為1,周期為2也正確.故C正確；D：題=1時，

%=〃1)=0,受=/(0)=0k不，.?」不是“X)周期為2的周期點，故D錯誤.故選AC.

26.(2022屆山東省濰坊市高三下學期二模)已知定義在［0,+s)上的函數(shù)“X)滿足〃x+2)=/(x),且當

\fix,o<x<i,,、

xe[(),2]時，/(x)="廠「.fX圖像與X軸的交點從左至右為O,4，與，8\,…，8,,，…:

->J3x+2>J3,l<x<2,

f(x)圖像與直線y=6的交點從左至右為A,4,A”…，4.....若G，g,C3,。為線段4冬

iozuuiruuu\

上的10個不同的點，則Z(o&3)=

/=!'

【答案】480

【解析】因為定義在［0,+功上的函數(shù)〃x)滿足〃x+2)=〃x),所以/(x)是在［0,+8)匕周期為2的周

期函數(shù),

y/3x,0<x<\

且當xw[0,2]時，〃x)=,

rr,函數(shù)圖象如下所示:

-v3x+2v3J<x<2

依題意可得人卜，6)、4(15,73),坊(16,0),且AA的方程為y=d(x-14)+2GX?15,16],

設C,(X,.，-Gr；+166),x;e[15,16],

所以求=(3,@,OC,=(X,.,-A/3X,.+16A/3),

uuuuuu.iouuiruuir

所以O\-OC,=3x,.+Vz3+16>/3)=48,所以^(0^0^)x=10x48=480

27.(2022屆陜西省咸陽市高三3月月考)設函數(shù)=-2aT(a>0,aXl,&eR),〃x)是定義域為R

的奇函數(shù)

(1)確定&的值

⑵若/⑴=3,判斷并證明的單調性；

⑶若。=3,使得2/(2x)W(2+l)/(x)對一切XG[-2,-日恒成立，求出，的范圍.

【解析】⑴因/(力=敏-為是定義域為R的奇函數(shù)，

則/(-x)+/(x)=M-2ax+kax-2ax=(k-2)(/+^)=0,而/+/*>0,解得&=2,

所以％的值是2.

⑵由(1)得f(x)=2“'-2「，〃x)是定義域為R的奇函數(shù)，

而7(1)=3,則2a-2/1=3,即2a2-3a-2=0,又a>0,”wl,解得a=2,

則函數(shù)/(X)=2(2,-2-')在R上單調遞增，

XxX

VgeR,占<通,/(x))-f(x2)=2(2'-T')-2(2^-2^)=2(2'-2^)(1+—1—),

22?2七

因則2"一2逅<0,1+"^>0,于是得即/0)</(當)，

2,*-2,2

所以函數(shù)“X)在定義域R上單調遞增.

⑶當。=3時，/(x)=2(3x-3-v),

Vxe[-2,-l],2/(2x)<(2+l)/(x)<=>4(32x-3-2')<2(2+1)(3r-3-1)

o2(3V+3f)(3,一3-，)4(2+。仗—3-*),而函數(shù)y=3*-3T在[-2,-1]上單調遞增,3'-3一"3T-3<0，

于是得2+142(3'+3一、)，令3*=feg,J,函數(shù)y=2(r+)在匕單調遞減，

rx

當t=g，即x=-l時，[2(3+3-)]min=y,因此，2+l<y,解得24日，

所以4的范圍是4sm17.

四、高考真題練

28.(2021新高考卷H)已知函數(shù)/(X)的定義域為R,/(x+2)為偶函數(shù),/(2x+l)為奇函數(shù)，則(

A.U)=°B./(-1)=0C.42)=0D.44)=0

【答案】B

【解析】因為函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，則〃2+X)=〃27),可得〃X+3)=〃1T),

因為函數(shù)〃2x+l)為奇函數(shù)，則"1—2x)=—"2x+l),所以,"1一x)=-/(x+l),

所以，/(%+3)=—/(%+1)=/(%—1),即/(x)=/(x+4),

故函數(shù)/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

因為函數(shù)F(x)=/(2x+l)為奇函數(shù)，則F(0)=/(1)=0,

故/(—1)=一/(1)=0,其它三個選項未知.故選B.

29.(2020新高考山東卷)若定義在R的奇函數(shù);(x)在(-8,0)單調遞減，且八2)=0,則滿足獷>-1)i0的x

的取值范圍是()

A.[-!,!]_[3,+o))B.[-3,-1]_[0,1]

C.[一1,0]31,+8)D.[-l,()]u[l,3]

【答案】D

【解析】因為定義在R上的奇函數(shù)"X)在(3,0)上單調遞減，且/(2)=0.

所以/(X)在(0,+8)上也是單調遞減，且『(一2)=0,/(0)=0,

所以當xG(-00,-2)u(0,2)時,f(x)>0,當xe(-2,0)J(2,4w)時,/(x)<0.

所以由4(%一1)20可得：

x<0fx>0

’—2Wx—lW0<x—1N2或[0<x—1W2則—1<—2或*=°

解得TWxWO或

所以滿足方'(x—1)N0的x的取值范圍是[-1,0]<41,3],故選D.

30.(2021新高考卷I)已知函數(shù)是偶函數(shù)，則〃=—.

【答案】1

【解析】因為函數(shù)f(x)=x\a-2(-2-，)是偶函數(shù)，

y=為R上的奇函數(shù)，

故y=a-2*-2T也為R上的奇函數(shù),

所以yL=o=a-2°-2°=?-1=0.

所以a=l.

31.（2021新高考卷I）函數(shù)/（x）=|2x-1|-2/nr的最小值為.

【答案】1

【解析】函數(shù)/（x）=\2x-\\-2lnx的定義域為（0,+oo）.

當0<%,g時,/（x）=2x-l|-2lwc=-2x+1-2lnx,

此時函數(shù)，（x）在（0,上為減函數(shù)，

所以/（X）../（^）=-2x1+1-2/n^=21rl2；

當x>g時，/（x）=|2x-11-2lnx=2x-1-11m,

則?。?2二=22

XX

當X€（；.1）時,/'（x）<0J（x）單調遞減，

當X€（1,-+W）時.r（x）>0"（X）單調遞增，

.?.當x=l時f（x）取得最小值為/（1）=2x1—1-2加1=1.

2lri2=//?4>Ine=1,

二函數(shù)/（%）=（2%-1|-2/四的最小值為1.

32.（2021新高考卷H）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)/（%）：

①/（X1A2）=/（不）/（尤2）;②當xe（0,+8）時,/'（x）>0；③/'（X）是奇函數(shù).

【答案】f（x）=x4（答案不唯一,/（司=/"（〃6'*）均滿足）

【解析】取〃X）=f,則/（中2）=（叱2）4=?<4=/（百）/（%），滿足①，

r⑺=底,%>o時有r（%）>o,滿足②，

/'（"=4%3的定義域為取

又/'（一X）=-4*3=_/，（x），故（⑴是奇函數(shù)，滿足③.

五、綜合提升練

33.（2022屆江西省贛州市高三二模）若函數(shù)〃x）邛x+〃+77W-X有零點,則a的取值范圍是（

A."也,烏B.—00,———2,+8J

22

C.(0,1)D.(y,+00)

【答案】A

【解析】由”八―+&-1=0有解,

|121

可得x21,/(%)=-x+a------「.,

2x+Vx*2-1

與戶一金T在口'9都是增函數(shù)'

因為y=

所以/(X)在口,+00)是增函數(shù)，乂Xf+(?時/(x)f”,

1+/-1W0,即一旦日時/(x)有零點.故選A.

所以當〃1)=

22

34.(2022屆福建省泉州市高三質量監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)的定義域為［0,+8),且滿足

2,-l,xe[0,l)皿-上

log2(3-x),xw[l,2)'當M2時,/(x)=2/(x-2),義為非零常數(shù)，則下列說法正確的是(

A.當4=-1時，/(log,80)=^

B.當一>0時,“X)在［10,11)單調遞增

C.當4<-1時，“X)在的值域為［萬"［產(chǎn)

D.當/l>0,且讓I時，若將函數(shù)且仁卜2嚀與f(x)的圖象在［0,2磯〃e")的加個交點記為

(七,y)(i=1,2,3,…,間,則E(七+%)="+斯一1

/=1

【答案】BC

【解析】對于A,當4=一1時，/(x)=-/(x-2),則/(x+4)=—/(x+2)=/(x),

.,.當xN2時，/(x+4)=/(x),f(x+2)=-f(x),

2嘲.1、4+1=4,人錯誤

.■■/(log280)="log?80-4)=/(log,5)=

7

對于B,當％>0時，”力在［0,1)上的單調性與在［2〃,2鹿+N*)的單調性相同,

/(X)在［0,1)上單調遞增，.?J(x)在［10,11)上單調遞增，B正確;

對于C,由/(x)=2/(x—2)得：/(X+4)=2/(X+2)=/17(X).

依次類推可得:/(x+8)=24/(x),/(X+12)=26/(X),……，貝打(尖+4〃)=紀"(x)；

4<T,在［0,1］和［4〃-1,4〃+1］(〃€")上單調遞增，在［4〃—3,4〃-1］(〃€N*)上單調遞減;

當xw［0,4"］("eN")時，

2(2(n1)22n1

/(x)n.n=/(4n-l)=2"-'7(4/J-l-4(?-l))=/l-/(3)=2?-7(l)=A-；

皿=〃4“-3)=不(1)/(4〃-3-45-1))=產(chǎn)1)〃1)=矛1

??J(x)在［0,4磯〃eV)上的值域為［力小,a一1,C正確；

對于D,由圖象可知：g(x)=/?與“X)的圖象在［0,2〃］("eN，)有〃個交點，且占=萬-1,

。=獷(』,2,3「、“),

.4>0且4x1,.?.數(shù)歹U｛x,｝是等差數(shù)加J,數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，

—\S6〃(1+2〃-1)1-2"21-精c，

ZU+