2023屆浙江省衢州一中高三普通高中畢業(yè)班綜合測試（一模）數(shù)學(xué)試題試卷

2023屆浙江省衢州一中高三普通高中畢業(yè)班綜合測試（一模）數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)Z1=cos23+isin23和復(fù)數(shù)Z?=cos37+/sin37,貝（!z「Z2為

A1V3.R百r1.nV31.

22222222

2.設(shè)函數(shù)/（幻=￡獸￡,則y=/（x）,乃,句的大致圖象大致是的（）

3.設(shè)/（x）=|lnx|,若函數(shù)g（x）=/（x）-以在區(qū)間（01）上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

4.用一個(gè)平面去截正方體，則截面不可能是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D,正六邊形

22

5.已知雙曲線￡一色=1（a>0/>0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,8,雙曲線的右焦點(diǎn)廠為（2,0）,點(diǎn)P在過F且垂直

于x軸的直線/上，當(dāng)AABP的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）

22

A.土-匕=1

22

r222

C.——D.土-工=1

344

6.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=-sin-+icos二的共朝復(fù)數(shù)N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

33

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.設(shè)加，〃均為非零的平面向量，貝！J”存在負(fù)數(shù)X,使得加=而"是"〃〃〃＜0”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.設(shè)—/是方程V一%—1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記凡=律+8（〃eN*）.下列兩個(gè)命題（）

①數(shù)列｛凡｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù);

②數(shù)列｛a,,｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).

A.①正確，②錯(cuò)誤B.①錯(cuò)誤，②正確

C.①②都正確D.①②都錯(cuò)誤

9.已知隨機(jī)變量。滿足「信=左）=球（1一0.廣/，，=1,2,々=0,1,2.若；＜月＜02＜1,則（）

A.￡?,)<E?2),。但)<。但)B.E信)<E?),￡>俗)>￡>倡)

C.E(0)>E(4),￡>(?<￡>?)D.E（護(hù)E4）,。（0＞。&）

10.已知復(fù)數(shù)二滿足（l+i）z=2i,貝！l|z|=（）

LJ21

A.V2B.1C.—D.-

22

11.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，

葭各幾何？”，其意思是：有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?，若把?/p>

引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取

自水下的概率為（）

12132114

—B.—C.—D.—

13142915

12.已知函數(shù)/(x)=sin2工x—Esin^xcos工x,貝!)/⑴+八2)+...+/'(2020)的值等于()

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭；令上方六尺：問亭方幾何？”

大致意思是：有一個(gè)四棱錐下底邊長為二丈，高三丈；現(xiàn)從上面截取一段，使之成為正四棱臺狀方亭，且四棱臺的上

底邊長為六尺，則該正四棱臺的高為尺，體積是_______立方尺(注：1丈=10尺).

14.已知盒中有2個(gè)紅球，2個(gè)黃球，且每種顏色的兩個(gè)球均按A,3編號，現(xiàn)從中摸出2個(gè)球(除顏色與編號外球

沒有區(qū)別)，則恰好同時(shí)包含字母A,8的概率為.

15.的展開式中，x的系數(shù)等于一.

x2+y2<1

16.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(2,l),若點(diǎn)B(x,y)滿足<；4尤41?,則。的最大值是.

0<y<l

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在.ABC中，角A、B、C所對的邊分別為b、c,且cos2C+3cosc-1=0.

(1)求角C的大小;

(2)若b=3a,A8C的面積為GsinAsinB,求sinA及c的值.

jr

18.(12分)在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCO為直角梯形，AD//BC,AABC,PEL面

2

ABCD,AD=3AE,AB=BC=2AE=2,PC=3.

(1)在線段上是否存在點(diǎn)尸，使CF〃面以6,說明理由;

(2)求二面角￡一PC—。的余弦值.

19.(12分)在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在

數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn),

x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為。=1-sin。(0?6<2肛。>0),

M為該曲線上的任意一點(diǎn).

y

X

3

(1)當(dāng)10M時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；

(2)將射線繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)'與該曲線相交于點(diǎn)N,求|MN|的最大值.

20.(12分)第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》中，提出推行生

活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣傳

普及的關(guān)系，對某試點(diǎn)社區(qū)抽取50戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的2x2列聯(lián)表.

分類意識強(qiáng)分類意識弱合計(jì)

試點(diǎn)后5

試點(diǎn)前9

合計(jì)50

已知在抽取的5()戶居民中隨機(jī)抽取1戶，抽到分類意識強(qiáng)的概率為()58.

(1)請將上面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有

關(guān)？說明你的理由；

(2)已知在試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的9戶居民中，有3戶自覺垃圾分類在12年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的9戶居民

中，隨機(jī)選出3戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在12年以上的戶數(shù)為X,求X分布列及

數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2=---------"3"一姐--------,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的臨界值表僅供參考

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.01()0.005().(X)1

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)已知函數(shù)〃x)=ln(尤+1)+名，其中。為實(shí)常數(shù).

(1)若存在〃>〃此一1,使得“X)在區(qū)間(加,〃)內(nèi)單調(diào)遞減，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)。=0時(shí)，設(shè)直線丁=辰—1與函數(shù)y=/(x)的圖象相交于不同的兩點(diǎn)A(玉,y),8(9,%)，證明:

.2

%+%+2〉一?

k

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=e"-ln(x+〃z)+eR.

(1)若x=0是函數(shù)/(X)的極值點(diǎn)，求,f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí)，證明：/(%)>m

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則即可得出.

【詳解】

ziZ2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos6()°+isin60°=—+烏

'■............'22

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

熟練掌握復(fù)數(shù)的三角形式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,

點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長的計(jì)算.

2、B

【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A；通過判斷特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號排除選項(xiàng)D和選項(xiàng)C

即可求解.

【詳解】

對于選項(xiàng)A:由題意知，函數(shù)/(力的定義域?yàn)镽,其關(guān)于原點(diǎn)對稱,

生比上_*=

、)(r)+1%+1

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故選A排除；

對于選項(xiàng)D:因?yàn)榱?+4>°，故選項(xiàng)D排除;

圖

對于選項(xiàng)C:因?yàn)?(丁)="*(")=0,故選項(xiàng)C排除;

7T+1

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點(diǎn)函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點(diǎn)

并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

3,D

【解析】

令g(x)=,f(x)-公=0,可得f(x)=ar.

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù).f(x)=|lnx|的圖象(如圖所示).

當(dāng)x>l時(shí)，〃x)=lnr.由y=lax得

設(shè)過原點(diǎn)的直線y="與函數(shù)y=/"X的圖象切于點(diǎn)A(x0,In/)，

Inx0=ax^%=e

則有《1，解得V1.

a=—a=—

%e

所以當(dāng)直線y=內(nèi)與函數(shù)丫=山x的圖象切時(shí)。=1

e

又當(dāng)直線丫=必經(jīng)過點(diǎn)B（e2,2）時(shí)，有2=a",解得

結(jié)合圖象可得當(dāng)直線y=以與函數(shù)/（x）=|lnx|的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

即函數(shù)g（x）=/（x）—公在區(qū)間（01）上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?選D.

點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

⑵分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)

雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.

4、C

【解析】

試題分析：畫出截面圖形如圖

顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C.

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論.

5、A

【解析】

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,加）（相＞0）,tanZAPB=tan（ZAPF-ZBPF）,展開利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線

計(jì)算得到答案.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,〃?)(〃?>0),由于|A6|為定值，由正弦定理可知當(dāng)sinNA總?cè)〉米畲笾禃r(shí)，AAPB的外接

圓面積取得最小值，也等價(jià)于tanNAPB取得最大值，

因?yàn)閠anNAPF=巴=，tanZBPF^^-,

2+。2—a

tan/APB=tan

2+。2-a

mm

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=幺(〃2>0),即當(dāng)〃2=h時(shí)，等號成立,

此時(shí)NAP8最大，此時(shí)AP8的外接圓面積取最小值,

22

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2/),代入0一馬=1可得后，/?=7c-?=72-

所以雙曲線的方程為三-匯=1.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

6、B

【解析】

由共軌復(fù)數(shù)的定義得到Z，通過三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解

【詳解】

由題意得了=-sin二一icos二，

33

因?yàn)椤猻in^^=-^^<0，—cos—=-〉0,

3232

所以N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了共物復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論.

【詳解】

因?yàn)椤?，〃均為非零的平面向量，存在負(fù)數(shù)4,使得加=幾〃，

所以向量而，〃共線且方向相反，

所以加?〃<(),即充分性成立；

反之，當(dāng)向量加，〃的夾角為鈍角時(shí)，滿足加?〃<(),但此時(shí)"2,〃不共線且反向，所以必要性不成立.

所以“存在負(fù)數(shù)4,使得m=An”是“mn<0”的充分不必要條件.

故選B.

【點(diǎn)睛】

判斷P是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件P能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件P，定義法

是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確.

8、A

【解析】

利用韋達(dá)定理可得a+夕=1,,結(jié)合%=a"+6"可推出a,.=an+,再計(jì)算出《=1,4=3，從而推出①

正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.

【詳解】

因?yàn)閍是方程f一工一1=()的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，

所以a+2=l,a尸=-1,

因?yàn)閍0=a"+"，

所以?？?。向+夕川

=(a"+/7")a+(c"+4")用一Pna-anp

=(an+4”)(a+f3')-a(3(an-'+夕一)

=(優(yōu)+夕')+(小+41)=q+%,

即當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛4｝中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和，

22

又4-a+(3-\,a2=a+(3=(a+4『―2麗=3,

所以。3=。2+4=4,%=生+%=7,%=。4+%=U,

以此類推，即可知數(shù)列｛%｝的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)，故①正確；

若數(shù)列｛《,｝存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù)，則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,

由4=1,。2=3,依次計(jì)算可知，

數(shù)列(??｝中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,897,6,3,9,2為周期，

故數(shù)列｛??｝中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng)，故②錯(cuò)誤；

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo)，考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.

9、B

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：E低)=Pi,D(4)=Pj(1-0),再根據(jù)：<0<<1和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量《滿足P(4="=0(-0廣*討，1=1,2,左=0,1,2.

所以。.服從二項(xiàng)分布，

由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：E(4)=0,〃(當(dāng))=0(1-0),

因?yàn)?<P]<P2<1，

所以E信)<￡(4),

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：/(x)=x(l-x),在上單調(diào)遞減，

所以。信)>。?).

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

10、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得Z,然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.

【詳解】

2/2i(1)2z-2z2

由題可知：z=—

由尸=一1，所以z=l+i

所以目=V12+12=V2

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

由題意知：BC=2,B'C=5,設(shè)AC=x,則A8=A6'=x+2,在Rt二ACB'中，列勾股方程可解得x,然后由

Y

p=——得出答案.

x+2

【詳解】

解：由題意知：BC=2,B'C=5,設(shè)AC=x,則AB=A8'=x+2

,21

在Rt_AC3'中，列勾股方程得：52+X2=(X+2)\解得X=I

21

X~A21

所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為P=--=5/一=—

x+221+229

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

首先，根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，根據(jù)所求函數(shù)的周期性，得到其周期為4,然后借助于三角函

數(shù)的周期性確定其值即可.

【詳解】

解：/(x)=sin2—x-V3sin—xcos—X.

444

I八乃、6.乃

=—(1-cos—%)------sin—x

2222

=-sin(-^x+—)4-^,

f(X)=-si畤X+令+；,

T2萬

???/(x)的周期為一不一

2

〃1)=W，42)=1，〃3)=￥，〃4)=0,

〃l)+f(2)+〃3)+/(4)=2.

.-./(1)+/(2)++/(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=1010.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識，掌握輔助角公式化簡函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，屬于

中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、213892

【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高，再計(jì)算它的體積.

【詳解】

如圖所示：

正四棱錐P?A5CD的下底邊長為二丈，即Ab=20尺，高三丈，即尸。=30尺,

截去一段后，得正四棱臺ABCD-A，B，CDT且上底邊長為A7f'=6尺,

30-00'2X6

所以

30-x20

2

解得OO'=21,

所以該正四棱臺的體積是

V=*1x(2()2+20x6+62)=3892,

故答案為：21；3892.

【點(diǎn)睛】

本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了棱臺的體積計(jì)算問題，屬于中檔題.

2

14、-

3

【解析】

根據(jù)組合數(shù)得出所有情況數(shù)及兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)，讓兩個(gè)球顏色不相同的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概

率.

【詳解】

從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球共c：種情況，其中有c；c；種情況是兩個(gè)球顏色不相同;

故其概率是。=三^===彳

C4o3

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求事件概率，解題關(guān)鍵是掌握概率的基礎(chǔ)知識和組合數(shù)計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

15、7

【解析】

(I[IV/.

由題，得t+i=C；--x^=C；-九4-r,令廠=3,即可得到本題答案.

\J

【詳解】

(1Yl]_iv/IY

由題，得加=喝R=G匕卜?'

令r=3,得x的系數(shù)

故答案為：7

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

16、75

【解析】

\m\r-

OAOB=2x+y，可行域如圖，直線2x+y=m與圓/+>2=1相切時(shí)取最大值，由=>0n/〃=，5

V5

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)C——(2)sinA=；c-y/3

314

【解析】

(1)由cos2c=2cos2c-1代入cos2C+3cosc-1=0中計(jì)算即可；

(2)由余弦定理可得°=所以sinA=\sinC,由52芯=；。匕sinC=J5sinAsinB,變形即可得到答案.

【詳解】

(1)因?yàn)閏os2C+3cosc—1=0,可得：2cos*C+3cosc-2=0,

AcosC=~,或cosC=-2(舍)，V0<C<,

2

222222

(2)由余弦定理c=a+b-2abeosC=3a+2a=7a,

得c=5a

所以sinC=J7sinA,

田..I.「屈

故smA=—7=sinC=---,

a14

又S/\ABC=gabsinC=6sinAsin8,ZC

所以，——竺=［上］=4,

sinAsin5lksinC)

所以c=.

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.

18、(1)存在；詳見解析(2)好

5

【解析】

(1)利用面面平行的性質(zhì)定理可得，/為PO上靠近。點(diǎn)的三等分點(diǎn)，石。中點(diǎn)。，證明平面平面即

得；

(2)過E作EG//45交8C于G,可得PE,EG,ED兩兩垂直,以分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，求出EC,EP長，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，用向量法求二面角.

【詳解】

解：(1)當(dāng)尸為上靠近。點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，滿足〃面B45.

證明如下，取EO中點(diǎn)。，連結(jié)CQ,QF,C￡

AD!IBC,AD=3AE,BC=2AE=2,AQ=BC

即易得A6//CQ，。///AP所以面CQb//面即C尸〃面R鉆.

(2)過E作EG//AB交BC于G

TT

PE±^ABCD,NABC=一

2

PE,EG,ED兩兩垂直,以EG,ED,EP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

EC=>JEG2+GC2=y/5,PE=y]PC2+EC2=2

￡（0,0,0）,P（0,0,2）,C（2,l,0）,D（-2,l,0）

EP=（0,0,2）,PC=（2,l,-2）,CD=（-2,1,0）

%?EP=2z=0z=0

設(shè)面EPC法向量4=(x,y,z),貝?卜,即《

%?PC=2x+y-2z=0y=-2x

取x=l,；.4=（l,-2,0）

同理可得面PC。的法向量〃2=(L2,2)

-3V5

COS<72,,%>=-----=--------------

365

綜上可知銳二面角E—PC—。的余弦值為也.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角.線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握:

立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉(zhuǎn)化、相互依存的.求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間

向量法求空間角.

/3q冗、

19、(1)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為；,：或31U

，-（2）72+1

\2o/26-

【解析】

3

(1)令一=l-sin。，由此求得。的值，進(jìn)而求得點(diǎn)〃的極坐標(biāo).

2

(2)設(shè)出M,N兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，利用勾股定理求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.

【詳解】

(1)設(shè)點(diǎn)M在極坐標(biāo)系中的坐標(biāo)［；招］,

31

由夕=l-sin。，得一=l-sin。，sin8=——

22

,：Q<0<2K

66

37乃3Wn

所以點(diǎn)M的極坐標(biāo)為或

(2)由題意可設(shè)N夕24+6

由夕=1-sin。，得g=l-sin。，p2=1-sinIy+I=1-cos0.

\MN\=y/p；+=^(1-sin^)24-(1-cos/9)2

=j3-2(sin6+cos6)

=，3—2拒sin6+()

57r

故。=亍時(shí)，I跖v|的最大值為近+i.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查極坐標(biāo)的求法，考查極坐標(biāo)下兩點(diǎn)間距離的計(jì)算以及距離最值的求法，屬于中檔題.

20、(1)有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.見解析(2)分布列見解析，期望為1.

【解析】

(1)由在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，抽到分類意識強(qiáng)的概率為058可得列聯(lián)表，然后計(jì)算Kz后可得結(jié)論;

(2)由已知X的取值分別為0』,2,3,分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望.

【詳解】

解：(1)根據(jù)在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，到分類意識強(qiáng)的概率為058,可得分類意識強(qiáng)的有29戶，故可得2x2

列聯(lián)表如下:

分類意識強(qiáng)分類意識弱合計(jì)

試點(diǎn)后20525

試點(diǎn)前91625

合計(jì)292150

因?yàn)镵?的觀測值k=5翳菰；等=鬻x9.934N7.879,

所以有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.

(2)現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的9戶居民中，選出3戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在12

年以上的戶數(shù)為X,則X=0,1,2,3,

C3SC2C'15

故"x=o)=#五，尸(x=D=者,

23

p(X=2)=^C'C-=—3,P(X=3)=^C=一1,

C；1484

則X的分布列為

X0123

51531

p

21281484

￡(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.

21281484

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

21、(1)(4,-Foo)；(2)見解析.

【解析】

(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為f(x)<0在上有解，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;

2

x.+Xy+2________2________

(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為」~2—>，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為--->InX+1，然后再通過構(gòu)

王一々ln(xt+1)-ln(x2+1)"1十.]

x2+1

x2+1

造加⑺=Inf-改口加以證明即可.

Z+1

【詳解】

￡

(1)/(x)=-^--—-T(X>-1),根據(jù)題意，“X)在(—1,田)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,

4I1*乙)

則不等式f(x)<0在(-1,”)上有解，由一二一二巴=<。得?！祬^(qū)立，設(shè)g(x)=(x+2)-,

X+l(X+2)X4-1x+l

則g(x)=(x+D-+2Q+D+1=(X+1)+-1-+2N4,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立，

X+lX+1

所以當(dāng)X>-1時(shí)，g(x)1111n=4,所以存在X>-1,使得4>g(x)成立，

所以。的取值范圍為(4,+8)。

-1/(%.)-/(x)ln(x,+l)-ln(x+1)

(2)當(dāng)。=0時(shí)，/(x)=ln(x+l),則、二八“八2_乙_2從而

%1~X2X]-x2

c2(x,-x^)

所證不等式轉(zhuǎn)化為芭+/+2>哂+口_小+|)'不妨設(shè)—'則不等式轉(zhuǎn)化

2_______x_.+1+x+12

為衛(wèi)9>即—9!------=----->--------------------

2一/ln(Xj+l)-ln(x2+1)(%1+1)—(x2+1)ln(x(+1)—ln(x2+1)

M+1i八

----7+12i

%,+1------rx.+1r+12

即七一