2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用高考大題規(guī)范解答-高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的熱點(diǎn)題型課件

高考大題規(guī)范解答——高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的熱點(diǎn)題型命題動(dòng)向：函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，常涉及的問(wèn)題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)，求極值、最值、切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根，求參數(shù)的范圍及證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等，中、高檔難度均有．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)(2023·北京高考題，20)(15分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－x3eax＋b，曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y＝－x＋1.(1)求a，b的值；(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f′(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．[解題思路]

(1)根據(jù)曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y＝－x＋1可得f′(1)＝－1及f(1)＝0，根據(jù)f′(1)＝－1及f(1)＝0求出a，b的值；(2)首先對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，然后確定g′(x)>0和g′(x)<0時(shí)的x的取值范圍，最后寫(xiě)出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求g(x)＝f′(x)＝0變號(hào)根的個(gè)數(shù)，根據(jù)g(x)的單調(diào)性、極值及函數(shù)g(x)圖象的變化趨勢(shì)確定g(x)＝f′(x)＝0的變號(hào)根的個(gè)數(shù)．[解析](1)第1步：對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)因?yàn)閒(x)＝x－x3eax＋b，所以f′(x)＝1－3x2eax＋b－ax3eax＋b＝1－eax＋b(ax3＋3x2)，(1分)第2步：根據(jù)曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程得f′(1)及f(1)的值因?yàn)榍€y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程為y＝－x＋1，所以f′(1)＝－1，f(1)＝0，(2分)第3步：根據(jù)f′(1)及f(1)的值列方程組，求出a，b的值(2)第1步：對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)因?yàn)閍＝－1，b＝1，所以g(x)＝f′(x)＝1－e－x＋1·(－x3＋3x2)＝1＋e－x＋1(x3－3x2)，第2步：確定g′(x)>0和g′(x)<0時(shí)的x的取值范圍第3步：寫(xiě)出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間第3步：根據(jù)函數(shù)g(x)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)f(x)在x∈(－∞，0)時(shí)的極值點(diǎn)情況當(dāng)x<0時(shí)，因?yàn)間(－2)＝1＋4×(－5)e3＝1－20e3<0，函數(shù)g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的γ∈(－2,0)，使得g(γ)＝0，所以x<r時(shí)，g(x)＝f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)γ<x<0時(shí)，g(x)＝f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．所以x＝γ是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)．(14分)綜上，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.(15分)沖關(guān)策略：利用導(dǎo)數(shù)主要研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，已知f(x)的單調(diào)性，可轉(zhuǎn)化為不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問(wèn)題；求函數(shù)的極值、最值問(wèn)題是高考解答題的基礎(chǔ)和常見(jiàn)題型，解此類(lèi)題的關(guān)鍵是極值點(diǎn)與給定區(qū)間位置關(guān)系的討論，此時(shí)要注意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行分析．【變式訓(xùn)練】(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．f(1)＝1，f′(1)＝－4，此時(shí)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(4，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,4)．x(－∞，－1)－1(－1,4)4(4，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

利用導(dǎo)數(shù)研究與不等式有關(guān)的問(wèn)題(2023·全國(guó)Ⅰ卷，19)(12分)已知函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；[解析]

(1)第1步：求導(dǎo)f′(x)＝aex－1，第2步：對(duì)a分類(lèi)討論，判斷f′(x)的符號(hào)，得單調(diào)性當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≤0，(1分)所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；(2分)當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，得x>－lna，令f′(x)<0，得x<－lna，(3分)所以函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單凋遞增．(4分)綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單凋遞增．(5分)(2)解法一(最值法)第1步：利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)f(x)的最值由(1)得當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值為f(－lna)＝a(e－lna＋a)＋lna＝1＋a2＋lna，(6分)解法二(分析法)第1步：利用(1)的結(jié)論，求函數(shù)f(x)的最值當(dāng)a>0時(shí)，由(1)得，f(x)min＝f(－lna)＝1＋a2＋lna，(6分)第2步：利用分析法轉(zhuǎn)化不等式第3步：構(gòu)造函數(shù)u(a)＝lna－(a－1)(a>0)，求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求最值構(gòu)造函數(shù)u(a)＝lna－(a－1)(a>0)，所以函數(shù)u(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以u(píng)(a)≤u(1)＝0，即lna≤a－1，(9分)第4步：把要證的不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用配方法破解沖關(guān)策略：(1)恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為我們較為熟悉的求最值的問(wèn)題進(jìn)行求解，若不能分離參數(shù)，可以將參數(shù)看成常數(shù)直接求解．(2)證明不等式，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．對(duì)于較復(fù)雜的不等式，要先用分析法進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化．【變式訓(xùn)練】(2021·全國(guó)乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函數(shù)y＝xf(x)的極值點(diǎn)．(1)求a；[解析]

(1)由題意，得y＝xf(x)＝xln(a－x)，因?yàn)閤＝0是函數(shù)y＝xf(x)的極值點(diǎn)，所以y′|x＝0＝lna＝0，所以a＝1.(2)證明：由(1)可知f(x)＝ln(1－x)，要證g(x)<1，因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，xln(1－x)<0，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，xln(1－x)<0，所以需證x＋ln(1－x)>xln(1－x)，即x＋(1－x)ln(1－x)>0.令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)，x∈(－∞，1)，且x≠0，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)>h(0)＝0，即x＋ln(1－x)>xln(1－x)，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(或函數(shù)的零點(diǎn))所以f′(1)＝－ln2，(2分)又f(1)＝0，所以所求切線方程為y－0＝－ln2(x－1)，即xln2＋y－ln2＝0.(3分)(2)第1步：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性列出方程第2步：令等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)分別相等，求出a，b第3步：檢驗(yàn)(3)解法一第1步：求導(dǎo)第2步：分類(lèi)討論，求出滿(mǎn)足條件的a的取值范圍①當(dāng)a≤0時(shí)，2a－1<0，當(dāng)x>0時(shí)，h′(x)<0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x>0時(shí)，h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，無(wú)極值，不滿(mǎn)足題意．(9分)所以當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>h(0)＝0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不滿(mǎn)足題意．(10分)第2步：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性所以當(dāng)x>0時(shí)，φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x>0時(shí)，φ(x)>φ(0)＝0，又當(dāng)x>0時(shí)，－(x＋2)<0，所以h′(x)<0，即h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，(10分)第3步：利用洛必達(dá)法則求極限分類(lèi)依據(jù)：對(duì)于導(dǎo)數(shù)的含參零點(diǎn)應(yīng)從三個(gè)方面進(jìn)行討論：1．零點(diǎn)無(wú)意義，2．零點(diǎn)不在定義域內(nèi)，3．零點(diǎn)在定義域內(nèi)，與其他已知零點(diǎn)進(jìn)行大小討論．[證明]

(1)令f(x)＝0，得k＝x2lnx.由k>0得x>1.令h(x)＝x2lnx，x>1，則h′(x)＝2xlnx＋x>0，則h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且值域?yàn)?0，＋∞)．故h(x)＝x2lnx(x>1)的圖象與直線y＝k，k>0有唯一交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)恒有唯一零點(diǎn)．要證f(x)圖象上存在關(guān)于點(diǎn)(x0,0)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，即證存在t∈(0，x0)，使得f(x0＋t)＋f(x0－t)＝0.令F(t)＝f(x