2024年新高考數學一輪復習題型歸類與強化測試專題18導數恒成立與有解問題學生版

專題18導數恒成立與有解問題一、【知識梳理】【方法技巧】1.分離參數法解決恒(能)成立問題的策略(1)分離變量.構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.2.根據不等式恒成立求參數范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數分類討論，在參數的每一段上求函數的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內的函數值不滿足題意即可.3.含參不等式能成立問題(有解問題)可轉化為恒成立問題解決，常見的轉化有：(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.4.在解決不等式恒(能)成立，求參數的取值范圍這一類問題時，最常用的方法是分離參數法，轉化成求函數的最值，但在求最值時如果出現“eq\f(0,0)”型的代數式，就設法求其最值．“eq\f(0,0)”型的代數式，是大學數學中的不定式問題，解決此類問題的有效方法就是利用洛必達法則．洛必達法則法則1若函數f(x)和g(x)滿足下列條件(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝0及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝0；(2)在點a的某去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.法則2若函數f(x)和g(x)滿足下列條件(1)eq\o(lim,\s\do4(x→a))f(x)＝∞及eq\o(lim,\s\do4(x→a))g(x)＝∞；(2)在點a的某去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g′(x)≠0；(3)eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A，那么eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(fx,gx)＝eq\o(lim,\s\do4(x→a))eq\f(f′x,g′x)＝A.二、【題型歸類】【題型一】分離參數法求參數范圍【典例1】已知函數f(x)＝ex＋ax2－x.(1)當a＝1時，討論f(x)的單調性；(2)當x≥0時，f(x)≥eq\f(1,2)x3＋1，求a的取值范圍.【典例2】已知函數f(x)＝eq\f(1＋lnx,x).(1)若函數f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a＋\f(1,2)))上存在極值，求正實數a的取值范圍；(2)如果當x≥1時，不等式f(x)－eq\f(k,x＋1)≥0恒成立，求實數k的取值范圍.【典例3】已知函數f(x)＝(x－2)ex－eq\f(1,2)ax2＋ax(a∈R)．(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)當x≥2時，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍．【題型二】分類討論法求參數范圍【典例1】已知函數f(x)＝lnx－ax，a∈R.(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若不等式f(x)＋a＜0在x∈(1，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．【典例2】已知函數f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋ax，其中a為常數．(1)當a＝2時，求函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)若對任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．【典例3】已知函數f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)當a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．【題型三】等價轉化求參數范圍【典例1】已知函數f(x)＝ex－1－ax＋lnx(a∈R)．(1)若函數f(x)在x＝1處的切線與直線3x－y＝0平行，求a的值；(2)若不等式f(x)≥lnx－a＋1對一切x∈[1，＋∞)恒成立，求實數a的取值范圍．【典例2】已知函數f(x)＝－ax2＋lnx(a∈R)．(1)討論f(x)的單調性﹔(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>－a，求a的取值范圍．【典例3】已知函數f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx.(1)當a>2時，求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若存在x∈[1，＋∞)，使f(x)<a成立，求實數a的取值范圍．【題型四】雙變量的恒(能)成立問題【典例1】設f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數M；(2)如果對于任意的s，t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(s)≥g(t)成立，求實數a的取值范圍．【典例2】已知函數f(x)＝eq\f(ax2－x－1,ex)(x∈R)，a為正實數．(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)若?x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求實數a的取值范圍．【典例3】設f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實數m的取值范圍．【題型五】洛必達法則【典例1】已知函數f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)．若對任意x>0都有f(x)>ax成立，求實數a的取值范圍．【典例2】已知函數f(x)＝x(ex－1)－ax2(a∈R)．(1)若f(x)在x＝－1處有極值，求a的值．(2)當x>0時，f(x)≥0，求實數a的取值范圍．三、【培優(yōu)訓練】【訓練一】已知x＝eq\f(1,\r(e))為函數f(x)＝xalnx的極值點.(1)求a的值；(2)設函數g(x)＝eq\f(kx,ex)，若對?x1∈(0，＋∞)，?x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范圍.【訓練二】已知函數f(x)＝eax－x.(1)若曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處切線的斜率為1，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若不等式f(x)≥eaxlnx－ax2對x∈(0，e]恒成立，求a的取值范圍．【訓練三】設函數f(x)＝eq\f(1－a,2)x2＋ax－lnx(a∈R)．(1)當a＝1時，求函數f(x)的極值；(2)若對任意a∈(4,5)及任意x1，x2∈[1,2]，恒有eq\f(a－1,2)m＋ln2>|f(x1)－f(x2)|成立，求實數m的取值范圍．【訓練四】設函數f(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(e,ex)，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e為自然對數的底數)．(1)證明：當x>1時，f(x)>0；(2)討論g(x)的單調性；(3)若不等式f(x)<g(x)對x∈(1，＋∞)恒成立，求實數a的取值范圍．【訓練五】f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實數m的取值范圍．【訓練六】f(x)＝xex，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋x.(1)令F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的最小值；(2)若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，求實數m的取值范圍．四、【強化測試】【解答題】1.已知函數f(x)＝(x＋1)ln(x＋1).若對任意x＞0都有f(x)＞ax成立，求實數a的取值范圍.2.設函數f(x)＝ax2－xlnx－(2a－1)x＋a－1(a∈R).若對任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍.3.已知a∈R，f(x)＝alnx＋x2－4x，g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實數a的取值范圍.4.已知函數f(x)＝eq\f(x2,2)－(m＋1)x＋mlnx＋m，f′(x)為函數f(x)的導函數．(1)討論f(x)的單調性；(2)若xf′(x)－f(x)≥0恒成立，求m的取值范圍．5.已知函數f(x)＝x(mex－1)．(1)當m＝1時，求函數f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；(2)當x>0時，f(x)≥x2－2x，求實數m的取值范圍．6.設函數f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx(a∈R).(1)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范圍．7.設函數f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)(a為常數)．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求實數a的取值范圍．8.已知函數f(x)＝xlnx(x>0)．(1)求函數f(x)的極值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≤eq\f(－x2＋mx－3,2)成立，求實數m的最小值．9.已知函數f(x)＝x2＋(a＋1)x－lnx，g(x)＝x2＋x＋2a＋1.(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；(2)當x∈[1，e]時，f(x)<g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．10.已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝x－1.(1)求函數y＝f(x)的圖象在x＝1處的切線方程；(2)若不等式f(x)≤ag(x)對任意的x∈(1，＋∞)均成立，求實數a的取值范圍．11.已知函數f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝eq\f(lnx,x).(1)求函數f(x)的單調區(qū)間；(2)?x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范圍．12.設函數f(x)＝lnx－ax(a>0)．(1)判斷f(x)的單調性；(2)當f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立時，求a的取值范圍．13.已知函數f(x)＝axex－x2－2x.當x>0時，若曲線y＝f(x)在直線y＝－x的上方，求實數a的取值范圍．14.已知函數f(x)＝x－1－alnx(a<0)．(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若對任意的x1，x2∈(0，1]，且x1≠x2，都有|f(x1)－f(x2)|<4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))，求實數a的取值范圍．15.已知f(x)＝2xlnx＋x2＋ax＋3.(1)當a＝1時，求曲線y