湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)13直角三角形全等的判定教案

第1章直角三角形

1.3直角三角形全等的判定

■素材一新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

口情景導(dǎo)入0置疑導(dǎo)入口歸納導(dǎo)入0復(fù)習(xí)導(dǎo)入口類(lèi)比導(dǎo)入

□懸念激趣

小置疑導(dǎo)入這一章我們主要學(xué)習(xí)直角三角形，那么結(jié)合所學(xué)三角形全等的知識(shí)，我們

針對(duì)兩個(gè)直角三角形，能否對(duì)其全等進(jìn)行探究學(xué)習(xí)呢？

問(wèn)題1：判定兩個(gè)直角三角形全等已經(jīng)有哪些方法？(學(xué)生自己總結(jié)回答)

問(wèn)題2：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等嗎？你能想辦法解決這個(gè)問(wèn)

題嗎？

［說(shuō)明與建議］說(shuō)明：本導(dǎo)入先復(fù)習(xí)舊知識(shí)，再?gòu)默F(xiàn)在的直角三角形的學(xué)習(xí)中結(jié)合全等知

識(shí)提出疑問(wèn)，通過(guò)實(shí)踐操作去發(fā)現(xiàn)證明直角三角形全等的方法.在教學(xué)中應(yīng)用了動(dòng)手與動(dòng)腦

相結(jié)合的方法.建議：教學(xué)時(shí)，可先用試驗(yàn)，利用疊合方法去探索說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等，

再?gòu)倪壿嬌线M(jìn)行證明.

0復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.判定兩個(gè)三角形全等的方法有：SAS.ASA,AAS.SSS.

2.如圖1一3—1，已知ABJ_BE于點(diǎn)B，DE_LBE于點(diǎn)E.

圖1一3一1

(1)若NA=ND，AB=DE，則AABC與Z\DEF.全等.，根據(jù)是ASA:

(2)若/A=/D，BC=EF，則aABC與ADEF-金篷一，根據(jù)是A4S:

(3)若AB=DE，BC=EF，則4ABC與△DEF^，根據(jù)是SAS:

(4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，則4ABC與Z\DEF一全等.，根據(jù)是SSS.

3?我們知道：滿(mǎn)足“SSA”條件的兩個(gè)三角形不一定全等，那么滿(mǎn)足“SSA”條件的兩個(gè)

直角三角形(即當(dāng)這個(gè)相等的角是直角時(shí))是否全等呢？如上圖，已知ABJ_BE于點(diǎn)B，DEJ.

BE于點(diǎn)E.若AB=DE-AC=DF，則/?/AABC與/?zADEF是否全等呢？現(xiàn)在我們就來(lái)研究

這個(gè)問(wèn)題.(引入新課)

［說(shuō)明與建議］說(shuō)明：在復(fù)習(xí)鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探究直角三角形全等的判定

方法，以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.建議：先以提問(wèn)的形式讓學(xué)生總結(jié)前面學(xué)過(guò)

的判定三角形全等的方法，隨后引入直角三角形全等的判定.

■素材二教材母題挖掘

O教材母題——教材第21頁(yè)習(xí)題1.3A組第2題

如圖1―3—2，D為BC的中點(diǎn)，DE_LAB于點(diǎn)E，DF±AC于點(diǎn)F＞且DE=DF.試問(wèn)：

AB與AC有什么關(guān)系？

圖1一3一2

【模型建立】

幾何證明中遇到復(fù)雜問(wèn)題常采用“倒推法”，即從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的

條件一，當(dāng)條件一不具備時(shí)，再去尋找使條件一成立的條件二，以此類(lèi)推，直到要尋找的條

件變?yōu)橐阎獥l件，問(wèn)題即可解決.注意解答過(guò)程的順序與思路分析的順序相反.

【變式變形】

1?如圖1-3—3，已知AB=AC，口為BC上一點(diǎn)，DE_LAB于點(diǎn)E，DF_LAC于點(diǎn)F，

且DE=DF.求證：D是BC的中點(diǎn).

圖1一3一3

證明：連接AD.VDE=DF，AD=AD，，心△ADEWRf/XADF.NEAD=NFAD.又

;AB=AC，,D是BC的中點(diǎn).

2?(尋找一個(gè)等量關(guān)系后再利用““力”證明)如圖1-3-4，AB=AD，ZABC=ZADC

=90°，EF過(guò)點(diǎn)C，BE1EF于點(diǎn)E，DF±EF于點(diǎn)F，BE=DF.求證：??rABCE^/?fADCF.

圖1—3—4圖1—3一5

證明：連接BD.：AB=AD，,NABD=NADB.：NABC=NADC，

AZCBD=ZCDB，；.BC=DC.VBE1EF，DF1EF，二NE=/F=90°.

在/?rABCE和/?rADCF中，BC=DC，BE=DF，二四ZXBCE絲R/Z\DCF(HL).

3.(遞進(jìn)為兩次全等三角形的運(yùn)用)如圖1—3—6，在4ABC中，AD平分NBAC，DE

1AB，DF1AC'垂足分別為E，F(xiàn)，且BD=CD.求證：BE=CF.

圖1—3一6

證明：VAD平分NBAC，DE±AB，DF±AC，，/EAD=/FAD，NAED=/AFD=

90°.：AD=AD'.?.△AED^AAFD'.\AE=AF，DE=DF.：BD=CD，，用△BEDgRf

△CFD(WL)>.?.BE=CF.

材三考情考向分析

［命題角度1］尋找證明全等所需的條件

在三角形全等的證明中一般需要三組對(duì)應(yīng)相等的條件，而在一對(duì)直角三角形中，只需兩

個(gè)邊相等的等量條件，不需要角相等，值得注意的是，在邊相等中一對(duì)必定是斜邊相等，而

另一對(duì)直角邊相等則可以自由選擇.

例［株洲中考］如圖1—3—7，已知AC±BD于點(diǎn)P，AP=CP，請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使

△ABPg^CDP(不能添加輔助線(xiàn))，你增加的條件是答案不唯一，如PB=PD或AB=DC

或NA=/C等.

圖1一3一7

［命題角度2］直接利用證明三角形全等，進(jìn)而證明角或邊相等

在利用“HL”證明三角形全等的過(guò)程中，我們要注意，前提一定要在兩個(gè)直角三角形中，

還要注意是兩對(duì)等量關(guān)系，即一對(duì)是直角邊相等，另一對(duì)是斜邊相等，這是必須的.一般情

況下，證明直角三角形全等的目的在于證明三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角相等.

例2［雁塔區(qū)校級(jí)模擬］已知：如圖1-3-8-ZA=ZD=90°，AC=BD.求證：OB=

oc.

圖1-3-8

證明：在/?fAABC和/?rADCB中，AC=BD，BC=CB，

ABC絲陽(yáng)△DCB(4L)，

；.ZOCB=ZOBC，/.OB=OC.

■素材四教材習(xí)題答案

P20練習(xí)

1?下面說(shuō)法是否正確？為什么？

(1)兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

(2)兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

解：(1)不正確.理由：因?yàn)閮蓚€(gè)三角形的大小可能不相等.

(2)正確.理由：根據(jù)“SAS”可判定兩個(gè)三角形全等.

2?如圖，/D4B和/BCD都是直角，AO=8C.判斷△48。和△COB是否全等，并說(shuō)明

理由.

解：△ABQ和△CQB全等.理由如下：

,?ZDAB和NBGD都是直角，

，/XABD和△COB都是直角三角形.

又?；AD=BC，BD=DB，

，RtAABD^RtACDB(HL).

P21習(xí)題1.3A組

I?如圖，AB=AD，CBLAB于點(diǎn)B，CDJ_A。于點(diǎn)D求證：Z1=Z2.

證明：'：CBLAB，CDLAD，

：.ZB=ZD=90°.

AC=AC，

{AB=AD，

，Rt/\ABC^Rt/\ADC，,N1=Z2.

2.如圖，。為8c的中點(diǎn)，DE±AB于點(diǎn)E，_LAC于點(diǎn)F-且OE=Z)F.試問(wèn)：AB與

AC有什么關(guān)系？

解：AB=4C.理由如下：

VDE±AB，DFA.AC，

；.NBED=NCFD=90。.

(BD=CD，

在RlABED和RtACFD中，＜

[DE=DF，

.".RtABED^RtACfD，

：.ZB=ZC.：.AB=AC.

3?如圖，點(diǎn)C為AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的線(xiàn)段BE_LA￡＞，且AB=QE.

求證：AB//ED.

證明：'：BE±AD'

，ZACB=ZDCE=90°.

...△ACB和△OCE都是直角三角形.

.?.點(diǎn)C為AD的中點(diǎn)，

：.AC^CD.

在RtAACB和RtADCf中，

"：AC=CD，AB=DE，

ARtAACB^RtADC￡(HL)，

：.AB//DE.

4?如圖，已知線(xiàn)段a，求作直角三角形，使一直角邊為a，斜邊為2a

作法：⑴作ZMCN=90。；(2)在CN上截取CB，使CB=a；(3)以點(diǎn)B為圓心，以2a為

半徑畫(huà)弧，交CM于點(diǎn)A，連接AB.

則如圖的△ABC為所求作的直角三角形.

P21B組

5?求證：有兩條高相等的三角形是等腰三角形.

證明：如圖，BQ，CE分別是AABC的邊AC'AB上的高，且BD=CE.

在RtZ^BOC和Rt△CEB中，

*：BD=CE，BC=CB，

RtABDC^RtAC￡B(HL).

：.ZBCD=ZCBE，

：.AB=AC＞即△ABC是等腰三角形.

6.如圖，BDLAD于點(diǎn)D'AC1BC于點(diǎn)C，且AC=BD求證：AD=BC.

證明：連接AB.

\'BD±AD于點(diǎn)DAC±BC于點(diǎn)C，

和△BC4都是直角三角形.

在RtABCA和RtAADB中，

：.AC=-BD，AB=BA，

，RtABCARtA/lDB(HL).

：.AD=BC.

■素材五圖書(shū)增值練習(xí)

專(zhuān)題一直角三角形全等的判定

1.如圖，已知AB=AC,ADLBC于點(diǎn)D,AD=AE,AB平分NDAE交DE于點(diǎn)F.則圖中的全等三

角形有()

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

2.下列命題正確的個(gè)數(shù)是()

(1)兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(2)兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等

的兩個(gè)三角形一定不全等；(3)斜邊和斜邊上的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等(4)

兩邊和第三邊的中線(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(5)兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形

全等.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，四邊形ABCD是正方形，CE=MN,ZMCE=35°,那么/ANM等于.

4.如圖，在房間內(nèi)，有一梯子MC斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，

此時(shí)梯子的傾斜角/ACM是75。，如果梯子底端C不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面的墻上，此時(shí)梯子頂

端距地面的距離NB為b米，梯子的傾斜角NBCN為45°,這間房子的寬AB是.

5.已知：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,分別以AB、AC為邊在A(yíng)ABC的外側(cè)作

等邊aABE和等邊4ACD,DE與AB交于F,

求證：EF=FD.

狀元筆記

【知識(shí)要點(diǎn)】

直角三角形全等的判定：直角三角形中，有一斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

【溫馨提示】

1.直角三角形全等的判定方法一共有(1)SAS；(2)ASA；(3)AAS；(4)SSS；(5)HL.

2.直角三角形全等的前提條件是必須是直角三角形.

【方法技巧】

1.要善于找出直角三角形的全等的二個(gè)條件；

2.有直角三角形時(shí)，證明邊或角相等要考慮能否運(yùn)用HL定理進(jìn)行證明.

3.證明三角形全等缺少條件時(shí)，要考慮是否可以運(yùn)用HL定理進(jìn)行證明.

參考答案：

1.C解析：Z\ABD絲ZSACD,AABD^AACD,AABE^AABD,AAEF^AADF,AEBF^ADBF,

共5對(duì).

2.B解析：(4)、(5)正確，故選B.

3.55。解析：作NFLBC于F.則在直角△BEC和直角△FMN中，ZB=ZNFM=90°,

在Rt^BEC和RtZsFMN中，\，.?.△BEC^AFMNAZMNF=ZMCE=35°

BC=FN

AZANM=90°-ZMNF=55°

4.a解析：過(guò)N點(diǎn)作MA垂線(xiàn)，垂足點(diǎn)D,連接NM.由題意得AB=ND,ACNM為等邊三角形

(180-45-75=60°,梯子長(zhǎng)度相同)，可得MN=MC,則可證AMND與aCMA,可證ND=MA,故AB=MA=a.

5.證明：過(guò)E作EG_LAB于G,如圖，

VAABE為等邊三角形，

.,.BG=1AB,=60°，AE=AB,

2

；RtZ\ABC中，ZC=90°,ZA=30°,

.?.BC=1AB,

2

；.AG=BC,

在RtAEAG和RtAABC中

[AE=AB,

lAG=BC，

ARtAEAG^RtAABC(HL),

.,.EG=AC,

VADAC為等邊三角形，

；.AC=AD,ZDAC=60°,

.?.EG=AD,ZDAF=300+60°=90°,

在RtAEFG和RtADFA中

'EG=DA

<NEFG=/DFA，

ZEGF=ZDAF

.,.△EFG^ADFA,

/.EF=FD.

■素材六數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升

“HL”判定及應(yīng)用

判定兩個(gè)直角三角形全等，除一般三角形全等的判定方法之外，還有自己特殊的方法一

-“HL”，即有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.下面通過(guò)例題談?wù)劇?IL”

在證明兩個(gè)直角三角形全等中的應(yīng)用.

一、用于證明角相等

例1如圖1,己知AD是BE垂直平分線(xiàn)，且AB=DE,求證：ZB=ZE.

分析：要證明NB=NE,只要證明它們所在的兩個(gè)RtaABC和Rt^DEC全等即可，而AB=DE,

BC=EC恰好符合“HL”的條件.

證明：因?yàn)锳D是BE垂直平分線(xiàn)，所以BC=EC,ZACB=ZDCE=90°,所以和ADEC都是

直角三角形，又AB=DE,所以RtaABC絲Rt^DEC(HL),所以NB=/E.

點(diǎn)評(píng)：此題通過(guò)利用“HL”證明兩直角三角形全等，得到兩角相等，雖然證明兩直角三角形

全等的方法很多，但一般首選“HL”.

二、用于證明線(xiàn)段相等

例2如圖2,已知B、F、C、E在同一條直線(xiàn)上，AB±BC,DEJ_EF,且AC=DF,BF=EC,求證：

AB=DE.

分析：要證明AB=DE,只要證明它們所在的兩個(gè)Rt^ABC和

□△DEF全等，題中已有斜邊相等，只需再推出一直角邊相等即可，

而B(niǎo)F=EC,易得BC=EF.

證明：由BF=EC,得BF+FC=EC+FC,即BC=EF.因?yàn)锳B_L

BC,DE1EF,所以AABC和aDEF都是直角三角形，又AC=DF,所以RtZSABC絲RtADEF(HL),

所以AB=DE.

點(diǎn)評(píng)：在兩個(gè)直角三角形中，若已知斜邊相等，往往考慮用“HL”判定它們?nèi)?

三、用于證明線(xiàn)段垂直

例3如圖3,AC1BD,AC=DC,BC=EC,求證：DE±AB.

分析：要證明DELAB,只要證NB+ND=90°,由已知得/A+

ZB=90°,只要證ND=NA,因此只要證明RtZsABC和Rt^DCE,

而已知AC=DC,BC=EC,恰好符合“HL”的條件.

證明：因?yàn)锳CXBD,所以/ACB=ZDCE=90°,所以/A+NB=90