高中數(shù)學(xué)1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版選擇性必修第一冊

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算一、內(nèi)容及內(nèi)容解析1.內(nèi)容（1）空間向量及相關(guān)概念（2）空間向量的概念、表示法，以及長度（模）、零向量、單位向量、相反向量、共線向量（平行向量）、相等向量等相關(guān)概念（3）空間向量的線性運(yùn)算（4）空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律（5）空間向量共線的充要條件（6）空間向量共面的充要條件本單元教學(xué)需2課時(shí).第一課時(shí)，空間向量及其運(yùn)算；第二課時(shí)，空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.這里給出第一課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì).2.內(nèi)容解析（1）內(nèi)容的本質(zhì)向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.實(shí)際上，平面向量都可以看作空間向量，空間向量的概念、表示與平面向量具有一致性.另外，由于任意兩個空間向量都可以平移到一個平面內(nèi)，兩個空間向量的加法、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算與平面向量也具有一致性.因此學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的主要方法是類比，即類比平面向量的相關(guān)概念學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，類比平面向量的運(yùn)算學(xué)習(xí)空間向量的運(yùn)算，類比用平面向量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡單的立體幾何問題.教學(xué)中，要充分關(guān)注這種學(xué)習(xí)的可遷移性，鼓勵學(xué)生自主探究，在梳理平面向量及其運(yùn)算的學(xué)習(xí)內(nèi)容、過程和方法的基礎(chǔ)上，類比提出空間向量及其運(yùn)算的學(xué)習(xí)內(nèi)容、過程和方法，將平面向量及其運(yùn)算推廣到空間.（2）蘊(yùn)含的思想與方法教學(xué)中，要結(jié)合具體問題，引導(dǎo)學(xué)生類比利用平面向量解決平面幾何問題的“三步曲”的思路和方法.（3）培育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)利用空間向量解決立體幾何問題，從中體會用空間向量解決立體幾何問題的基本思路和方法，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).（4）教學(xué)重點(diǎn)在用空間向量解決立體幾何問題的過程中，首先要用空間向量表示立體圖形中的幾何元素，然后利用空間向量的運(yùn)算研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等度量問題，最后再把空間向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.因此，空間向量的概念及其運(yùn)算的內(nèi)容是用空間向量解決立體幾何問題的基礎(chǔ)，也是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn).二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1.本單元教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.經(jīng)歷由平面向量的運(yùn)算及其法則推廣到空間向量的過程.掌握空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：通過注意引導(dǎo)學(xué)生與平面向量及其運(yùn)算作類比，讓學(xué)生經(jīng)歷向量由平面向空間推廣的過程；結(jié)合具體實(shí)例，學(xué)生能在教師啟發(fā)引導(dǎo)下，掌握在展開空間向量及其運(yùn)算內(nèi)容時(shí),教科書同步安排了利用空間向量解決相關(guān)的簡單立體幾何問題的實(shí)例；熟練掌握空間向量的基本概念和基本運(yùn)算.三、教學(xué)問題診斷分析1.問題診斷在本節(jié)學(xué)習(xí)中，由于學(xué)生已有“立體幾何初步”的基礎(chǔ)，已有空間直線、平面平行、垂直等概念，將向量的概念、運(yùn)算從平面推廣到空間對學(xué)生來說并不困難，但這一過程仍要一步步地進(jìn)行.由于現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)展到空間，而我們研究的是自由向量，一個向量可以確定空間的一個平移，兩個不平行向量確定的平面已經(jīng)不只是一個平面，而是互相平行的“平面集”，這些都需要學(xué)生對向量有新的理解.另外，盡管在形式上空間向量的運(yùn)算、運(yùn)算律和平面向量一致，但在空間它們的幾何表示是不同的，因此需要學(xué)生在空間上進(jìn)一步體會其運(yùn)算法則、驗(yàn)證其運(yùn)算律，提高空間想象力，發(fā)展直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).2.教學(xué)難點(diǎn)在本節(jié)，教科書在給出共線、共面向量的充要條件之后，安排了證明立體幾何中四點(diǎn)共面的問題；在數(shù)量積運(yùn)算之后安排了證明直線與平面垂直的判定定理以及其他一些簡單的立體幾何問題等.對于這些問題，盡管學(xué)生已經(jīng)有了用平面向量解決平面幾何問題的一些經(jīng)驗(yàn)，但是由于初次接觸用空間向量解決立體幾何問題，圖形的維數(shù)增加了，也更加抽象了，學(xué)生對于如何用空間向量表示立體圖形中的相關(guān)元素，如何通過運(yùn)算得出這些元素間的幾何關(guān)系還比較陌生，因此這是本節(jié)教學(xué)中的難點(diǎn).四、教學(xué)支持條件分析1.技術(shù)支持利用電腦、互聯(lián)網(wǎng),可以非常方便快捷地查找到有關(guān)史料故事、拓寬視野,感悟數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；借助計(jì)算器或電腦,可以計(jì)算較大數(shù)目的數(shù)量,獲得比較精準(zhǔn)的數(shù)值；借助實(shí)物投影或PPT，展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，2.知識儲備讓學(xué)生體驗(yàn)“文化背景一方法探究——求和公式—公式應(yīng)用”的完整過程.五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算1.課時(shí)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)包括空間向量及相關(guān)概念、空間向量的加減運(yùn)算、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算等內(nèi)容.2.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)類比平面向量引入了空間向量及相關(guān)概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題.通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)使學(xué)生理解空間向量及相關(guān)概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的意義.3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：空間向量及其相關(guān)概念，空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積.難點(diǎn)：用向量方法解決立體幾何問題.4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境引入課題引導(dǎo)語章前圖展示的是一個做滑翔傘運(yùn)動的場景．可以想象，在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等．顯然，這些力不在同一個平面內(nèi)，聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，你能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運(yùn)動呢？師生活動學(xué)生獨(dú)立思考、作答，教師展示研究路徑，板書空間向量及其運(yùn)算，揭曉課題：下面我們類比平面向量研究空間向量，先從空間向量的概念和表示開始．［設(shè)計(jì)意圖］主要方法是類比，即類比平面向量的相關(guān)概念學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，類比平面向量的運(yùn)算學(xué)習(xí)空間向量的運(yùn)算，類比用平面向量解決平面幾何問題的方法利用空間向量解決簡單的立體幾何問題.教，使學(xué)生親歷研究的過程，積累基本活動經(jīng)驗(yàn).問題情境1問題1能否類比平面向量，給空間向量下個定義？與平面向量一樣，在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量(spacevector)，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模(modulus)．空間向量用字母?，，，…表示．空間中點(diǎn)的位移、物體運(yùn)動的速度、物體受到的力等都可以用空間向量表示．?印刷體用合體，書寫用，與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模．問題2空間向量是平面向量的推廣，能否給出一些空間向量相關(guān)概念？如圖1.1-1，向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．圖1.1-2所示的正方體中，過同一個頂點(diǎn)的三條棱上的三條有向線段表示的三個向量為，，，它們是不共面的向量，即它們是不同在任何一個平面內(nèi)的三個向量．空間向量是平面向量的推廣，其表示方法以及一些相關(guān)概念與平面向量一致．環(huán)節(jié)二觀察分析感知概念與平面向量一樣，我們規(guī)定，長度為0的向量叫做零向量(zerovector)，記為．當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時(shí)，．模為1的向量叫做單位向量(unitvector)．與向量長度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，記為．如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量(collinervectors)或平行向量(parallelvectors)．我們規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量，都有．方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equalvectors)．因此，在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間向量是自由的，所以對于空間中的任意兩個非零向量，我們都可以通過平移使它們的起點(diǎn)重合．因?yàn)閮蓷l相交直線確定一個平面，所以起點(diǎn)重合的兩個不共線向量可以確定一個平面，也就是說，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念問題3類比平面向量的線性運(yùn)算，空間向量的加法、減法如何定義？如圖1.1-3，已知空間向量，，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，作向量，，我們就可以把它們平移到同一個平面內(nèi)．?dāng)?shù)學(xué)中，引進(jìn)一種量后，一個很自然的問題就是要研究它們的運(yùn)算．由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任意兩個空間向量的運(yùn)算就可以轉(zhuǎn)化為平面向量的運(yùn)算．由此，我們把平面向量的線性運(yùn)算推廣到空間，定義空間向量的加法、減法(圖1.1-4)以及數(shù)乘運(yùn)算(圖1.1-5)：（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念問題4想一想，向量線性運(yùn)算的結(jié)果，與向量起點(diǎn)的選擇有關(guān)系嗎？與平面向量一樣，空間向量的線性運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律(其中)：交換律：；結(jié)合律：，；分配律：，．問題5你能證明這些運(yùn)算律嗎？證明結(jié)合律時(shí)，與證明平面向量的結(jié)合律有什么不同？如圖1.1-6，在平行六面體中，分別標(biāo)出，表示的向量．從中你能體會向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系?可以發(fā)現(xiàn)，，一般地，對于三個不共面的向量，，，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，，，為鄰邊作平行六面體，則，，的和等于以為起點(diǎn)的平行六面體對角線所表示的向量．另外，利用向量加法的交換律和結(jié)合律，還可以得到：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變．探究1對任意兩個空間向量與，如果，與有什么位置關(guān)系？反過來，與有什么位置關(guān)系時(shí)，?類似于平面向量共線的充要條件，對任意兩個空間向量，，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．如圖1.1-7，是直線上一點(diǎn)，在直線上取非零向量，則對于直線上任意一點(diǎn)，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得．我們把與向量平行的非零向量稱為直線的方向向量(directionvector)．這樣，直線上任意一點(diǎn)都可以由直線上的一點(diǎn)和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定．如圖1.1-8，如果表示向量的有向線段所在的直線與直線平行或重合，那么稱向量平行于直線．如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量平行于平面．平行于同一個平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)．我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的．問題6，什么情況下三個空間向量共面呢？探究2對平面內(nèi)任意兩個不共線向量，，由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)的任意一個向量可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對．對兩個不共線的空間向量，，如果，那么向量與向量，有什么位置關(guān)系？反過來，向量與向量，有什么位置關(guān)系時(shí)，？可以發(fā)現(xiàn)，如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用鞏固內(nèi)化例1如圖1.1-9，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)，作射線，，，，在四條射線上分別取點(diǎn)，，，，使．求證：，，，四點(diǎn)共面．分析：欲證，，，四點(diǎn)共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運(yùn)算由，，共面的表達(dá)式推得，，共面的表達(dá)式．證明：因?yàn)椋?，，，．因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危裕虼耍上蛄抗裁娴某湟獥l件可知，，，共面，又，，過同一點(diǎn)，從而，，，四點(diǎn)共面．選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運(yùn)算得出幾何元素的關(guān)系，是解決立體幾何問題的常用方法．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)反思提升本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道向量是具有大小和方向的量，這一概念既適用于平面，也適用于空間.由于空間向量是平面向量的推廣，因此空間向量及其相關(guān)概念、空間向量的表示法等與平面向量都是一致的.類比平面向量引入了空間向量及相關(guān)概念、空間向量的表示、共線向量與相等向量，并類比平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，引入空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算和運(yùn)算律，類比平面向量研究空間向量的共線、共面問題理解空間向量及相關(guān)概念，掌握空間向量的表示，掌握空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律等內(nèi)容，并能借助圖形理解空間向量線性運(yùn)算及其運(yùn)算律的意義.問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？本節(jié)課體現(xiàn)的主要數(shù)學(xué)思想方法有哪些》環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置作業(yè)布置：教科書P5練習(xí)—1.2.3練習(xí)（第5頁）1．舉出一些表示三個不同在一個平面內(nèi)的向量的實(shí)例．1．解：三棱錐中，，，不同在一個平面內(nèi)；長方體中，，，不同在一個平面內(nèi)．生活中的例子，如墻角的三條棱所在的直線可用于表示三個不同在一個平面內(nèi)的向量．2．如圖，，分別是長方體的棱，的中點(diǎn)．