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1.(3分)若,則.3.(3分)微分方程的通解為.1.(4分)級(jí)數(shù)為().(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂(D)收斂性不確定3.(4分)二重積分在極坐標(biāo)系下的面積元素為().(A)(B)(C)(D)4.(4分)若可微函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值,,則下列結(jié)論中正確的是().一、1.3.二、1C;3B;4B.三、計(jì)算題(共12分)(6分)設(shè)求(6分)設(shè)由方程所確定,求四1.(6分)計(jì)算二重積分其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域.3.(6分)在斜邊邊長(zhǎng)為定數(shù)的直角三角形中,求有最大周長(zhǎng)的直角三角形.六2.(6分)判別級(jí)數(shù)的斂散性.3.(6分)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間.七、計(jì)算題(共12分)(6分)求微分方程在初始條件下的特解.三、1解2分4分解方程兩邊求微分得3分3分四、1解畫圖1分原式2分2分1分1分3解設(shè)周長(zhǎng)和兩個(gè)直角邊分別為則1分作輔助函數(shù)為1分由拉格朗日乘數(shù)法,2分解之得唯一可能的極值點(diǎn)由問題本身的性質(zhì)可知最大值一定存在,并在該點(diǎn)處取得,既當(dāng)兩個(gè)直角邊分別為,斜邊為時(shí),周長(zhǎng)最大.2分六、2解由比較判別法的極限形式1分2分而級(jí)數(shù)收斂,所以原級(jí)數(shù)收斂.3分3解2分1分又當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)收斂,當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散,2分所以原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為1分七、1解特征方程為特征值是1分所以齊此方程的通解為1分因?yàn)槭翘卣鞣匠痰膯胃?,故可設(shè)特解為1分利用待定系數(shù)法可得1分于是原方程的通解為1分將初始條件代入上式得所求特解為1分填空題(共15分)1.(5分)微分方程的通解為.3.(5分)設(shè)其中可微,則.選擇題(共15分)1.(5分)若在處收斂,則此級(jí)數(shù)在處().(A)條件收斂;(B)絕對(duì)收斂;(C)發(fā)散;(D)收斂性不確定.2.(5分)是級(jí)數(shù)收斂的(). (A)充分條件;(B)必要條件;(C)充分必要條件;(D)既不充分也不必要的條件.三、解答題(共56分)1.(7分)已知曲線上P點(diǎn)處的切線平行于平面求P點(diǎn)的坐標(biāo).2.(7分)設(shè)f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求5.(7分)判別級(jí)數(shù)的斂散性.6.(7分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域.8.(7分)試寫出微分方程的特解形式.一、(每小題4分);.二、(每小題4分)解答題1.(7分)解曲線在任一點(diǎn)的切向量為┄┄┄┄2分 已知平面的法向量為┄┄┄┄3分令得,┄┄┄┄5分于是所求點(diǎn)為┄┄┄┄7分2.(7分)解┄┄┄┄3分┄┄┄┄7分5.(7分)解(或當(dāng)時(shí),┄┄┄┄2分而發(fā)散,發(fā)散.┄┄┄┄4分令則當(dāng)時(shí)且┄┄┄┄6分由萊布尼茲判別法可知原級(jí)數(shù)條件收斂.┄┄┄┄7分6.(7分)解┄┄┄┄3分又當(dāng)即時(shí),級(jí)數(shù)收斂;┄┄┄┄5分當(dāng)即時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散┄┄┄┄6分故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椹īīī?分8.(7分)解特征方程為┄┄┄┄1分特征根為┄┄┄┄2分┄┄┄┄3分 是特征根,的一個(gè)特解形式為┄┄┄┄4分又不是特征根,的一個(gè)特解形式為┄┄┄┄5分故原方程的一個(gè)特解形式為┄┄┄┄6分填空題(每題4分,共16分)1.(4分)級(jí)數(shù)收斂的必要條件是.2.(4分)交換二次積分的次序=.3.(4分)微分方程的一個(gè)特解形式可以設(shè)為.選擇題(每題4分,共16分)2.(4分)級(jí)數(shù)為().A.絕對(duì)收斂;B.條件收斂;C.發(fā)散;D.收斂性不確定.4.(4分)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為().A.B.C.D.解答題(每題7分,共63分)(7分)設(shè)求.(7分)求,其中是平面被圓柱面截出的有限部分.(7分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域.(7分)求微分方程在初始條件下的特解.(7分)求微分方程在初始條件下的特解.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.2.3.;4.1.C;2.A;3.D.4.D.1.解3分3分7分3.解1分2分4分6分7分4.解2分當(dāng)時(shí)收斂4分當(dāng)時(shí)發(fā)散6分收斂域?yàn)?7分7.解3分4分5分將代入上式得6分所求特解為7分一、
單項(xiàng)選擇題(6×3分)1、設(shè)直線,平面,那么與之間的夾角為(
)A.0
B.
C.
D.2、二元函數(shù)在點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在是在點(diǎn)處可微的(
)A.充分條件
B.充分必要條件C.必要條件
D.既非充分又非必要條件3、設(shè)函數(shù),則等于(
)A.
B.C.
D.4、二次積分交換次序后為(
)A.
B.C.
D.5、若冪級(jí)數(shù)在處收斂,則該級(jí)數(shù)在處(
)A.絕對(duì)收斂
B.條件收斂C.發(fā)散
C.不能確定其斂散性6、設(shè)是方程的一個(gè)解,若,則在處(
)
A.某鄰域內(nèi)單調(diào)減少
B.取極小值
C.某鄰域內(nèi)單調(diào)增加
D.取極大值二、
填空題(7×3分)1、設(shè)=(4,-3,4),=(2,2,1),則向量在上的投影=
2、設(shè),,那么
3、D為,時(shí),
5、函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù)為
6、=
7、為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為
三、計(jì)算題(4×7分)1、設(shè),其中具有二階導(dǎo)數(shù),且其一階導(dǎo)數(shù)不為1,求。3、計(jì)算二重積分,其中5、求級(jí)數(shù)的和。五、證明題(6分)設(shè)收斂,證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。一、
單項(xiàng)選擇題(6×3分)1、
A
2、
C
3、
C
4、
B
5、
A
6、
D
二、
填空題(7×3分)1、2
2、3、
4、5、
6、0
7、
三、計(jì)算題(5×9分)1、解:令則,
故3、解:===5、解:令則
,即
令,則有=
五、證明題(6分)證明:
即
而與都收斂,由比較法及其性質(zhì)知:收斂故絕對(duì)收斂。一,單項(xiàng)選擇題(6×4分)1、直線一定(
)A.過原點(diǎn)且垂直于x軸
B.過原點(diǎn)且平行于x軸C.不過原點(diǎn),但垂直于x軸
D.不過原點(diǎn),但平行于x軸2、二元函數(shù)在點(diǎn)處①連續(xù)
②兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)
③可微
④兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在那么下面關(guān)系正確的是(
)A②③①
B.③②①C.③④①
D.③①④3、設(shè),則等于(
)A.0
B.C.
D.4、設(shè),改變其積分次序,則I=(
)A.
B.C.
D.5、若與都收斂,則(
)A.條件收斂
B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散
C.不能確定其斂散性6、二元函數(shù)的極大值點(diǎn)為(
)
A.(1,0)
B.(1,2)
C.(-3,0)
D.(-3,2)二、
填空題(8×4分)1、過點(diǎn)(1,3,-2)且與直線垂直的平面方程為2、設(shè),則=
3、設(shè)D:,,則
4、設(shè)為球面,則=
5、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為
6、以為通解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為
7、若收斂,則=
8、平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)面的方程為
三、計(jì)算題(4×7分)1、設(shè)可微,由確定,求及。2、計(jì)算二重積分,其中。3、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域。4、求曲線積分,其中是由所圍成區(qū)域邊界取順時(shí)針方向。四、綜合題(10分)
曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方是過點(diǎn)的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo),求此曲線方程。五、證明題(6分)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證明級(jí)數(shù)也收斂。一、
單項(xiàng)選擇題(6×4分)1、
A
2、
A
3、
C
4、
B
5、
B
6、
D
二、
填空題(8×4分)1、
2、
3、4
4、
5、
6、
7、1
8、
三、計(jì)算題(4×7分)1、解:令
2、解:==
===3、解:令對(duì)于,當(dāng)時(shí)=發(fā)散
當(dāng)時(shí),=也發(fā)散
所以在時(shí)收斂,在該區(qū)間以外發(fā)散,即解得故所求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2,收斂域?yàn)椋?,4)4、解:令,則,由格林公式得到==
==4四、綜合題(10分)
解:過的切線方程為:令X=0,得
依題意有:即…………..(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程解為令所求解為將代入(1)得:故(1)的解為:五、證明題(6分)證明:由于收斂,所以也收斂,而由比較法及收斂的性質(zhì)得:收斂。一、填空題(每小題3分,共計(jì)15分)1.設(shè)由方程確定,則。2.函數(shù)在點(diǎn)沿方向(4,0,-12)的方向?qū)?shù)最大。二、解答下列各題(每小題7分,共35分)設(shè)連續(xù),交換二次積分的積分順序。解:計(jì)算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域。解:求微分方程的通解。解:的通解為。設(shè)原方程的一個(gè)特解,代入原方程,得。其通解為五、(10分)求在下的極值。解:令,得。,為極小值點(diǎn)。故在下的極小值點(diǎn)為,極小值為。六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。解:的面積為平面部分的面積為。故立體的表面積為。七、(10分)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。解:收斂區(qū)間為。設(shè),。故。選擇題(共5小題,每題3分,共計(jì)15分)1.直線與平面的位置關(guān)系是()(A)垂直(B)平行(C)直線在平面上(D)不確定2.下列說法正確的是()(A)若、存在,則函數(shù)在點(diǎn)可微分.(B)若、存在,則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).(C)若函數(shù)在點(diǎn)可微,則函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).(D)若、,則點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn).3.交換二次積分的積分次序?yàn)椋ǎˋ)(B)(C)(D)4.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是()(A)(B)(C)(D)5.級(jí)數(shù)()(A)絕對(duì)收斂(B)發(fā)散(C)條件收斂(D)不確定二、填空題(共5小題,每題3分,共計(jì)15分)1.向量與向量共線,且,則.2.3.函數(shù),則.5.級(jí)數(shù)(填收斂或發(fā)散).三、(本題8分)求與兩平面和的交線平行且過點(diǎn)的直線的方程.四、(共2小題,每題7分,共計(jì)14分)計(jì)算下列偏導(dǎo)數(shù).1.求函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)).2.設(shè),求及.五、(共2小題,每題7分,共計(jì)14分)計(jì)算下列重積分.1.計(jì)算,其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.2.,其中是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域.六、(本題12分)求函數(shù)的極值,并判斷是極小值還是
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