2023年天津高考數(shù)學(xué)真題（含解析）

2023年高考數(shù)學(xué)天津卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A.1,3,5 B.1,3 C.1,2,4 D.1,2,4,52.“a2=b2”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件3.若，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c4.函數(shù)fx的圖象如下圖所示，則fx的解析式可能為（A.5ex?C.5ex+5.已知函數(shù)fx的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則fx的解析式可能為（A. B.C. D.6.已知an為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，an+1=2A.3 B.18 C.54 D.1527.調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245，下列說法正確的是（）A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.82458.在三棱錐P?ABC中，線段PC上點M滿足PM=13PC，線段PB上的點N滿足，則三棱錐P?AMN和三棱錐P?ABC的體積之比為（A.19 B.29 C. D.9.雙曲線x2a2?y2b2(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2A.x28?C.x24?二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．11.在2x3?1x12.過原點一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切，交曲線y2=2px(p>0)于點P13.甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．14.在△ABC中，∠A=60°，BC=1，點D為AB的中點，點E為CD的中點，若設(shè)AB=a,AC=b，則可用a,b15.若函數(shù)有且僅有兩個零點，則a的取值范圍為_________．三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在△ABC中，角所對的邊分別是a,b,c．已知a=39,b=2,（1）求sinB（2）求c的值；（3）求sinB?C17.三棱臺ABC?A1B1C1中，若A1A⊥（1）求證：A1N//平面（2）求平面與平面ACC1（3）求點C到平面的距離．18.設(shè)橢圓x2a2+y2b（1）求橢圓方程及其離心率；（2）已知點P是橢圓上一動點（不與端點重合），直線A2P交y軸于點Q，若三角形A1PQ的面積是三角形19.已知an是等差數(shù)列，．（1）求an的通項公式和．（2）已知bn為等比數(shù)列，對于任意k∈N?，若（Ⅰ）當k≥2時，求證：；（Ⅱ）求bn的通項公式及其前n20.已知函數(shù)．（1）求曲線在處切線的斜率；（2）當x>0時，證明：fx（3）證明：．2023年高考數(shù)學(xué)天津卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A.1,3,5 B.1,3 C.1,2,4 D.1,2,4,5【答案】A【解析】由?UB={3,5}，而所以?UB∪2.“a2=b2”是“aA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由a2=b2，則a=±b，當由a2+b2=2ab，則(a?b所以a2=b2故選：B3.若，則a,b,c的大小關(guān)系為（）A.c>a>b B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>c【答案】D【解析】由y=1.01x在R上遞增，則由y=x0.5在上遞增，則a=1.0所以b>a>c.故選：D4.函數(shù)fx的圖象如下圖所示，則fx的解析式可能為（A.5ex?C.5ex+【答案】D【解析】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，其為偶函數(shù)，且f(?2)=f(2)<0，由5sin(?x)(?x)當x>0時5(ex?e?x)x2+2故選：D5.已知函數(shù)fx的一條對稱軸為直線，一個周期為4，則fx的解析式可能為（A. B.C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中T=2ππ2=4，C選項中T=2ππ4=8，排除選項CD，對于A選項，當時，函數(shù)值sinπ2×2=0，故2,0對于B選項，當時，函數(shù)值cosπ2×2=?1故選：B.6.已知an為等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，an+1=2A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】由題意可得：當n=1時，a2=2a1+2當n=2時，a3=2a1+聯(lián)立①②可得a1=2,q=3，則故選：C.7.調(diào)查某種群花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)r=0.8245，下列說法正確的是（）A.花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性B.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關(guān)C.花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8245【答案】C【解析】根據(jù)散點的集中程度可知，花瓣長度和花萼長度有相關(guān)性，A選項錯誤散點的分布是從左下到右上，從而花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項錯誤，C選項正確；由于r=0.8245是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來一部分數(shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是0.8245，D選項錯誤故選：C8.在三棱錐P?ABC中，線段PC上點M滿足PM=13PC，線段PB上的點N滿足，則三棱錐P?AMN和三棱錐P?ABC的體積之比為（A.19 B.29 C. D.【答案】B【解析】如圖，分別過M,C作MM'⊥PA,CC'⊥PA,垂足分別M',C'.過B作BB'⊥平面PAC，垂足為因為BB'⊥平面PAC，BB'?平面又因為平面PBB'∩平面PAC=PB'，NN'⊥PB'，在中，因為MM'⊥PA,CC'⊥PA在△PBB'中，因為BB所以VP?AMN故選：B9.雙曲線x2a2?y2b2(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1、F2A.x28?C.x24?【答案】D【解析】如圖，因為F2c,0，不妨設(shè)漸近線方程為y=b所以PF2=設(shè)∠POF2=θ,則tanθ=因為12ab=12c?yP,所以Pa因為F1?c,0，所以所以2a2+2所以雙曲線的方程為x22?二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．【答案】4+i##i+4【解析】由題意可得5+14i2+3i故答案為：4+i.11.在2x3?1x【答案】60【解析】展開式的通項公式Tk+1令18?4k=2可得，k=4，則項的系數(shù)為?14×故答案為：60.12.過原點一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切，交曲線y2=2px(p>0)于點P【答案】6【解析】易知圓x+22+y2=3和曲線y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以O(shè)P=2p3當k=?3故答案為：6．13.甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5:4:6．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為_________；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為_________．【答案】①.0.05②.35##【解析】設(shè)甲、乙、丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為5n,4n,6n，所以總數(shù)為15n，所以甲盒中黑球個數(shù)為40%×5n=2n，白球個數(shù)為3n；甲盒中黑球個數(shù)為25%×4n=n，白球個數(shù)為3n；甲盒中黑球個數(shù)為50%×6n=3n，白球個數(shù)為3n；記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，PA記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件B，黑球總共有2n+n+3n=6n個，白球共有9n個，所以，PB=9n15n=14.在△ABC中，∠A=60°，BC=1，點D為AB的中點，點E為CD的中點，若設(shè)AB=a,AC=b，則可用a,b【答案】①.14a【解析】空1：因為E為CD的中點，則ED+EC=兩式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因為BF=13BC，則得到AF+即3AF=2a于是AE?記AB=x,AC=y，則AE?在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC于是AE?由x2+y故xy≤1，當且僅當x=y=1取得等號，則x=y=1時，有最大值1324.故答案為：14a+15.若函數(shù)有且僅有兩個零點，則a的取值范圍為_________．【答案】?∞,0【解析】（1）當x2?ax+1≥0時，a?1即a?1x?1若a=1時，x=?1，此時x2若a≠1時，x=1a?1或若方程有一根為x=?1，則1+a+1≥0，即a≥?2且a≠1；若方程有一根為x=1a?1，則1a?12?a×若x=1a?1=?1時，a=0（2）當x2?ax+1<0時，a+1即a+1x?1若a=?1時，x=1，顯然x2若a≠?1時，x=1或x=1若方程有一根為x=1，則1?a+1<0，即a>2；若方程有一根x=1a+1，則1a+12若x=1a+1=1時，a=0綜上，當a<?2時，零點為1a+1，1當?2≤a<0時，零點為1a?1，；當a=0時，只有一個零點；當時，零點為1a?1，；當a=1時，只有一個零點；當時，零點為1a?1，；當a>2時，零點為1,?1．所以，當函數(shù)有兩個零點時，a≠0且a≠1．故答案為：?∞,0∪三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在△ABC中，角所對的邊分別是a,b,c．已知a=39,b=2,（1）求sinB（2）求c的值；（3）求sinB?C【答案】（1）1313（2）5（3）【解析】【1】由正弦定理可得，asinA=bsin【2】由余弦定理可得，a2=b解得：c=5或c=?7（舍去）．【3】由正弦定理可得，asinA=csinC，即所以B,C都為銳角，因此cosC=1?故sinB?C17.三棱臺ABC?A1B1C1中，若A1A⊥（1）求證：A1N//平面（2）求平面與平面ACC1（3）求點C到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）（3）43【解析】【1】連接MN,C1A.由M,N分別是BC,BA的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)，MN//AC由棱臺性質(zhì)，A1C1//AC，于是MN//A1C1，由MN=A1C1=1可知，四邊形MNA1C1是平行四邊形，則A【2】過M作ME⊥AC，垂足為E，過E作EF⊥AC1，垂足為F,連接由ME?面ABC，A1A⊥面ABC，故AA1⊥ME，又ME⊥AC，，平面ACC1由AC1?平面ACC1A1，故ME⊥AC1，又EF⊥AC1由MF?平面MEF，故AC1⊥MF.于是平面與平面ACC又ME=AB2=1，cos∠CAC1=15，則于是cos【3】[方法一：幾何法]過C1作，垂足為P，作C1Q⊥AM，垂足為Q，連接，過P作PR⊥C由題干數(shù)據(jù)可得，C1A=C1C=由C1P⊥平面AMC，AM?平面AMC，則，又C1Q⊥AM，C1Q∩C1P=C又PR?平面C1PQ，則PR⊥AM，又PR⊥C1Q，C1Q∩AM=Q，C在Rt△C1又CA=2PA，故點C到平面的距離是P到平面的距離的兩倍，即點C到平面的距離是43.[方法二：等體積法]輔助線同方法一.設(shè)點C到平面的距離為.VCVC?由VC1?AMC18.設(shè)橢圓x2a2+y2b（1）求橢圓方程及其離心率；（2）已知點P是橢圓上一動點（不與端點重合），直線A2P交y軸于點Q，若三角形A1PQ的面積是三角形【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為e=12.（2）y=±6【解析】【1】如圖，由題意得a+c=3a?c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以橢圓的方程為，離心率為e=ca【2】由題意得，直線A2P斜率存在，由橢圓的方程為可得A設(shè)直線A2P的方程為聯(lián)立方程組x24+y2由韋達定理得xA2?所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直線A219.已知an是等差數(shù)列，．（1）求an的通項公式和．（2）已知bn為等比數(shù)列，對于任意k∈N?，若（Ⅰ）當k≥2時，求證：；（Ⅱ）求bn的通項公式及其前n【答案】（1）an=2n+1，i=（2）(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)bn=2n，前【解析】【1】由題意可得a2+a則數(shù)列an的通項公式為a求和得i==2=2【2】(Ⅰ)由題意可知，當時，bk<取n=2k?1，則bk當2k?2≤n≤2取n=2k?1?1據(jù)此可得2k綜上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，2k+1則數(shù)列bn的公比q滿足2當k∈N?,k→+∞時，2?所以2k?1<b當k∈N?,k→+∞時，2?所以數(shù)列的通項公式為bn其前n項和為：Sn20.已知函數(shù)．（1）求曲線在處切線的斜率；（2）當x>0時，證明：fx（3）證明：．【答案】（1）13（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【1】f(x)=ln(x+1)所以f'(2)=