2024年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)試題（含解析）

2024年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）

數(shù)學(xué)

2024-03-18

本試卷共5頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆在答題

卡的相應(yīng)位置填涂考生號。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作

答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={1,3,/},3={l,a+2},若則“=

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知復(fù)數(shù)2滿足|z-3+4i|=l,貝”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.記5“為等比數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和，若％限=2。2%，則3=

A.5B.4C.3D.2

4.已知正四棱臺ABC。-的上、下底面邊長分別為1和2,且班］，則該棱臺的體積為

A.述B.迪C.2D.Z

2662

22

5.設(shè)3,工分別是橢圓C：與+二=1（。＞匕＞0）的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，且BF,=2F,P,

ab

則C的離心率為

A.BB.巫C.-D.正

31322

6.已知函數(shù)/（x）的部分圖象如圖所示，則Ax）的解析式可能是

A./(x)=sin(tanx)B./(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(x)=tan(cosx)

3

7.已知〃=—,N=5,5c=8,則

2一

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

71

8.已知a,4是函數(shù)/Q)=3sin2x+6一2在0,上的兩個零點(diǎn),則cos(。―/?)=

岳-二+回

AB6c2D2

-13'-6--6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量。，白不共線，向量a+5平分a與入的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是

A.a-b=0B.(a+b)±(a-b)

C.向量。與5在a+Z>上的投影向量相等D.|a+b|=|a-》|

10.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱中的球除顏色外，沒有其他區(qū)

別).先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件4和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;

再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件3表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則

311

A「⑷/B.P(B)=-

92

C.P(B|A)=—D.P(A2\B)=-

11.己知直線丁=近與曲線y=lnx相交于不同兩點(diǎn)“(七,弘)，N(x2,y2),曲線y=Inx在點(diǎn)/處的

切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)P(x0,%),則

A.0<^<-B.%羽=%C.必+%=1+%D.yy<1

e一x2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

S+9

12.已知數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和5“=/+%當(dāng)兵一取最小值時，n=_____.

a”

13.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重W(單位：克)與脈搏率/(單位:

心跳次數(shù)/分鐘）的對應(yīng)數(shù)據(jù)（叱"）4=1,2,,8）,根據(jù)生物學(xué)常識和散點(diǎn)圖得出f與W近似滿足

8

f=cWk（c,左為參數(shù)）.令玉=ln叱，X=ln￡,計(jì)算得了=8,7=5,￡y；=214.由最小二

?=1

乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=Ax+7.4,則左的值為；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求

8

得預(yù)測值白（7=1，2,,8）,若殘差平方和Z（%-t）、028,則決定系數(shù)R2g.

i=\

￡（y-y,）2

（參考公式：決定系數(shù)代=1一1".）

f（2）2

i=l

14.已知曲線。是平面內(nèi)到定點(diǎn)/（。，-2）與到定直線/：y=2的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)尸在

C上，對給定的點(diǎn)7（-2,。，用加⑺表示|/＞用+|27|的最小值，則機(jī)⑺的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）

記△川（?的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,△ABC的面積為S.

已知S=-r（4+"廿）.

（1）求3；

7T

（2）若點(diǎn)。在邊AC上，且=AD=2DC=2,求△ABC的周長.

2

16.（15分）

如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ADCP是等邊三角形,

TT

NDCB=NPCB=—，點(diǎn)、M,N分別為止和AB的中點(diǎn).

4

（1）求證：〃平面PBC；

(2)求證：平面平面ABCD；

(3)求CM與平面R4D所成角的正弦值.

17.(15分)

已知函數(shù)/'(x)=cosx+xsinx,xe(-TT,K).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間和極小值；

(2)證明:當(dāng)xe[0,7t)時，2f(x)<ex+e-^.

18.(17分)

22_

已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：鼻-2=1(。>0,6>0)的焦距為4,且經(jīng)過點(diǎn)(虎,石).

ab

(1)求C的方程；

(2)若直線/與C交于A,3兩點(diǎn)，且0403=0,求IASI的取值范圍；

(3)己知點(diǎn)P是C上的動點(diǎn)，是否存在定圓。：x2+/=r2(r>0),使得當(dāng)過點(diǎn)P能作圓。的

兩條切線。M,PN時(其中N分別是兩切線與C的另一交點(diǎn))，總滿足|PM|=|PN|?若存在，

求出圓。的半徑廠；若不存在，請說明理由.

19.(17分)

某校開展科普知識團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動，該活動共有兩關(guān)，每個團(tuán)隊(duì)由〃(“23,〃eN*)位成員組成，

成員按預(yù)先安排的順序依次上場，具體規(guī)則如下：若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功，則該成員繼續(xù)闖第二關(guān)，

否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān)；若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功，則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活

動結(jié)束，否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān)；當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場

參加了闖關(guān)，該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動結(jié)束.

31

已知A團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為'和上，且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響,

42

每關(guān)結(jié)果也互不影響.

(1)若“=3,用X表示A團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動結(jié)束時上場闖關(guān)的成員人數(shù)，求X的均值;

（2）記A團(tuán)隊(duì)第左（1W左Wa-l,keN*）位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為外，集合

%eN*|p*<中元素的最小值為心,規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)”=府+1,求".

2024年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）

數(shù)學(xué)

2024-03-18

本試卷共5頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆在答題

卡的相應(yīng)位置填涂考生號。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作

答無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={1,3,/},8={l,a+2},若則“=

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】A.

【解析】依題意。+2=3或a+2=/,解得。=1或a=2,a——l,經(jīng)檢驗(yàn)a=2.

故選A.

2.已知復(fù)數(shù)2滿足|z-3+4i|=l,貝”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D.

【解析】設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z,3-4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)C(3,-4),

所以|ZC|=1,即點(diǎn)Z在以C(3,-4)為圓心，1為半徑的圓上，所以點(diǎn)Z在第四象限.

故選D.

3.記S“為等比數(shù)列{4}的前w項(xiàng)和，若則〉

A.5B.4C.3D.2

【答案】C.

【解析】設(shè)公比為小由等比數(shù)列性質(zhì)得說=2心所以如=2,所以g=l+d=3.故選c.

4.已知正四棱臺ABC。-4戈。12的上、下底面邊長分別為1和2,且3用上DR,則該棱臺的體積為

A.述B.述C.ZD.Z

2662

【答案】B.

【解析】延長84，DD,,設(shè)8片與DR交于點(diǎn)S,BD,臺01的中點(diǎn)分別為QQ,由正四棱臺結(jié)

構(gòu)特征知：S,O,O|三點(diǎn)共線，且SQ，平面ABGA，。。1為正四棱臺的高.因?yàn)锽旦所

以SQ=＜q9=應(yīng)，so=-BD~,

21122

所以O(shè)Oi=SO「SO=等,所以正四棱臺的體積丫=3義等(12+k2+22)=尊.故選C.

22

5.設(shè)3,凡分別是橢圓C：當(dāng)+三=1(。＞人＞0)的右頂點(diǎn)和上焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，且8招=2月產(chǎn)，

ab

則C的離心率為

R版D,巫

KD.-----------

T132

【答案】A.

b33cc(b3c?

【解析】依題意8(40),居(0,c),設(shè)尸(x,y),由%=2月尸得％=—/=—,即P—不守，代

222;乙乙)

9c2+二=1,解得片=3。2,所以e=9=Y3.故選A.

入得

4/4b2a3

6.已知函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示，則/(x)的解析式可能是

A./(x)=sin(tanx)B./(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(x)=tan(cosx)

【答案】D.

【解析】由函數(shù)/(%)的圖象特征，可排除選項(xiàng)A,C,

由于tan(sin(-x))=tan(-sinx)=-tan(sinx),排除選項(xiàng)B.

因?yàn)閠an(cos(-x))=tan(cosx),故選D.

3

7.已知a=—,3'=5,5c=8,貝！J

2

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】C.

b2

【解析】依題意6=bg35,c=log58,因?yàn)?log2725<l,所以另一方面

22

^=lg5lg5ilg5lg5；1

clg3lg8pg3+lg8jlg2舊，所以b>c.故選C.

8.已知a,是函數(shù)/(x)=3si“2x+：|—2在］O,：上的兩個零點(diǎn)，則cos(a—尸)=

A2近V15-2口26+占

3366

【答案】A.

【解析】依題意/3)=/(0=。，所以sin[2a+e]=sin[2￡+61=g,

由函數(shù)y=sin￡x+2]在I。,']上的圖象的對稱性得：

卜+1+,+升2*字即&+/三，且。，0弓)即厝]，

所以cos@—分)=cos￡—[1—&)=co{2e_g]=sin](2a_g]+]

=sin^2cif+—=—.故選A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知向量。，〃不共線，向量a+5平分a與方的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是

A.a-b=0B.(a+Z>)±(?-Z>)

C.向量a與，在a+Z>上的投影向量相等D.|a+6|=|a—6

【答案】BC.

【解析】記“=礪，》=無，a+b^OC'則四邊形OACB為平行四邊形，依題

意0C平分/AOB,所以四邊形OACB為菱形，故選項(xiàng)B和C正確.故選BC.

10.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和2個白球(兩箱中的球除顏色外，沒有其他區(qū)

別).先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用事件A和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;

再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，用事件3表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，則

311

A.P(A)=5B.P(B)=-

92

C.P(B|A)=—D.P(A2IB)=-

【答案】ABD.

32C2*73C21

【解析】易知P(A)=￡,P(4)=￡，且P⑻而尸⑻4)=六=6，

332111

所以PCB)=PCB|A)p(A)+PCB|4)p(4)=《xm+gXm=京，

2一x1__

口4⑶=3器=甘=本故選ABD?

50

11.已知直線丫=丘與曲線y=lnx相交于不同兩點(diǎn)”(項(xiàng),弘)，JV(x2,y2),曲線y=Inx在點(diǎn)/處的

切線與在點(diǎn)N處的切線相交于點(diǎn)尸(吃,為),則

A.0<^<-B.%居=exoC.%+%=1+%D.

e--

【答案】ACD.

71nMln%In%1

【解析】因?yàn)樽?———由/(%)二——圖象特征得0<左<一,故選項(xiàng)A正確;

再/%e

，1,、

曲線y=lnx在點(diǎn)M處的切線方程為：y-lnxj=-(x-xl),

■玉

在點(diǎn)N處的切線方程為丁—In%=—(x-x2),聯(lián)立解得x()=見三~電%xxx1=kx[x1,

%(9-%)-

%=他一1+In&=In玉+In%—1=%+%—1，

所以％°=心九2<工元1元2，故選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C正確；

e

xInxInx+lnZInZ

設(shè)二9=%(不妨設(shè)/>1),則一L=-1------,即ln%=——，

西~?X]t—1

“…11L11^ln21

所以In%=由11+ln[=——-,yry2=In-Inx2=―—―,

2/八「2(%—1)iii

記1*，則(ln2/+21nf)(f—1)—2〃!？/?+l)[j-TnH,

('—D4("1)3(Z-l)3

容易證明夕（。=生二2—Inf在（1,+8）上遞減（過程略），

t+1

所以當(dāng)/>1時，。⑺〈。⑴=0,從而q"）<0,所以q⑺在（1，+8）上遞減,

2In?2

又,./、ln2Z+21n?,,

人limo-（r）=lim----------=lim--t-----t-=1

t2（r-l）t2

所以％%<1，故選項(xiàng)D正確.

選項(xiàng)D別解：因?yàn)樽鬄橐籌n%=0=左%,—In/，所以7=^-----:一，

kinXj-inx2

因?yàn)榍鶷<~一：2三（對數(shù)平均不等式）,所以JF<J<五*,

N

lnX[-lnx22k2

由J1工。<L得入1工2<1,又％=向,％=上與，所以%%<1-

k

故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

S+9

12.已知數(shù)列｛?！埃那皫醉?xiàng)和S"="2+”,當(dāng)」一取最小值時，〃=

an

【答案】3.

-9S],〃=1,

【解析】因?yàn)镾"=〃2+〃，由c求得。“=2〃，

[Sn-Sn_l,n>2

5+91917Q

所以」一=-(n+l+-)^-x(2x3+l)=-,當(dāng)且僅當(dāng)〃二一即九=3.

an2n22n

13.某校數(shù)學(xué)建模興趣小組收集了一組恒溫動物體重W(單位：克)與脈搏率/(單位:

心跳次數(shù)/分鐘)的對應(yīng)數(shù)據(jù)(叱J)?=1,2,,8),根據(jù)生物學(xué)常識和散點(diǎn)圖得出了與W近似滿足

8

f=cWk(c,左為參數(shù)).令%=ln叱，％=ln￡,計(jì)算得元=8,y=5,?；=214.由最小二

Z=1

乘法得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為亍=3尤+7.4,則左的值為；為判斷擬合效果，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程求

得預(yù)測值力"=1,2,.、8),若殘差平方和?,-汨、028,則決定系數(shù)六a.

Z=1

￡(%—%y

(參考公式：決定系數(shù)氏2=1_子2_二.)

1=1

【答案】-0.3,0.98.

[解析]由最小二乘法原理可知(x,用在回歸直線方程y=bx+JA±.,

代入元=8,了=5,得5=—0.3.

因?yàn)閥=cW3所以Iri/'Minc+mnW,所以lnc=7.4,k=b=-0,3；

88

因?yàn)椤?K—?=XW-8x52=14,

i=li=l

8

2(%-%)2

所以爐=1—?-------------=1——=0.98.

z(x-n214

i=l

14.已知曲線C是平面內(nèi)到定點(diǎn)尸(。,-2)與到定直線/：y=2的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡，若點(diǎn)P在

C上，對給定的點(diǎn)T(-2J),用機(jī)⑺表示IP用+IPTI的最小值，貝心九⑺的最小值為.

【答案】2.

I-----------------20(y—3),y22,

【解析】依題意產(chǎn)不行+|y—21=6,即％7=j4(y+3)y<2

當(dāng)x=—2,解得y=g或y=-2；

當(dāng)。>/時，|P-|+1PT以|=)?+2)2+4=J—+4f+8，

當(dāng)且僅當(dāng)T,P,歹三點(diǎn)共線取等號，所以加?)=J/+4/+8；

14

當(dāng)時，|夕尸|+|PT|=d'+|PT以7W(；|=8—%,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P（—2,二）取等號，所以加⑺=87；

當(dāng)—2W/W2時，|PF|+|PT|=d+|PT|2|7Hol=f+4,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P（—2,—2）取等號，所以/⑺=4+/；

當(dāng)f<一2時，|PF|+1PT必尸T|=7（?+2）2+4=，產(chǎn)+4/+8，

當(dāng)且僅當(dāng)T,P,尸三點(diǎn)共線取等號，所以加。）=，/+由+8

綜上，當(dāng)/=—2時，根⑺取最小值為2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（13分）

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,。，△回（?的面積為S.

已知S=-乎（/+/—廿）.

（1）求3；

TT

(2)若點(diǎn)。在邊AC上，且=AD=2DC=2,求△ABC的周長.

2

解：(1)因?yàn)閏os5=^^~,.......................................................1分

2ac

S=一^-(a1+c2-b2)=~^-x2accosB=-^-accosB，.............2分

442

又3=!〃。$1115,.......................................................3分

2

ni

所以----accosB=—acsmB，解得tanB=_J^......................................4分

22

又5是5c的內(nèi)角，所以5=——..................................6分

3

2冗TT7T

⑵方法一：依題意NCBZ）==—,.............................7分

326

____A_B_____A__D_—A“/八）—2

在△。中，由正弦定理得兀__________，..............8分

A3sin/ADBsi.n—

2

-----------------/,(-/

同理，在△。中有兀-----------，9分

CBsinNCDBsi.n—..................................

6

又/ADB+/CDB=%

所以sinZAD5=sinNCD5,.......................................................10分

所以AB=CB,即。=c..................................11分

在aABC中，b1=c2+6Z2-2ca-cosZABC，即32=c2+a2+ac=3a2，

解得a=V3，

所以。=〃=V^，.......................................................12分

所以△ABC的周長為3+2省..................................13分

B

2冗冗冗

方法二：依題意NCBD=---------=-,...................................................................7分

326

BDAD.八

_____—_____=AD=2

在△A3。中，由正弦定理得sinA.兀，.....................................8分

sin

2

__//)-/

同理，在△CBO中有sin?！?兀——，.....................................................9分

sin—

6

所以sinA=sinC,..................................................................10分

所以A5=CB,即。=c...................................................................11分

后同方法一(略).

方法三：依題意NCBD=2—4=4,.................................................................7分

326

設(shè)BD=x,在^ABC中，由余弦定理得〃=c2+a2-2ca?cosNABC，

BPc2+tz2+=9?..................................................................8分

在△ABO中，C2+X2=AD2=4...................................................................9分

在ACBD中,BC2+BD1-2fiC-BDcosZCBD=CD2,

即a2+x2-43ax=l?..................................................................10分

聯(lián)立方程角畢得Q=c=x=1?....................................................................12分

所以△ABC的周長為3+26...................................................................13分

2冗TC7T

方法四：依題意NCBD=----------=—,...................................................................7分

326

過點(diǎn)C作AB的垂線交AB的延長線于點(diǎn)E，

7T

因?yàn)閆ABD=一,所以3ZV/EC,.............................................................8分

2

又AD=2￡>C,所以A5=28E,..................................................................9分

2兀71

在Rtz\CBE中，ZCBE=71——=-,

33

7T1

所以BE=BCcos_=_BC,即CB=25E,.....................................................10分

32

所以AB=CB,即。=。..................................11分

后同方法一，過程略.

2212

方法五：依題意3。=必+4。=胡+—AC=BA+—CBC—3A)=—3A+—3C,...............8分

3333

7T

因?yàn)镹ABD=一,

2

————1一9

^\^BABD=BA(-BA+-BC)=O,......................................................9分

又因?yàn)?/RC=T,

所以§c~+§c,a,(一萬)=0,HPc2—ca=0?................................................10分

因?yàn)閏wO,所以a=c........................................................11分

后同方法一，過程略.

方法六：設(shè)△ABC中AC邊上的高為〃，

由面積法可得

-BABDsmZABD?-ADh

2_?Z\ABD_2,.........................................9夕

-BCBDsmZCBDS^CBD-.DCh

22

jr2冗TT7T1

又ZABD=—,ZCBD=------=—,所以sinZA5D=l,sinZCBD=~,

23262

解得A6=C8,.......................................................11分

后同方法一，過程略.

方法七：依題意

2212

BD=BA+AD=BA+-AC=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC,............8分

——>21—>24——-24―■——?

所以=-BA+-BC+-BABC,.......................................................9分

999

142

即4-c2=-c~—儲—(2C>.................................10分

999

又由余弦定理得尸=°2+/—2ca.cosNABC，

即c2+/+ca=9，.......................................................11分

解得a=c=5.......................................................12分

所以△ABC的周長為3+2若.................................13分

jrAR「

方法八：因?yàn)镹ABD=—,所以cosNA=—=—,

2AD2

—29—[2

在△ABO中，由余弦定理得cos44二/^——=

2bc6c

02+9—〃2c

所以(十,@=土,化簡得/+2片=9，

6c2

又由余弦定理得尸=°2+片—2ca.cosNABC，

即c2+〃+=9，..............................11分

后同解法七，過程略.

16.(15分)

如圖，在四棱錐P-A3CD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ADCP是等邊三角形,

71

/DCB=/PCB=—,點(diǎn)M,N分別為DQ和AB的中點(diǎn).

4

(1)求證：〃平面PBC；

(2)求證：平面PBCL平面ABCD；

(3)求CM與平面P4D所成角的正弦值.

解：(1)方法一：取PC的中點(diǎn)。，連接MQ,3Q............................1分

又〃為如的中點(diǎn)，所以M2//DC,且MQ=LZ)C,....................2分

2

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是菱形，所以DC//A3,DC=AB.

又N為A3的中點(diǎn)，所以MQ//NB,MQ=NB........................3分

所以四邊形肱VB。是平行四邊形，所以MN//BQ.......................4分

因?yàn)槠矫鍼BC,5Qu平面PBC,

所以MZV//平面PBC...............................5分

方法二：取AP的中點(diǎn)E,連接EM,EN,貝U￡M//AD,EN//PB.

又ADIIBC,所以EM//BC.............................................................1分

因?yàn)槭疢a平面PBC,BCu平面PBC,

所以EM〃平面PBC............................................................2分

同理的〃平面PBC............................................................3分

又EMCEN=E,所以平面EAW〃平面PBC.................................................4分

因?yàn)镸Nu平面EMN,所以MN〃平面PBC.................................................5分

方法三：取CD的中點(diǎn)/，連接叱，NF,

則〃/5C,NF//BC...............................................................1分

因?yàn)镸EN平面PBC,尸Cu平面PBC,

所以MF〃平面PBC............................................................2分

同理N9〃平面PBC.............................................................3分

又MFCNF=F,所以平面跖VF〃平面PBC................................................4分

因?yàn)镸Nu平面跖VF,所以〃平面PBC.................................................5分

(2)證明：作PH_L6C,連接。H.

則PH=PCsin：=后，CH=PH=41-........................................................6分

JT

因?yàn)镈C=2,ZDCH=~,在△CDH中由余弦定理得后........7分

所以DM?+PH?=口「2,所以PHLDH..........................................................8分

又DHCBC=H,所以W平面ABCD.........................................................9分

因?yàn)槠矫鍼BC,

所以平面PBC_L平面ABCD.........................................................10分

(3)方法一：由(2)知尸平面ABCD,HDLHC,

以HC,HD,HP所在直線分別為羽％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A(-2,V2,0),C(V2,0,0),D(0,V2,0),P(0,0,拒).........................H分

(V2

因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以M0,—.

I22J

所以而=(O,—后,后)，礪=(2,0,0)，CM=(—叵?學(xué))