2023-2024學年吉林省普通高中友好學校聯(lián)合體高一（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年吉林省普通高中友好學校聯(lián)合體高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在如圖所示的平面直角坐標系中，向量AB的坐標是(

)

A.(2,2) B.(?22.若a是平面α外的一條直線，則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關系是(

)A.平行 B.相交 C.異面 D.平行、相交或異面3.若i是虛數(shù)單位，則復數(shù)z=i2019?A.2 B.?2 C.2i 4.如圖，已知等腰三角形O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，O′AA.22

B.1

C.25.已知圓錐的高為3，其側(cè)面展開圖的心角為4π3，則該圓錐的體積為A.3π8 B.43π6.如圖，在△ABC中，BD+4A.15AB+45AC

7.在△ABC中，已知|AB+ACA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形8.已知平面上的兩個單位向量a，b滿足a?b=45，若m∈A.52 B.25 C.53二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.用一個平面去截一個幾何體，截面的形狀是三角形，那么這個幾何體可能是(

)A.圓錐 B.圓柱 C.三棱錐 D.正方體10.已知復數(shù)z=(m2A.若m=0，則共軛復數(shù)z?=1?3i B.若復數(shù)z=2，則m=11.下列命題正確的是(

)A.(a?b)?c=(b?c)?a

B.已知λ，μ為非零實數(shù)，若λa=μb，則a與b共線

C.若三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復數(shù)(3?4i)z=13.已知4根細鋼絲的長度分別為2，3，4，6，用其中的3根細鋼絲圍成一個三角形，則該三角形最小內(nèi)角的余弦值可以是______．14.已知向量a=(?3,3)，|b|=1，且a，b的夾角為π6四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

求實數(shù)m的值或取值范圍，使得復數(shù)z=m2+m?2+(m2?16.(本小題15分)

已知向量OA=(2,1)，OB=(3,?2)，OC=(6?m17.(本小題15分)

正棱錐S?ABCD的底面邊長為4，高為1.求：

(18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC?DEF中，G，O，H，M分別為DE，DF，AC，BC的中點，N為GC的中點．

(1)證明：19.(本小題17分)

如圖，旅客從某旅游區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1分鐘后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130米/分鐘，山路AC長1260米，經(jīng)測量，cosA=1213，co

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了向量的坐標運算，屬于基礎題．

根據(jù)向量的坐標運算即可求出．

【解答】

解：由圖可知，A(2,2)，B(1,12.【答案】D

【解析】解：∵a是平面α外的一條直線，∴a//α或a與α相交，

若a/?/α，則a與平面α內(nèi)的直線的位置關系是平行或異面；

若a與α相交，則a與α內(nèi)直線的位置關系是相交或異面．

則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關系是平行、相交或異面．

故選：D．

由a3.【答案】B

【解析】解：∵z=i2019?(2?3i)=i4×5044.【答案】A

【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，

∴直角三角形的直角邊長是2，

∴直角三角形的面積是12×5.【答案】B

【解析】解：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，

則l2=r2+(3)2，即l2=r2+3；

其側(cè)面展開圖的心角為2πrl=4π3，即r6.【答案】A

【解析】解：∵在△ABC中，BD=4DC，∴A7.【答案】C

【解析】解：由|AB+AC|=|AB?AC|得(AB+AC)2=(AB?AC)2，所以AB?AC=0，所以AB⊥AC，所以△ABC為直角三角形；

8.【答案】D

【解析】解：∵|a|=|b|=1,a?b=45，

∴|a+m9.【答案】AC【解析】【分析】本題主要考查了用一個平面去截一個幾何體時所截得的平面是什么形狀的應用問題，是基礎題．

根據(jù)圓錐、圓柱、三棱錐和正方體的結(jié)構(gòu)特征，判斷即可．【解答】

解：用一個平面去截一個圓錐時，軸截面的形狀是一個等腰三角形，所以A滿足條件；

用一個平面去截一個圓柱時，截面的形狀不可能是一個三角形，所以B不滿足條件；

用一個平行于底面的平面去截一個三棱錐時，截面的形狀是一個三角形，所以C滿足條件；

用一個平面去截一個正方體時，截面的形狀可以是一個三角形，所以D滿足條件．

故選：AC10.【答案】BD【解析】解：∵z=(m2?1)+(m?3)(m?1)i，

若m=0，則z=?1+3i，∴z?=?1?3i，故A錯誤；

此時4+2z+z2=4+2(?1+311.【答案】BD【解析】解：對于選項A，不妨設a，b，c為非零向量，b=c且a⊥b，則(a?b)c=0，(b?c)a=b2a≠0，即選項A錯誤；

對于選項B，已知λ，μ為非零實數(shù)，若λa=μb，a=μλb，則a與b共線，即選項B正確；

對于選項C，已知a為非零向量，又“a?b=a?c”則a?(b?c)=0，即a⊥(b?c)或b=12.【答案】第二

【解析】解：由(3?4i)z=?3+i，

得z=?3+i3?13.【答案】4348【解析】解：4根細鋼絲的長度分別為2，3，4，6，用其中的3根細鋼絲圍成一個三角形，所有可能的長度組合為：①2，3，4；②3，4，6，

當長度分別為2，3，4時，該三角形最小內(nèi)角θ的余弦值為cosθ=32+42?222×3×4=78；

當長度分別為3，4，614.【答案】(?3【解析】解：∵a=(?3,3)，|b|=1，且a，b的夾角為π6，

∴b在a上的投影向量的坐標為a?b|a|?a|a|=|b15.【答案】解：(1)由題意得m2?1=0，所以m=±1；

(2)由題意得m2+m?2【解析】(1)根據(jù)復數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)復數(shù)的概念列式可求出結(jié)果；

16.【答案】解：(1)向量OA=(2,1)，OB=(3,?2)，OC=(6?m,?3?m)．

故AB=(1,?3)，BC=(3?m,?1?m)，

故AB=λBC，

整理得：?1?m+3(3?m)=0，

故m=2．【解析】(1)直接利用向量的線性運算和向量的共線的條件的應用建立方程，進一步求出m的值；

(2)利用分類討論思想的應用和向量垂直的充要條件的應用求出17.【答案】解：(1)設SO為正四棱錐S?ABCD的高，則SO=1，

作OM⊥BC，則M為BC中點，

連結(jié)OM，OB，則SO⊥OB，SO⊥OM，BC=4，BM=2【解析】(1)直接利用公式計算；

(218.【答案】證明：(1)連接BG，由N為CG的中點，M為BC的中點，

可得MN//BG，

又MN?平面ABED，BG?平面ABED，

則MN/?/平面ABED；

(2)由O為DF的中點，G為DE的中點，可得GO/?/EF，

又GO?平面BCFE，EF?平面BCFE【解析】(1)連接BG，