安徽省合肥市六校聯(lián)盟高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥十中命題教師：胡明審題教師：蔣洪林一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.每小題只有一個正確答案，請把正確答案涂在答題卡上）1.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：集合，而，所以，故選C.【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問題，應(yīng)先把集合化簡再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.5 C.7 D.25【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模．【詳解】由題意有，故．故選：B．3.已知向量，且，則m=A.?8 B.?6C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理和公理的運(yùn)用，屬于中檔題.5.若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為A.x=（k∈Z）B.x=（k∈Z）C.x=（k∈Z）D.x=（k∈Z）【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，由，得，即平移后的函數(shù)的對稱軸方程為，故選B．考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的對稱軸方程的求解，通過將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的解析式，即可求解三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力以及推理與運(yùn)算能力．6.函數(shù)y=xcosx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在處的函數(shù)值排除錯誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】因?yàn)?，則，即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，據(jù)此可知選項(xiàng)CD錯誤；且時，，據(jù)此可知選項(xiàng)B錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．7.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式變?yōu)椋鶕?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.已知，則（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由列舉法可判斷A項(xiàng)錯誤；由不等式性質(zhì)可判斷BC正確；由作差法可判斷D項(xiàng)錯誤.【詳解】對于A，若，令，，則，，，故A錯誤；對于B，顯然，則，則，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，所以，同理可得，即，故C正確；對于D，，因?yàn)?，所以，，，故，即，故D錯誤．故選：BC10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為 B.C.在上單調(diào)遞增 D.為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的圖象求A的值；然后根據(jù)求的值；根據(jù)圖象過點(diǎn)和求出，從而可求出函數(shù)，然后再逐個判斷選項(xiàng)即可.【詳解】由圖知，由，得，又因，所以，由得，又，所以，所以，所以.故，選項(xiàng)A正確；又，所以為函數(shù)的一條對稱軸，故選項(xiàng)B正確；由，得，由，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；為奇函數(shù)，故D正確.故選：ABD.11.已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D.若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.12.已知是等差教列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若，，成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由，，成等比數(shù)列，求得，再求得，從而判斷與0的關(guān)系.【詳解】由，，成等比數(shù)列知，，化簡得，（），則，故A錯誤，B正確；，故，故C錯誤，D正確；故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_____.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)條件求，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.【詳解】由已知得，解得或，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以雙曲線的漸近線方程為.【點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程.14.已知，函數(shù)若，則___________.【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.15若，且，則________．【答案】【解析】【分析】由已知，可以和差化積可得，從而，可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，由已知可得，則，所以，所以.故答案為：.16.已知，M為平面ABC外一點(diǎn)，，點(diǎn)M到兩邊的距離均為，那么M到平面ABC的距離為__________．【答案】1【解析】【分析】通過空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，找到點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在的平分線上，利用勾股定理即可得解.【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，平面，平面，，又，，，所以，同理所以，則為平分線，，，又，．故答案為：1四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且滿足．（1）求角B；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出的值即得；（2）利用三角形面積公式和余弦定理建立邊的關(guān)系，整體求得即得.【小問1詳解】因，由正弦定理得，，化簡得：，由余弦定理得，，因，故.【小問2詳解】由的面積為可得：，即：，由余弦定理，，即：，從而，，則.故的周長為：18.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由給定條件求出的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求得切線斜率即可得解；（2）分離參數(shù)得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得，可得a的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；【小問2詳解】，由，得，設(shè)，則，令，得，則時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故，故,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.19.如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形，下底面圓的一條弦EF交CD于點(diǎn)G，其中．（1）證明：平面平面ABCD；（2）判斷母線BC上是否存在點(diǎn)P，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，若存在，求CP的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見詳解；（2）存在，.【解析】【分析】（1）將面面垂直轉(zhuǎn)化為平面，根據(jù)圓和圓柱的性質(zhì)可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量可解.【小問1詳解】由題意可知：在下底面圓中，為直徑．因?yàn)?，所以為弦的中點(diǎn)，且．因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】分別以下底面垂直于的直線、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．因?yàn)?，底面圓半徑為3，所以．則，設(shè)．所以，設(shè)平面的一個法向量為．由得：即：令則．設(shè)直線與平面所成的角為，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得直線PE與平面AEF所成的角的正弦值為，CP的長為4．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)圖象向右平移個單位長度得到的圖象，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由（1）可得，即可求出，再根據(jù)計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，所以的最小正周?【小問2詳解】將函數(shù)圖象向右平移個單位長度得到，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?21.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用整理可得（舍）或，即可根據(jù)數(shù)列類型求出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出.【小問1詳解】因?yàn)?，，?dāng)時，，當(dāng)時，，整理可得，則(舍)，或，所以時，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所?22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：對于任意正整數(shù)n，都有．【答案】22.答案見解析23證明見詳解.【解析】【分析】(1)由，又的定義域?yàn)?，討論與的大小關(guān)系，即可判定函