《平面向量的加法運(yùn)算》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《6.2.1平面向量的加法運(yùn)算》教案課題6.2.1平面向量的加法運(yùn)算單元第六單元學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一教材分析本節(jié)內(nèi)容是平面向量的加法，由物理中的位移和力的合成導(dǎo)入，學(xué)習(xí)平面向量的加法法則以及加法的運(yùn)算律這些知識(shí)點(diǎn)，為平面向量的減法做鋪墊。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：利用位移和力的合成將平面向量具體化；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量加法法則，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問題。4.直觀想象：通過有向線段直觀判斷平面向量的加法運(yùn)算；5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確計(jì)算和判斷向量的加法運(yùn)算；6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。重點(diǎn)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算律。難點(diǎn)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算律。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課情境導(dǎo)入：情景一：如圖，某人從A點(diǎn)走到B.然后從B點(diǎn)走到C.這個(gè)人所走過的位移是多少?向量的加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法情景二：如圖，在光滑的平面上，一個(gè)物體同時(shí)受到兩個(gè)外力與的作用，你能作出這個(gè)物體所受的合力F嗎？學(xué)生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。設(shè)置問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并引出本節(jié)新課。講授新課知識(shí)探究（一）：向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則

（“作平移,首尾連,由起點(diǎn)指終點(diǎn)”）位移的合成可以看作向量加法的三角形法則的物理模型。

向量加法的平行四邊形法則

（“作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線”）力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型。

知識(shí)探究（二）：三角形法則與平行四邊形法則的異同思考1:向量加法的平行四邊形法則和三角形法則一致嗎？為什么？不一致。三角形法則通過平移首尾相接，平行四邊形法則通過平移起點(diǎn)相同。

知識(shí)探究（二）：非零共線向量的和的計(jì)算

思考2：對(duì)于兩個(gè)非零共線向量，能否求出他們的和向量？它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？

兩個(gè)非零共線向量的和向量只需首尾相接

兩個(gè)非零共線向量的加法和數(shù)的加法運(yùn)算法則是一致的。知識(shí)探究（二）：零向量與任一非零向量的和向量計(jì)算

思考3：零向量與任一非零向量，能否求出他們的和向量？因?yàn)榱阆蛄康哪?，方向任意，根據(jù)合位移的計(jì)算方法可得，零向量與任一非零向量的和等于該非零向量。知識(shí)探究（三）：n個(gè)向量加法的三角形法則

思考4：n個(gè)向量的和向量怎樣計(jì)算？

n個(gè)向量連加是將向量加法的三角形法則推廣為n個(gè)向量相加的多邊形法則:由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和.(注意:首尾相接)例題講解(一)

例1：如圖，已知向量a、b，求作向量a+b.

作法1：三角形法則

作法2：平行四邊形法則

知識(shí)探究（四）：向量和與向量的模的關(guān)系思考：當(dāng)向量不共線時(shí)，和向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度和之間的大小關(guān)系如何？

知識(shí)探究（五）：平面向量加法的運(yùn)算律

思考1：數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？

向量的加法交換律

向量的加法結(jié)合律例題講解：平面向量的加法運(yùn)算

例2長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過進(jìn)行輪渡運(yùn)輸。如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A地出發(fā)，垂直于對(duì)岸航行，航行速度的大小為15千米每小時(shí)，同時(shí)江水的速度為向東6千米每小時(shí)。

（1）用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；

（2）求船實(shí)際航行的速度的大?。ńY(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到1度）。

提升訓(xùn)練

1、求下列向量的和

3、如圖，O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，求出下列向量的和：（1）（2）（3）（4）（5）學(xué)生根據(jù)兩個(gè)情境，探究平面向量的加法法則。學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的運(yùn)算律。學(xué)生例題，鞏固向量的加法法則以及運(yùn)算律，并能夠靈活運(yùn)用.學(xué)生和教師共同探究完成3個(gè)練習(xí)題。利用兩個(gè)情境探究得出平面向量的加法法則,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.通過思考，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神和能力.利用數(shù)形結(jié)合的思想，化抽象為具體，提高學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力。通過這3個(gè)題，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神。課堂小結(jié)向量的三角形法則向量的平行四邊形法則向量加法的運(yùn)算律學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，教師補(bǔ)充。讓學(xué)生掌握本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用。板書§6.2.1平面向量的加法運(yùn)算一、情境導(dǎo)入2.平行四邊形法則三、課堂小結(jié)二、探索新知3.向量加法運(yùn)算律四、作業(yè)布置1.三角形法則例1、2、《6.2.1平面向量的加法運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義。（重點(diǎn)）2.掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)用它們解決實(shí)際問題。（重點(diǎn)）3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算。（難點(diǎn)）1.數(shù)學(xué)運(yùn)算;2.直觀想象【自主學(xué)習(xí)】向量加法的定義及其運(yùn)算法則1.定義：求的運(yùn)算，叫做向量的加法．兩個(gè)向量的和仍然是向量。2.三角形法則已知非零向量a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則，運(yùn)用三角形法則的關(guān)鍵是首尾相連，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，這里的B點(diǎn)具有任意性。3.平行四邊形法則以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作?OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和．我們把這種作向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.運(yùn)用平行四邊形法則的關(guān)鍵是共起點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，不能用平行四邊形法則。4.對(duì)于零向量與任意向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.二．|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系(1)對(duì)于任意向量a，b，都有≤|a＋b|≤；(2)當(dāng)a，b共線，且同向時(shí)，有|a＋b|＝____；(3)當(dāng)a，b共線，且反向時(shí)，有|a＋b|＝或__．點(diǎn)撥：根據(jù)向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，可以得出上述結(jié)論．三．向量加法的運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a；②結(jié)合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【小試牛刀】思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量．()(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加．()(3)對(duì)于任意兩個(gè)向量，都可利用平行四邊形法則求出它們的和向量．()(4)若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)．()(5)對(duì)于任意的點(diǎn)A，B，C，D，都有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()(6)如果a，b是共線的非零向量，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同．()【經(jīng)典例題】題型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則點(diǎn)撥：(1)當(dāng)兩個(gè)不共線向量求和時(shí)，三角形法則和平行四邊形法則都可以用．（2）利用向量的三角形法則求a＋b，務(wù)必使它們的“首尾順次連接”；利用平行四邊形法則求a＋b，務(wù)必使它們的起點(diǎn)重合.（3）多個(gè)向量求和時(shí)，可先求兩個(gè)向量的和，再和其他向量求和．例1如圖(1),(2),(3)，已知向量a，b，分別求作向量a＋b.【跟蹤訓(xùn)練】1如圖所示，已知向量a、b、c，試作出向量a＋b＋c.分析：本題是求作三個(gè)向量的和向量的問題，首先應(yīng)作出兩個(gè)向量的和，由于這兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再作出這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和，方法是多次使用三角形法則或平行四邊形法則．題型二向量的加法運(yùn)算律的應(yīng)用點(diǎn)撥：運(yùn)用向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，加快解題速度.例2A,B,C,D,E,F為平面上的任意點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).【跟蹤訓(xùn)練】2如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)).題型三向量加法的應(yīng)用點(diǎn)撥：向量加法的實(shí)際應(yīng)用中，要注意如下：（1）準(zhǔn)確畫出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量；（2）將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算，進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解;（3）將向量問題還原為實(shí)際問題.例3長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸．如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東5km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度方向間的夾角表示)．【跟蹤訓(xùn)練】3輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40km到達(dá)B處，再由B處沿正北方向行駛40km到達(dá)C處，求此時(shí)輪船與A港的相對(duì)位置．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1．化簡(jiǎn)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的結(jié)果等于()A.eq\o(QP,\s\up6(→)) B.eq\o(OQ,\s\up6(→))C.eq\o(SP,\s\up6(→)) D.eq\o(SQ,\s\up6(→))2.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EC,\s\up6(→))＝()A．a(chǎn)＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋bC．a(chǎn)－eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a－b3．在?ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定4.若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，則()A．a(chǎn)，b同向共線B．a(chǎn)，b反向共線C．a(chǎn)，b同向共線且|b|>|a|D．a(chǎn)，b反向共線且|b|>|a|5．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為______．6.某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時(shí)，他在水流速度為4千米/小時(shí)的河中游泳．他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？【課堂小結(jié)】1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法．當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意的組合去進(jìn)行．3．向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，即把每個(gè)向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是這些向量的和向量．【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】?jī)蓚€(gè)向量和二．||a|－|b|||a|＋|b||a|＋|b||b|－|a||a|－|b|【小試牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×【經(jīng)典例題】例1解：(1)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如圖(1)．(2)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如圖(2)．(3)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如圖(3)．【跟蹤訓(xùn)練】1作法1：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．作法2：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以O(shè)A、OB為鄰邊作□OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以O(shè)D、OC為鄰邊作□ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即為所求．例2[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.【跟蹤訓(xùn)練】2解：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝0.例3[解](1)如圖所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB為鄰邊作矩形ABCD，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示船實(shí)際航行速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up12(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)))＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因?yàn)閠an∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up12(→))|,\o(\s\up5(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船實(shí)際航行的速度大小為10km/h，方向與江水速度方向間的夾角為60°.【跟蹤訓(xùn)練】3解：如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別是輪船的兩次位移，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示最終位移，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2))＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時(shí)輪船位于A港東偏北60°，且距離A港40eq\r(3)km處．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.B解析：選B.eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).2.B解析：由題意得eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.故選B.3.B解析：∵|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴?ABCD是矩形．4.D解析:由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故選D．5.13解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13.6.解：如圖，設(shè)此人的實(shí)際速度為eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，游速為eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3))，實(shí)際前進(jìn)的速度大小為4eq\r(2)千米/小時(shí)．《6.2.1平面向量的加法運(yùn)算》同步練習(xí)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形2．下列等式不成立的是()A．0＋a＝aB．a(chǎn)＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))3．已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，則a＋b表示()A．向東南航行eq\r(2)kmB．向東南航行2kmC．向東北航行eq\r(2)kmD．向東北航行2km4．如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))5．a(chǎn)，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量且方向相反C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b無論什么關(guān)系均可6.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BD,\s\up6(→))B.eq\o(DB,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(CB,\s\up6(→))7．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))8．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))9．設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))二、填空題10．在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.11．設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.12．設(shè)|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值與最小值分別為________．三、解答題13.如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP＝QC.求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).14．一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實(shí)際速度．B組能力提升一、選擇題1.如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.232.如圖所示,點(diǎn)O是正六邊形的中心,則()A. B.0 C. D.3.若在中,,且,則的形狀是(

)A.等邊三角形 B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形二、填空題4.化簡(jiǎn):(AB+MB)+(BO+BC)+5.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填一個(gè)向量):(1)AB+DF=(2)AD+FC=(3)AD+BC+FC=6．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝___________________.7.已知向量的夾角為,,則___________.三、解答題8.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.設(shè)O是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．證明：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).10.在四川5·12大地震后，一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置．《6.2.1平面向量的加法運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四邊形答案D解析：由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形．2．下列等式不成立的是()A．0＋a＝aB．a(chǎn)＋b＝b＋aC.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))答案C解析：對(duì)于C，∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.3．已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，則a＋b表示()A．向東南航行eq\r(2)kmB．向東南航行2kmC．向東北航行eq\r(2)kmD．向東北航行2km答案A4．如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))答案C5．a(chǎn)，b為非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則()A．a(chǎn)∥b，且a與b方向相同B．a(chǎn)，b是共線向量且方向相反C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b無論什么關(guān)系均可答案A6.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))等于()A.eq\o(BD,\s\up6(→))B.eq\o(DB,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\o(CB,\s\up6(→))答案C解析eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(BC,\s\up6(→)).7．已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))D．2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))答案A解析∵eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OD,\s\up6(→))＝0.∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)).8．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的是()A.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0C.eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))答案D解析eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))≠eq\o(BD,\s\up6(→)).故選D.9．設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A.eq\o(OM,\s\up6(→))B．2eq\o(OM,\s\up6(→))C．3eq\o(OM,\s\up6(→))D．4eq\o(OM,\s\up6(→))答案D解析因?yàn)辄c(diǎn)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)M是AC和BD的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，故eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝4eq\o(OM,\s\up6(→)).二、填空題10．在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.答案0解析注意eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.11．設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點(diǎn)，如圖所示，化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝______；(3)eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\o(DA,\s\up6(→))(2)0(3)eq\o(DB,\s\up6(→))(4)eq\o(DC,\s\up6(→))12．設(shè)|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值與最小值分別為________．答案20,4解析當(dāng)a與b共線同向時(shí)，|a＋b|max＝20；當(dāng)a與b共線反向時(shí)，|a＋b|min＝4.三、解答題13.如圖所示，P，Q是△ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP＝QC.求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).證明∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→)).又∵BP＝QC且eq\o(BP,\s\up6(→))與eq\o(CQ,\s\up6(→))方向相反，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)).14．一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸方向行駛，航船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實(shí)際速度．解如圖所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船垂直于對(duì)岸的方向行駛的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船實(shí)際航行的速度，∠AOC＝30°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5.∵四邊形OACB為矩形，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,tan30°)＝5eq\r(3)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))|,sin30°)＝10，∴水流速度大小為5eq\r(3)km/h，船實(shí)際速度為10km/h.B組能力提升一、選擇題1.如圖所示,在正六邊形ABCDEF中,若AB=1,則|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23解析由題,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+答案B2.如圖所示,點(diǎn)O是正六邊形的中心,則()A. B.0 C. D.答案：A解析：∵,∴,故選A.3.若在中,,且,則的形狀是(

)A.等邊三角形 B.銳角三角形C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案：D解析：如圖,∵,,∴為等腰直角三角形.二、填空題4.化簡(jiǎn):(AB+MB)+(BO+BC)+答案AC解析：(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM5.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),F為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填一個(gè)向量):(1)AB+DF=;(2)AD+FC=(3)AD+BC+FC=答案AC解析：如圖,因?yàn)樗倪呅蜠FCB為平行四邊形,由向量加法的運(yùn)算法則得:(1)AB+(2)AD+(3)AD+6．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝___________________.答案0解析如圖所示，連接AG并延長(zhǎng)交BC于E點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE到D點(diǎn)，使GE＝ED，則eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝eq\o(GD,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.7.已知向量的夾角為,,則___________.答案：解析：,所以.三、解答題8.已知|OA|=|a|=3,|OB|=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.解如圖所示,因?yàn)閨OA|=|OB|=3,∠AOB=60°,所以四邊形OACB為菱形,連接OC,AB,則OC⊥AB,設(shè)垂足為D.因?yàn)椤螦OB=60°,所以AB=|OA|=3.所以在Rt△AOD中,OD=33所以|a+b|=|OC|=332×2=39.設(shè)O是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)．證明：eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).證明如圖所示，因?yàn)閑q\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→)).因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，所以eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→)).10.在四川5·12大地震后，一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地，再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置．解如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別是直升飛機(jī)兩次位移，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示兩次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時(shí)直升飛機(jī)位于A地北偏東30°，且距離A地40eq\r(