《第六章 平面向量及其應(yīng)用》知識(shí)梳理、考點(diǎn)專練和單元檢測(cè)試卷

《第六章平面向量及其應(yīng)用》知識(shí)梳理【體系構(gòu)建】一、向量的有關(guān)概念名稱定義向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的長度(或稱模)零向量長度為零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量記作0單位向量長度等于1個(gè)單位的向量平行向量表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合，則這兩個(gè)向量叫作平行向量，平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量相反向量長度相等且方向相反的向量二、平面向量的線性運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律:a+b=b+a;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差——數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作λa(1)模:|λa|=|λ|·|a|;(2)方向:當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0設(shè)λ,μ是實(shí)數(shù).(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb三、共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b=λa.四、平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.五、平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x12+y12,a·b=|a|·|b|·cos<a,b>=x1x2六、余弦定理及其推論1.余弦定理三角形中任何一邊的平方,等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.2.推論cosA=b2+c2-a22bc七、正弦定理及其常見變形1.正弦定理在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即asinA=bsinB=csinC2.常見變形a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=a2R,sinB=b2R,sina∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC,a+《第六章平面向量及其應(yīng)用》考點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)一向量的基本概念解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(diǎn)(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．(5)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量．一．選擇題1．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?、蹫閷?shí)數(shù)），則必為零④，為實(shí)數(shù)，若，則與共線其中正確的命題個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對(duì)于①，兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，不一定是共線向量，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比較大小，但它們的模能比較大小，②正確；對(duì)于③，時(shí)為實(shí)數(shù)），或，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若時(shí)，，此時(shí)與不一定共線，④錯(cuò)誤；綜上，其中正確的命題為②，共1個(gè)．故選A．2．下列說法中正確的是A．平行向量不一定是共線向量 B．單位向量都相等 C．若，滿足且與同向，則 D．對(duì)于任意向量，，必有【答案】D【解析】平行向量是共線向量，故不正確；單位向量的模相等，方向不一定相同，故不正確；若，滿足且與同向，則顯然不正確，向量不能比較大小，故錯(cuò)誤；向量的加法的平行四邊形法則，可知對(duì)于任意向量，，必有，故正確；故選D．3．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若，則；③若，則四邊形ABCD是平行四邊形；④若，，則；⑤若，，則；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】對(duì)于①，兩個(gè)相等向量時(shí)，它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；對(duì)于②，若，則、不一定相同，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若，、不一定相等，四邊形不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，，則，④正確；對(duì)于⑤，若，，當(dāng)時(shí)，不一定成立，⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑥錯(cuò)誤；綜上，假命題是②③⑤⑥，共4個(gè)．故選C．4．（共線向量的概念）下列命題中，正確的是A．若，則與方向相同或相反 B．若，，則 C．若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等 D．若，，則【答案】D【解析】由于零向量的方向是任意的，取，則對(duì)于任意向量，都有，知錯(cuò)；取，則對(duì)于任意向量，都有，，但得不到，知錯(cuò)；兩個(gè)單位向量互相平行，方向可能相反，知錯(cuò)；由兩向量相等的概念知正確．故選D．5．已知向量不共線，，，若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】向量不共線，，，，，，解得，．故選D．6．已知向量，不共線，且，，若與方向相反，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．1或 D．或【答案】A【解析】由，，且與方向相反，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，，與反向，當(dāng)時(shí)，，，與同向，所以實(shí)數(shù)的值為．故選A．二．填空題7．給出下列六個(gè)命題：①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若，則；③若，則，，，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；④在平行四邊形中，一定有；⑤若，，則；⑥若向，，則．其中錯(cuò)誤的命題有．（填序號(hào)）【答案】①②③⑥【解析】在①中，兩個(gè)零向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)不一定相同，故①錯(cuò)誤；在②中，若，則與大小相等，方向不一定相同，故②錯(cuò)誤；在③中，若，則，，，四點(diǎn)不一定構(gòu)成平行四邊形，故③錯(cuò)誤；在④中，在平行四邊形中，由向量相等的定義得一定有，故④正確；在⑤中，若，，則向量相等的定義得，故⑤正確；在⑥中，若向，，當(dāng)時(shí)，與不一定平行，故⑥不正確．故答案為：①②③⑥．8．下列說法中：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)一定相同；②若，則；③若非零向量共線，則；④向量，則向量共線；⑤由于零向量的方向不確定，故其不能與任何向量平行；其中正確的序號(hào)為．【答案】①④【解析】對(duì)于①，根據(jù)相等向量的定義知，兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)一定相同，正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，與不一定相等，命題②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若非零向量共線，則不一定成立，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于④，向量時(shí)，向量共線，命題正確；對(duì)于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量與任何向量平行，命題⑤錯(cuò)誤；綜上，正確的命題序號(hào)是①④．故答案為：①④．三．解答題9．已知向量，，．（Ⅰ）若，求，的值；（Ⅱ）若向量滿足，，求的坐標(biāo)．【答案】【解析】（Ⅰ）向量，，，由，所以，，，，，所以，解得；（Ⅱ）設(shè)，則，，由，且，所以，解得或，所以或．10．設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線．（Ⅰ）若，，且與平行，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，，，求證：，，三點(diǎn)共線．【解答】（Ⅰ）解：由，，所以，，因?yàn)榕c平行，所以有，解得．（Ⅱ）證明：因?yàn)?，，，所以，即，所以與共線，因此，，三點(diǎn)共線．考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算平面向量線性運(yùn)算問題的兩種類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合平行四邊形法則．(2)求已知向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．一．選擇題1．已知等邊三角形ABC的邊長為6，點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，故，故，故，故選C．2．在平行四邊形ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】在平行四邊形中，設(shè)對(duì)角線與相交于點(diǎn)，則．故選B．3．已知點(diǎn)是正方形ABCD的中心，點(diǎn)為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，則等于A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，，，，，．故選A．4．已知向量，，若，則A．1 B．0 C． D．2【答案】A【解析】，，得，．故選A．5．在平行四邊形ABCD中，，，若是DC的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，平行四邊形中，，，則，又是的中點(diǎn)，則．故選C．6．在等腰梯形ABCD中，，為BC的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，等腰梯形中，，，；又為的中點(diǎn)，，又，；；．故選B．7．在中，，．若點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，，；如圖；，又，；；故選C．8．如圖，在中，點(diǎn)是BC邊上靠近的三等分點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】C【解析】．故選C．二．填空題9．在直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，則．【答案】0【解析】，，，，，，故答案為：0．10．在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，，則．【答案】【解析】中，是邊上一點(diǎn)，，，如圖所示，①，，②；①②得，，；．故答案為：．三．解答題11．如圖，已知中，為的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）用，分別表示向量，；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）由題意，為的中點(diǎn)，且，，，；（2），，，，共線，，．12．如圖所示，在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）試用向量，表示；（2）過點(diǎn)作直線，分別交線段，于點(diǎn)，．記，，求證：為定值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，由，，三點(diǎn)共線，可設(shè)，因?yàn)?，不共線，所以，解得，，故．（2）因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，設(shè)，由（1）知，，即，，所以，故．考點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的運(yùn)算向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.一．選擇題1．已知，，且與的夾角為，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，且與的夾角為，，，故，故選A．2．已知向量滿足，，，，則A．3 B．7 C． D．【答案】D【解析】由，，，，所以．故．故選D．3．已知向量是單位向量，若，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，向量，，則，若，則，變形可得，又由，則，故選C．4．若非零向量，滿足，，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，，則，若，則，即，又由，則，故選C．5．已知向量，，，則與的夾角為A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?，即，向量，則，則有，解得，又由，則，故與的夾角為；故選D．6．向量，，，若，則實(shí)數(shù)等于A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】根據(jù)題意，，，則，若，則，解可得：，故選B．7．已知向量，滿足，，且，則A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由得,即,解得．故選C．8．已知，，且，則A．6 B．8 C．3 D．【答案】A【解析】．故選A．9．已知向量，，且，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，，解得，，，．故選C．二．填空題10．設(shè)非零向量滿足，且，則向量與的夾角為．【答案】【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，向量與的夾角為，若，則，解可得，又由，則，故答案為：．11．已知單位向量，的夾角為，則．【答案】1【解析】因?yàn)?，所以．故答案?．三．解答題12．已知，，．（1）求與的夾角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，．所以，即，所以，，，，，，可得，（2）．13．在平面直角坐標(biāo)系中，，．（1）若，求的值；（2）若向量，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，若，即，則，故，（2）若向量，則，解可得，故．考點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用平面向量數(shù)量積求解問題的三個(gè)策略(1)求兩向量的夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，要注意θ∈[0，π]．(2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).②|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).③若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).一．選擇題1．在中，，點(diǎn)在AB上，，，則A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】因?yàn)橹?，，點(diǎn)在上，，，故，所以，故選C．2．若的外心為，且，，，則等于A．5 B．8 C．10 D．13【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，為的外心，故，，同理可得：，，，，，，則，故選C．3．已知，，均為單位向量，且滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】，，均為單位向量，且滿足，故，，圍成，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，，，因?yàn)?，，故，，三點(diǎn)共線，且，，故為等腰三角形，故有，即，且，，，．故選B．4．在中，，，點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，則的值為A． B．6 C． D．8【答案】A【解析】在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．故選A．5．點(diǎn)是邊長為2的正的邊BC上一點(diǎn)，且，則A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】點(diǎn)是邊長為2的正的邊上一點(diǎn)，且，，，故選C．6．在中，，，，點(diǎn)，分別為CA，CB的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，，，，可知，所以三角形是直角三角形，如圖：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以，，．故選B．7．已知為的外心，，，則A．10 B．5 C． D．【答案】C【解析】過點(diǎn)分別作于，于，則、分別是、的中點(diǎn)，可得中，，同理可得，，故選C．8．四邊形ABCD中，，，，則A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】由題意知，，所以故選B．二．填空題9．已知矩形中，，，設(shè)與交于點(diǎn)，則．【答案】【解析】，故答案為：．10．在中，為中線上的中點(diǎn)，若，則等于．【答案】【解析】由題意畫出草圖：由于點(diǎn)為中邊的中點(diǎn)，，．為中線上的中點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，．故答案為：．三．解答題11．（1）已知平面向量、，其中．若，且，求向量的坐標(biāo)表示；（2）已知平面向量、滿足，，與的夾角為，且，求的值．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1），，設(shè)，且，，解得，或；（2），，，又，，解得．12．在中，若，，．（1）用，表示，；（2）若，，，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）如圖，，，；（2），，，．考點(diǎn)五平面向量基本定理及應(yīng)用應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．一．選擇題1．正方形ABCD中，點(diǎn)，分別是DC，BC的中點(diǎn)，那么A． B． C． D．【答案】C【解析】，分別是，的中點(diǎn)，，故選C．2．在中，為AB邊的中點(diǎn)，為AC邊上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)．若，則的值為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，三點(diǎn)在同一條直線上，所以，所以，所以．故選C．3．在所在平面中，點(diǎn)滿足，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，即，則．故選A．4．中，點(diǎn)為AC上的點(diǎn)，且，若，則的值是A．1 B． C． D．【答案】C【解析】，所以，所以，若，則，，．故選C．5．在五邊形ABCDE中，，，，分別為AE，BD的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，分別為，的中點(diǎn)，所以．故選C．6．已知等邊內(nèi)接于，為線段OA的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，則．故選D．7．在中，點(diǎn)在線段BC上，且，若，則A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，故，若，則，，所以．故選D．8．如圖，在中，為線段AC上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在BN上且，則實(shí)數(shù)的值為A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上，即，，三點(diǎn)共線，所以，解得．故選D．二．填空題9．平行四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則的值為．【答案】【解析】平行四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，所以，，則根據(jù)平面向量基本定理可得，，解可得，，，則，故答案為：．10．已知中，、分別為、的中點(diǎn)，，，則的最大值為．【答案】【解析】由題意得，，所以，，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最大值．故答案為：．三．解答題11．如圖，在平行四邊形中，，，，為的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，記，．（1）用，表示，；（2）求線段的長．【答案】（1）．；（2）.【解析】（1）．．（2），即，即．12．如圖，四邊形中，已知．（Ⅰ）用，表示；（Ⅱ）若，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）．，則．（Ⅱ）．，，，，，若，，三點(diǎn)共線時(shí)，則，得，得，得．考點(diǎn)六利用正弦、余弦定理解三角形正、余弦定理的應(yīng)用原則(1)正弦定理是一個(gè)連比等式，在運(yùn)用此定理時(shí)，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用．(2)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用．一．選擇題1．已知在角、、的對(duì)邊分別是、、，且，，．則的最大角的正弦值是A． B． C． D．【答案】D【解析】最大角是，根據(jù)余弦定理：，且，．故選D．2．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】，，且，，，且，．故選A．3．的三內(nèi)角，，對(duì)的邊分別為，，．若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以：，可得，由余弦定理可得，則．故選B．4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．若，，，則A．6 B．3 C．6或3 D．6或4【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以由余弦定理，可得，整理可得，解得?．故選C．5．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，，則A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】，，，由余弦定理可得：．故選B．6．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，點(diǎn)在邊AC上，已知，，，，則A．8 B．10 C． D．【答案】A【解析】如圖，在中，，，，由余弦定理可得，，得，因?yàn)?，由正弦定理得，得，得，由，可得，得，所以，，所以三角形為等邊三角形，即．故選A．7．在中，，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則的大小為A． B． C． D．【答案】B【解析】,,即，得，即，得，則，由,得內(nèi)角，故選B．8．中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，滿足，，，則A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，，由正弦定理可知，所以．故選C．二．填空題9．在中，內(nèi)角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若，則的大小為．【答案】【解析】在中，由正弦定理可得，所以，又，所以．故答案為：．10．在中，，，，則．【答案】【解析】因?yàn)椋?，則．故答案為：．三．解答題11．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）求的周長．【答案】（1）；（2）9.【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得，或（舍，由為三角形?nèi)角得，（2）因?yàn)?，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，所以，故，所以的周長．12．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2），.【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角，所以．（Ⅱ），因?yàn)?，可得，所以，，即，．考點(diǎn)七正弦定理和余弦定理的應(yīng)用1.求距離問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)選定或確定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．2.求解高度問題應(yīng)注意(1)在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角．(2)準(zhǔn)確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖．(3)運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運(yùn)用．3.解決測(cè)量角度問題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)明確方位角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．一．選擇題1．渭河某處南北兩岸平行，如圖所示．某艘游船從南岸碼頭出發(fā)北航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為，水流速度的大小為．設(shè)速度與速度的夾角為，北岸的點(diǎn)A'在碼頭的正北方向．那么該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)A．在東側(cè) B．在西側(cè) C．恰好與重合 D．無法確定【答案】A【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，時(shí)，水流速度為，輪船的速度，，，，這說明船有軸正方向的速度，即向東的速度，故該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)在的東方，故選A．2．某中學(xué)為推進(jìn)智能校園建設(shè)，擬在新校區(qū)每個(gè)教室安裝“超短距”投影儀，如圖：投影儀安裝在距離墻面20cm處，其發(fā)射的光線可以近似的看作由一個(gè)點(diǎn)發(fā)出，光線投影在墻面上的屏幕AB上，已知AB高度為120cm，光線上界SA的俯角為，則投影儀的垂直視角的余弦值A(chǔ)． B． C． D．【答案】D【解析】由圖及題意知：，，，所以，，，在中有余弦定理可得，故選D．3．明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測(cè)量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，形成了一套先進(jìn)的航海技術(shù)--“過洋牽星術(shù)”．簡單地說，就是通過觀測(cè)不同季節(jié)、時(shí)辰的日月星辰在天空運(yùn)行的位置和測(cè)量星辰在海面以上的高度來判斷方位．其采用的主要工具是牽星板，其由12塊正方形木板組成，最小的一塊邊長約2厘米（稱一指），木板的長度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的邊長約24厘米（稱十二指）．觀測(cè)時(shí)，將木板立起，一手拿著木板，手臂伸直，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，讓板的下緣與海平面重合，上邊緣對(duì)著所觀測(cè)的星辰依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測(cè)星辰落在木板上邊緣時(shí)所用的是幾指板，觀測(cè)的星辰離海平面的高度就是幾指，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測(cè)中，所用的牽星板為六指板，則約為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知六指為（厘米），所以，所以．故選B．4．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測(cè)得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得俯角為．已知小車的速度是，且，則此山的高A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意可得：中，，．在中，，．又，在中，由余弦定理可得：，解得．故選A．5．如圖，將地球近似看作球體，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時(shí)太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌担肽耆∝?fù)值），為該地的緯度值．已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即，．北京天安門廣場(chǎng)的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場(chǎng)的緯度為北緯，若某天的正午時(shí)刻，測(cè)得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為A．北緯 B．南緯 C．北緯 D．南緯【答案】B【解析】由題意知，天安門廣場(chǎng)的太陽高度角為，由漢白玉華表的高和影長相等可知，所以，所以該天的太陽直射緯度為南緯．故選B．6．測(cè)量河對(duì)岸某一高層建筑物AB的高度時(shí)，可以選擇與建筑物的最低點(diǎn)在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，如圖，測(cè)得，，，并在處測(cè)得建筑物頂端的仰角為，則建筑物AB的高度為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，在中，，，，又，由正弦定理得，；在中，，，；則建筑物高為．故選B．7．如圖，為測(cè)量出山高M(jìn)N，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及，從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高M(jìn)N為．A．100 B．150 C．200 D．250【答案】B【解析】由題意：點(diǎn)的仰角，山高，勾股定理，可得．在中，，，那么．正弦定理：即可得：．在中，，可得：．故選B．8．如圖，某人在一條水平公路旁的山頂處測(cè)得小車在處的俯角為，該小車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得俯角為，已知此山的高，小車的速度是，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，平面，所以，，所以，為直角三角形，且，，，可得，，可得，所以．故選A．二．填空題9．如圖所示，濱江公園內(nèi)有一塊三角形形狀的草坪，經(jīng)測(cè)量得，，，在保護(hù)草坪的同時(shí)，為了方便游人行走，現(xiàn)打算鋪設(shè)一條小路（其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上），若恰好將該草坪的面積平分，則，兩點(diǎn)間的最小距離為．【答案】【解析】由，，，由余弦定理可得，由圖知，由題意可得，所以，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值為，故答案為：．10．如圖所示，在山腳測(cè)得山項(xiàng)的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了100米到山腰，在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫椋瑒t山高．【答案】【解析】中，，，，，山高．故答案為：．三．解答題11．某公園有一矩形空地，，，市政部門欲在該空地上建造一花圃，其形狀是以為直角頂點(diǎn)的，其中是的中點(diǎn)，，分別落在線段和線段上（如圖）．（1）記為，的周長為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)才能使的周長最?。俊敬鸢浮浚?）;（2），．【解析】（1）在上，在上，當(dāng)與重合時(shí)，取最小值；當(dāng)與重合時(shí)，取最大值，．在中有，在中有．在中有，的周長．（2）由（1）可設(shè)，則，其中．，，，，．顯然在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的周長最小，此時(shí)，．12．如圖，已知扇形是一個(gè)觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設(shè)計(jì)方案：（1）如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個(gè)頂點(diǎn)在弧上，另一頂點(diǎn)在半徑上，且，求周長的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個(gè)頂點(diǎn)在弧上，另兩個(gè)頂點(diǎn)、在半徑、上，且，，求花圃面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，又，設(shè)，，在中，由正弦定理可知，，，，的周長，．化簡得．時(shí)，的周長有最大值為米．答：周長的最大值為米；（2）圖2中與圖1中面積相等，而在中，，，，．由余弦定理知，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”．平方米．答：花圃面積的最大值為平方米，此時(shí)米．《第六章平面向量及其應(yīng)用》單元檢測(cè)試卷本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))化簡后等于()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))答案C解析原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).2．設(shè)點(diǎn)A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(BC,\s\up6(→))，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A．(2,16) B．(－2，－16)C．(4,16) D．(2,0)答案A解析設(shè)D(x，y)，由題意可知eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，－4)，所以2eq\o(AB,\s\up6(→))－3eq\o(BC,\s\up6(→))＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝3，,y－2＝14，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝16.))3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6 B．5C．4 D．3答案C解析∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.4．設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a，b的夾角為()A．150° B．120°C．60° D．30°答案B解析設(shè)向量a，b的夾角為θ，則|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，則cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq\r(6)，cosA＝eq\f(7,8)，則△ABC的面積S為()A．eq\f(\r(15),2) B．eq\r(15)C．eq\f(8\r(15),5) D．6eq\r(3)答案A解析由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·eq\f(7,8).∴c＝2，從而b＝4.∴S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×4×2×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2)＝eq\f(\r(15),2).6．向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(4，－3)，向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－4)，則△ABC的形狀為()A．等腰非直角三角形 B．等邊三角形C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形答案C解析∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝(4，－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－4)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－2，－1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2eq\r(5)，|eq\o(CA,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(CB,\s\up6(→))|.∴△ABC是直角非等腰三角形．7．在△ABC中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)答案B解析由向量的平行四邊形法則，知當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|時(shí)，∠A＝90°.又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，故∠B＝60°，∠C＝30°，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2，所以eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|cos120°,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2).8.如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，AD＝BC＝eq\r(5)，E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)(包含端點(diǎn))，則eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值是()A．－eq\f(9,5) B．0C．－eq\f(4,5) D．1答案A解析由四邊形ABCD是等腰梯形可知cosB＝eq\f(\r(5),5).設(shè)BP＝x(0≤x≤eq\r(5))，則CP＝eq\r(5)－x.所以eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→)))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝1·x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)))＋(eq\r(5)－x)·x·(－1)＝x2－eq\f(6\r(5),5)x.因?yàn)?≤x≤eq\r(5)，所以當(dāng)x＝eq\f(3\r(5),5)時(shí)，eq\o(EP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(9,5).故選A．9．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15分鐘時(shí)，兩船的距離是()A．eq\r(7)km B．eq\r(13)kmC．eq\r(19)km D．eq\r(10－3\r(3))km答案B解析如圖，設(shè)行駛15分鐘時(shí)，甲船到達(dá)M處，由題意，知AM＝8×eq\f(15,60)＝2，BN＝12×eq\f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq\r(13)(km)．10．設(shè)向量a與b的夾角為θ，定義a與b的“向量積”：a×b是一個(gè)向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(－eq\r(3)，－1)，b＝(1，eq\r(3))，則|a×b|＝()A．eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4答案B解析cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq\f(\r(3),2)，∴sinθ＝eq\f(1,2)，∴|a×b|＝2×2×eq\f(1,2)＝2.11．設(shè)0≤θ<2π，已知兩個(gè)向量eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up6(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))長度的最大值是()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)答案C解析∵eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\r(2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).12．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a,0)，(0，a)，其中常數(shù)a>0，點(diǎn)P在線段AB上，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(0≤t≤1)，則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))的最大值為()A．a(chǎn) B．2aC．3a D．a(chǎn)2答案D解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－at，at)．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝a(a－at)＋0×at＝a2(1－t)(0≤t≤1)．∴當(dāng)t＝0時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))取得最大值，為a2.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________．答案(－4，－2)解析設(shè)a＝(x，y)，x＜0，y＜0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2.即a＝(－4，－2)．14．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1，那么c＝________.答案eq\r(2)解析由題知，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2?c＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2).15．如圖，在正方形ABCD中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值是________．答案4解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos∠BAN，|eq\o(AN,\s\up6(→))|cos∠BAN表示eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的最大值是4.16．若等邊三角形ABC的邊長為2eq\r(3)，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝________.答案－2解析以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－eq\r(3)，0)，(eq\r(3)，0)，(0,3)．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x，y－3)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，－3)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，－3)，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，即(x，y－3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(5,2)))，可得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，－\f(1,2)))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝－2.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC．(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面積為6eq\r(3)，求b.解(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(ac,2ac)＝eq\f(1,2).因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).(2)由(1)得B＝eq\f(π,3)，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(3),4)ac＝6eq\r(3)，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝2eq\r(7).18．(本小題滿分12分)如圖，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且BF＝eq\f(1,3)BC．(1)以a，b為基底表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(HF,\s\up6(→))；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為120°，求eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→)).解(1)由已知，得eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.連接AF，∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)b，∴eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\o(HA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝a－eq\f(1,6)b.(2)由已知，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6，從而eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,6)b))＝eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(11,12)a·b－eq\f(1,6)|b|2＝eq\f(1,2)×32＋eq\f(11,12)×(－6)－eq\f(1,6)×42＝－eq\f(11,3).19．(本小題滿分12分)如圖，在△OAB中，P為線段AB上一點(diǎn)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，求x，y的值；(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為60°，求eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值．解(1)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2).(2)若eq\o(AP,\s\up6(→))＝3eq\o(PB,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(OB,\s\up6(→))))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝－eq\f(1,4)×42－eq\f(1,2)×4×2×cos60°＋eq\f(3,4)×22＝－3.20．(本小題滿分12分)已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,4)，cos2\f(x,4)))，函數(shù)f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝1，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足acosC＋eq\f(1,2)c＝b，求f(B)的取值范圍．解由題意，得f(x)＝eq\r(3)sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2)coseq\f(x,2)＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).(1)由f(x)＝1，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))－1＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))－1＝－eq\f(1,2).(2)已知acosC＋eq\f(1,2)c＝b，由余弦定理，得a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋eq\f(1,2)c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，則cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，所以A＝eq\f(π,3)，從而B＋C＝eq\f(