安徽省泗縣一中2024屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

安徽省泗縣一中2024屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中同時具有性質(zhì)：①最小正周期是，②圖象關(guān)于點對稱，③在上為減函數(shù)的是（）A． B．C． D．2．已知平行四邊形對角線與交于點，設(shè)，，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)的最大值為A．4 B．5 C．6 D．74．直線與直線垂直，則的值為（）A．3 B． C．2 D．5．已知樣本的平均數(shù)是10，方差是2，則的值為（）A．88 B．96 C．108 D．1106．設(shè)的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，其外接圓半徑為2，且有，則三角形的面積為（）A． B． C．或 D．或7．記等差數(shù)列前項和，如果已知的值，我們可以求得（）A．的值 B．的值 C．的值 D．的值8．已知等差數(shù)列中，,則（）A． B．C． D．9．對于一個給定的數(shù)列，定義：若，稱數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列；若，稱數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列．若數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列的所有項都等于，且，則（）A．2018 B．1009 C．1000 D．50010．某小組由名男生、名女生組成，現(xiàn)從中選出名分別擔(dān)任正、副組長，則正、副組長均由男生擔(dān)任的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列的公差為，且，其前項和為，若滿足，，成等比數(shù)列，且，則______，______.12．已知，則與的夾角等于___________.13．在中，若，則____________.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直角中，直角頂點A在直線上，頂點B，C在圓上，則點A橫坐標(biāo)的取值范圍是__________.15．若數(shù)列{an}滿足a1=2，a16．?dāng)?shù)列中，若，，則______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1．

（1）求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求實數(shù)a的值．18．已知余切函數(shù).（1）請寫出余切函數(shù)的奇偶性，最小正周期，單調(diào)區(qū)間；（不必證明）（2）求證：余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.19．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2，（注：利潤與投資單位：萬元）（1）分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）.20．（1）已知數(shù)列的前項和滿足，求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，（），求數(shù)列的通項公式.21．如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，為的中點，且，，.（1）求證：平面；（2）若點為線段上一點，且，求四棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)周期公式排除A選項；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，排除B選項；將代入函數(shù)解析式，排除D選項；根據(jù)周期公式，將代入函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項正確.【詳解】對于A項，，故A錯誤；對于B項，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C項，；當(dāng)時，，則其圖象關(guān)于點對稱；當(dāng)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故C正確；對于D項，當(dāng)時，，故D錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查了求正余弦函數(shù)的周期，單調(diào)性以及對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)向量減法的三角形法則和數(shù)乘運算直接可得結(jié)果.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查向量的線性運算問題，涉及到向量的減法和數(shù)乘運算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析：因為，而，所以當(dāng)時，取得最大值5，選B.【考點】正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】求解本題易出現(xiàn)的錯誤是認(rèn)為當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.4、A【解析】

根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A【點睛】本小題主要考查兩條直線垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)平均數(shù)和方差公式列方程組，得出和的值，再由可求得的值．【詳解】由于樣本的平均數(shù)為，則有，得，由于樣本的方差為，有，得，即，，因此，，故選B．【點睛】本題考查利用平均數(shù)與方差公式求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于平均數(shù)與方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題．6、C【解析】

的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，可得角A、C的關(guān)系，將已知條件中角C消去，利用三角函數(shù)和差角公式展開即可求出角A的值，再由三角形面積公式即可求得三角形面積.【詳解】的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則，解得，所以，所以，整理得，則或，因為，解得或.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，故選C.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等差數(shù)列性質(zhì)、三角函數(shù)和差角公式、三角函數(shù)輔助角公式，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題；解題中主要是通過消元構(gòu)造關(guān)于角A的三角方程，其中利用三角函數(shù)和差角公式和輔助角公式對式子進(jìn)行化解是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由a5+a21=2a1+24d的值為已知，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，∵已知a5+a21的值，∴2a1+24d的值為已知，∴a1+12d的值為已知，∵∴我們可以求得S25的值．故選：C．【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．8、C【解析】

,.故選C.9、C【解析】

根據(jù)題目給出的定義，分析出其數(shù)列的特點為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求解.【詳解】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項為，則，即，利用累加法可得，由于，即解得，，故．選C.【點睛】本題考查新定義數(shù)列和等差數(shù)列，屬于難度題.10、B【解析】

根據(jù)古典概型的概率計算公式，先求出基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔(dān)任包含的基本事件總數(shù)，由此能求出正、副組長均由男生擔(dān)任的概率．【詳解】某小組由2名男生、2名女生組成，現(xiàn)從中選出2名分別擔(dān)任正、副組長，基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔(dān)任包含的基本事件總數(shù)，正、副組長均由男生擔(dān)任的概率為．故選．【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數(shù)列，可建立關(guān)系式，求出，進(jìn)而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數(shù)列，所以，則，即，解得或，因為，所以，，所以.故答案為：2；.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前項和的求法，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用再結(jié)合已知條件即可求解【詳解】由，即，故答案為：【點睛】本題考查向量的夾角計算公式，在考題中應(yīng)用廣泛，屬于中檔題13、2【解析】

根據(jù)正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意畫出圖形，寫出以原點為圓心，以為半徑的圓的方程，與直線方程聯(lián)立求得值，則答案可求．【詳解】如圖所示，當(dāng)點往直線兩邊運動時，不斷變小，當(dāng)點為直線上的定點時，直線與圓相切時，最大，∴當(dāng)為正方形，則，則以為圓心，以為半徑的圓的方程為．聯(lián)立，得．解得或．點橫坐標(biāo)的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意坐標(biāo)法的應(yīng)用.15、2×【解析】

判斷數(shù)列是等比數(shù)列，然后求出通項公式．【詳解】數(shù)列{an}中，a可得數(shù)列是等比數(shù)列，等比為3，an故答案為：2×3【點睛】本題考查等比數(shù)列的判斷以及通項公式的求法，考查計算能力．16、【解析】

先分組求和得，再根據(jù)極限定義得結(jié)果.【詳解】因為，，……，，所以則.【點睛】本題考查分組求和法、等比數(shù)列求和、以及數(shù)列極限，考查基本求解能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】

（1）求得直線的斜率，再由點斜式方程可得所求直線方程；（2）運用直線和圓相切的條件，即圓心到直線的距離等于半徑，解方程可得所求值．【詳解】（1）直線l過點（1，3），且在y軸上的截距為1，可得直線l的斜率為=2，則直線l的方程為y3=2（x1），即y=2x+1；

（2）若直線l與圓C：（xa）2+（y+a）2=5相切，

可得圓心（a，a）到直線l的距離為，即有

=，解得a=2或．【點睛】本題考查直線方程和圓方程的運用，考查直線和圓相切的條件，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減速區(qū)間：（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用函數(shù)的性質(zhì)寫出結(jié)果．（2）利用單調(diào)性的定義和三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【詳解】（1）奇函數(shù)；周期為，單調(diào)遞減區(qū)間：（2）任取，，，有因為，所以，于是，，從而，.因此余切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．19、（1）為，為；（2）產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，最大利潤為4萬元【解析】

（1）根據(jù)題意給出的函數(shù)模型，設(shè)；代入圖中數(shù)據(jù)求得既得，注意自變量；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元.，列出利潤函數(shù)為，用換元法，設(shè)，變化為二次函數(shù)可求得利潤的最大值．【詳解】解：（1）設(shè)投資為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元由題設(shè)知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)利潤為萬元.，，令，則則當(dāng)時，，此時所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為4萬元.【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，在已知函數(shù)模型時直接設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，代入已知條件可得函數(shù)解析式．20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用求出數(shù)列的通項公式；（2）利用累加法求數(shù)列的通項公式；【詳解】解：（1）①當(dāng)時，即當(dāng)時，②①減②得經(jīng)檢驗時，成立故（2）（）……將上述式相加可得【點睛】本題考查作差法求數(shù)列的通項公式以及累加法求數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）見解析（2）6【解析】

（1）連接交于點，得出點為的中點，利用中位線的性質(zhì)得出，再利用直線與平面平行的判定定理可得出平面；（2）過作交于，由平面，得出平面，可而出，結(jié)合，可證明出平面，可得出，并計算出，利用平行線的性質(zhì)求出的長，再利用錐體的體積公式可