貴州省六盤水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，務(wù)必在答題卷上填寫姓名和考號(hào)等相關(guān)信息并貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卷上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卷交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某籃球興趣小組7名學(xué)生參加投籃比賽，每人投10個(gè)，投中的個(gè)數(shù)分別為8，5，7，5，8，6，8，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）．A.5，7 B.6，7 C.8，5 D.8，7〖答案〗D〖解析〗數(shù)據(jù)由小到大排列為5，5，6，7，8，8，8，因此，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為8，中位數(shù)為7．故選：D．2.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，，則.故選：A3.設(shè)，分別為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且不與坐標(biāo)軸重合的直線橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.4 B.8 C.16 D.32〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，橢圓中，根據(jù)橢圓定義，的周長(zhǎng)為.故選：C4.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公差，則k=（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗D〖解析〗D.由，公差，得，從而，所以，解得k=55.已知，，，則（）A.6 B.7 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，則，所以.故選：B.6.已知函數(shù)是最小正周期為的奇函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，且，又因?yàn)椋傻?，所以，若，即，所?故選：B.7.現(xiàn)有參加中國(guó)——東盟妥樂(lè)峰會(huì)志愿者的報(bào)名表，分裝2袋，第一袋有6名男生和4名女生的報(bào)名表，第二袋有8名男生和2名女生的報(bào)名表.隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)抽取2份，則恰好抽到男生和女生的報(bào)名表各一份的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)事件“選中第一袋”，事件“選中第二袋”，事件“隨機(jī)抽取2份，恰好抽到男生和女生的報(bào)名表各一份”，則，且，，，所以.故選：C.8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得當(dāng)時(shí)，方程為，圖形為單位圓在第一象限的部分（含端點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，方程為，圖形為雙曲線在第四象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程為，圖形為雙曲線在第二象限的部分；當(dāng)時(shí)，方程為，沒(méi)有意義，不表示任何圖形.作出的圖形，如圖，設(shè)點(diǎn)為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則A到直線的距離為，由圖可知，當(dāng)A在圓心O到直線的垂線段上時(shí)，即時(shí)，，達(dá)到最小值；又雙曲線、的一條漸近線方程為，所以小于直線與的距離，而這兩直線的距離為，故，解得，即的取值范圍為.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.的虛部是C. D.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以的虛部是，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)，則，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故D正確；故選：BCD.10.同時(shí)滿足：①為偶函數(shù)，②，③有最大值，這三個(gè)條件的選項(xiàng)有（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，是偶函數(shù)，且最大值為，滿足條件，故A正確；對(duì)于B，最大值為，不滿足條件②，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，偶函數(shù)，且最大值為，滿足條件，故D正確.故選：AD11.已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)與方程的解一一對(duì)應(yīng)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.0是的極值點(diǎn)C.在上單調(diào)遞增 D.的最小值為0〖答案〗ABC〖解析〗由，則，令，易得，是單調(diào)遞增函數(shù)且是奇函數(shù)，由上可得，，則，故A正確；，由恒成立，所以時(shí)，，則單調(diào)遞減，時(shí)，，則單調(diào)遞增，且0是的極值小點(diǎn)，，所以最小值為，故BC正確，D錯(cuò)誤.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，.則__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，，所以.故〖答案〗為：13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著.該書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周六尺，高四尺.問(wèn)：積及委米幾何?”其意思：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為6尺，米堆的高為4尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.6立方尺，圓周率約為3，估算堆放的米約有__________斛.〖答案〗10〖解析〗設(shè)圓錐底面半徑為尺，則，解得，所以圓錐的體積為立方尺，所以堆放的米約有斛.故〖答案〗為：1014.已知函數(shù)在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)函數(shù)，，由在上僅有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上僅有兩個(gè)根，即與的圖象在上僅有兩個(gè)交點(diǎn)，先研究與的圖象相切的情況，如圖，設(shè)公切點(diǎn)，即點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)，圖象上，在點(diǎn)處的切線斜率相等，就有，，則，有，函數(shù)的圖象向右平移便可知，僅有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍介于當(dāng)或者1時(shí)，即.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù).（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)”的概率.解：（1）可能取的值為0，1，2..所以，的分布列為012P（2）由（1），的數(shù)學(xué)期望為;（3）由（1），“所選3人中女生人數(shù)”的概率為.16.如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值解：（1）由已知中點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?得點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.依題設(shè)，，，，，.，，設(shè)向量是平面的法向量，則，即，令，則，，由已知是平面的一個(gè)法向量.記平面與平面的夾角為，.17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2），，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，；（2），，，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即取值范圍是.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與拋物線C：相切.（1）求m的值；（2）已知點(diǎn)，在拋物線C上，A，B分別位于第一象限和第四象限，且，過(guò)A，B分別作直線的垂線，垂足分別為，，當(dāng)四邊形面積取最小值時(shí)，求直線的方程.解：（1）因?yàn)橹本€與拋物線C：相切，所以方程組有唯一解，所以有唯一解，所以，且，解得．（2）設(shè)直線的方程為，，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，分別位于第一象限和第四象限，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，因?yàn)?，即，整理得，即，解得，可知直線的方程為，可知，，符合題意，則四邊形的面積為．令，所以，因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ芍谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，所以四邊形面積的最小值為，此時(shí)直線的方程為.19.若數(shù)列和的項(xiàng)數(shù)均為，則將數(shù)列和的距離定義為.（1）求數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；（2）記A為滿足遞推關(guān)系的所有數(shù)列的集合，數(shù)列和為A中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均為.若，，數(shù)列和的距離，求m的最大值；（3）記S是所有7項(xiàng)數(shù)列（其中，或1）的集合，，且T中的任何兩個(gè)元素的距離大于或等于3.求證：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.解：（1）由題意可知：數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離為.（2）設(shè)，其中，且，因?yàn)椋瑒t，，，，則有A中數(shù)列的項(xiàng)呈周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，在數(shù)列中，；在數(shù)列中，；因?yàn)椋芍?，即?xiàng)數(shù)m越大，數(shù)列和的距離越大，由得：，可知：若時(shí)，；又因?yàn)?，可知：若時(shí)，；綜上所述：所以m的最大值為3469.（3）假設(shè)T中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，在數(shù)列中，，則僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組有且僅有8個(gè)：，那么這17個(gè)元素(即數(shù)列)之中必有三個(gè)具有相同的，設(shè)這個(gè)數(shù)列分別為；；，其中，