2023-2024學(xué)年山東省高三高考數(shù)學(xué)押題模擬試題(二模)含解析

2023-2024學(xué)年山東省高三高考數(shù)學(xué)押題模擬試題(二模)

一、單選題

1.“。=0且6=1”是“復(fù)數(shù)z=a+6i(a,beR)是純虛數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件及純虛數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】若。=0且6=1,則復(fù)數(shù)z=a+bi=i是純虛數(shù)，故充分性成立；

若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)是純虛數(shù)，則。=()且/,片0,故必要性不成立，

故"。=0且6=1”是“復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)是純虛數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A

2.已知集合/={(x,y)3=/},集合2={(尤,y),=1-卜|},則集合NcB的真子集個數(shù)為

()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】C

y=X2

【分析】解方程組-，I1可得集合進(jìn)而可求得集合/C8的真子集個數(shù).

卜=1一國

【詳解】聯(lián)立國可得/+國-1=0,因為國20,解得國=痔1,

V5-11-75

2X=--------x=-----

V=X2或，2

所以，方程組?,,I的解為

3-V53-V5'

尸了

所以,/n8=<

所以，集合的真子集個數(shù)為”-1=3.

故選：C.

3.某調(diào)查機(jī)構(gòu)抽取了部分關(guān)注濟(jì)南地鐵建設(shè)的市民作為樣本，分析其年齡和性別結(jié)構(gòu)，并

制作出如下等高條形圖.根據(jù)圖中(35歲以上含35歲)的信息，關(guān)于該樣本的結(jié)論不一定

正確的是()

LO

9

O.8

O.7

O.6

O,5

O.4

O.3

O.2

O.1

O.0

35歲以上35歲以下男性女性

匚二］力性■女住口"歲以卜歲以上

A.男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)

B.關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上

C.35歲以下的男性人數(shù)比35歲以上的女性人數(shù)多

D.35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高

【正確答案】C

【分析】由等高條形圖一一分析即可.

【詳解】由等高條形圖可得：

對于A：由左圖知，樣本中男性數(shù)量多于女性數(shù)量，

從而男性比女性更關(guān)注地鐵建設(shè)，故A正確；

對于B:由右圖知女性中35歲以上的占多數(shù)，從而樣本中多數(shù)女性是35歲以上，

從而得到關(guān)注地鐵建設(shè)的女性多數(shù)是35歲以上，故B正確；

對于C：由左圖知男性人數(shù)大于女性人數(shù)，由右圖知35歲以下的男性占男性人數(shù)比35歲以

上的女性占女性人數(shù)的比例少，無法判斷35歲以下的男性人數(shù)與35歲以上的女性人數(shù)的多

少，故C不一定正確；

對于D：由右圖知樣本中35歲以上的人對地鐵建設(shè)關(guān)注度更高，故D正確.

故選：C.

4.將函數(shù)/(x)=3sinx+Gcosx的圖象向右平移。(0>0)個單位長度后的函數(shù)圖象關(guān)于原

點對稱，則實數(shù)。的最小值為()

7171-兀兀

A.-B.—C.—D.一

6432

【正確答案】A

【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)/(x)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換求出平移后所

得函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可求出。的表達(dá)式，即可求得。的最小值.

【詳解】因為/（x）=3sinx+百COSX=273sin^x+-^-j,

將函數(shù)/（X）的圖象向右平移9（9>0）個單位長度可得到函數(shù)了=263!1、+e-9）的圖象，

由題意可知，函數(shù)尸27^山口+?-，的圖象關(guān)于原點對稱，

JTJT

所以，——0二左兀（左EZ）,所以，9=——左兀（左EZ）,

66

jr

因為夕>0,故當(dāng)上=0時，。取最小值

6

故選：A.

5.已知隨機(jī)變量J?N（2,〃），且尸（JWl）=尸仔2。+2）,則J——」（x>0）的最大值

為（）

A.3+2A/3B.3-2百

C.2+6D.2-V3

【正確答案】D

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出。的值，則」--「丁=J—-」，令

1+ax1+31l+xl+3x

/（'）="--」，尤e（0,+8）,則〃」=I利用基本不等式求出3x+^+4的最

1+xl+3x3x+-+4X

x

小值，即可得解.

【詳解】因為隨機(jī)變量4?N（2,/）,且尸合Vl）=尸化Za+2）,

所以尸(JW1)=P《W3),即a+2=3,所以〃=1,

111

所以

1+axl+3x1+xl+3x

1

令/(x)=-------------,XG(0,+00),

v71+xl+3x

所以/（”）=占一11+3x—1—x2x2

l+3x(l+x)(l+3x)l+4x+3x23X+1+4,

x

14=26+4,當(dāng)且僅當(dāng)3x=,，即x=YI時取等號,

X3x+-+4>2J3x--+

xXx3

22

所以“x）=<■=2-出

2G+4

3rx+—1+4)

x

即上一￡口＞°）的最大值為2-6

故選：D.

6.正四棱柱48co-4耳G2中，AB=2,P為底面44G2的中心，w是棱48的中點,

正四棱柱的高〃e[3,2拒],點M到平面尸CD的距離的最大值為（）

A.巫B.?C.晅D.衛(wèi)

3339

【正確答案】C

【分析】設(shè)底面四邊形48co的中心為O,連接PO,則PO=〃，設(shè)點M到平面尸CD的距

離為d,利用等體積法求解即可.

【詳解】設(shè)底面四邊形48co的中心為O,連接尸O,則尸。=〃，設(shè)點M到平面尸CD的距

離為d,oc=OD=C，PC=PD=」2+林，

則PC。中，CD邊上的高為也+上_1=后￥，

則S.—2xM=ks2=；x2x2=2,

Vp-MCD，

得§xSPCDxd=—xSMCDxh，

128

由片[0,2亞],得/e[2,8],則1+^e苫,]則;7T*3?9

L」h.X/.1+F

匚―「2旗47r

所以d￡--,§

即點M到平面PCO的距離的取值范圍是半，孚

所以點W到平面尸CD的距離的最大值為逑.

3

故選：c.

22

7.已知雙曲線￡:餐-}=l（a>0,6>0）的右焦點為尸，O為坐標(biāo)原點，0是雙曲線￡右支

cOFOQ“

上一點，且2<函<4,則雙曲線的離心率為（）

A.2B.V5C.3D.2G

【正確答案】A

【分析】首先表示出焦點坐標(biāo)與漸近線方程，依題意可得正在而方向的投影的取值范圍

為（2,4],當(dāng)。在右頂點投影取最大值，即可求出c,在取臨界位置得到赤在漸近線夕=±2'

a

方向上的投影為2,即可求出6,從而求出。，即可得解.

22E

【詳解】雙曲線比》-2=1（°>0,6>0）的右焦點為尸（。,0）,漸近線為y=±;x,

cOFOQ._.

因為。是雙曲線E右支上一點，且2<函，4,所以正在方向的投影的取值范圍

為（2,4],

當(dāng)。在右頂點時礪在麗方向的投影最大，最大值為口毛卜c,即。=4,

當(dāng)。在無限遠(yuǎn)處，此時歷在而方向的投影近似而在漸近線y=±2x方向上的投影，但

a

是不能取等號，

所以赤在漸近線夕=±2》方向上的投影為2,則尸（4,0）到漸近線^=±2尤的距離

aa

d="-22=26，

即4=產(chǎn)="=2百,所以6=26，則a=V?^=2,所以離心率e=￡=2.

yla2+b2ca

故選：A

8.已知函數(shù)/'(x),g(x)的定義域均為R,且滿足/(x)-g(2-x)=4,g(x)+/(x-4)=6,

30

g(3-x)+g(x+l)=0,則Z/(〃)=()

n=\

A.-456B.-345C.345D.456

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得/'(-x)+〃x)=8且/'(x)=/(x+2)+2,進(jìn)而有

/(x)+x=/(x+2)+x+2,構(gòu)造〃。)=/。)+工易知刀(X)是周期為2,分別求得〃0)=4、

/⑴=3,再求力(0)、〃⑴，根據(jù)周期性求八也最后求和.

【詳解】由-g(2-x)=4,貝U/(r)-g(x+2)=4,即g(x+2)=/(-x)-4,

由g(x)+/(x-4)=6,貝|g(x+2)+〃x-2)=6,即g(x+2)=6-”工—2),

又g(x)+/(x-4)=6,則g(x+l)+/(x-3)=6,

〃x)-g(2-x)=4,貝1]/(%-1)-8(3-%)=4,

又g(3-x)+g(x+l)=0,

所以g(x+l)+/(x-3)-[/(x-l)-g(3-x)]

=g(x+l)+/(x-3)-/(x-l)+g(3-x)=2,

BP/(x-3)-/(x-l)=2,

即〃x)=〃x+2)+2,

所以-2)=〃x)+2,故g(x+2)=6-4-/(X),

綜上/(T)-4=4-/(X),則/(f)+/(x)=8,故上x)關(guān)于(0,4)對稱,

且有/(x)+X=/(x+2)+x+2,

令/?(x)=/(x)+x,則力(x)=〃(x+2),即%(x)的周期為2,

由g(3-x)+g(x+l)=0知g(x)關(guān)于(2,0)對稱且g⑵=0,

所以〃0)-g(2)=4,即〃0)=4,則〃(0)=/(0)+。=4,

[/(-1)+/(1)=8

由[二]，、c，可得/⑴=3,則力⑴=〃1)+1=4,

所以A(0)=〃(2)=/(2)+2=4則/(2)=2；

力(1)=耿3)=〃3)+3=4則〃3)=1,

依次類推可得"4)=0,/(5)=-1,……,f(n)=4-n,則/(30)=4-30=-26,

所以￡/(?)=/⑴+7(2)+...+/(30)=30*丁6)=_345.

n=l2

故選：B

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)遞推式得/'(-xHA尤)=8且/(x)=/(x+2)+2,構(gòu)造〃(x)=〃x)+x并確

定其周期，依據(jù)周期性求”嘰

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.[a+b^-c=a-c+b-c

B.非零向量力和B，滿足p|<W且￡和右同向，則?！戳?/p>

c.非零向量Z和B滿足B+刃卜卜一陽則￡,否

D.已知2=(2,9,3=(1,6),貝壯在右的投影向量的坐標(biāo)為:，罟

(22)

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、C,根據(jù)向量的定義判斷B,根據(jù)投影向量的定義判

斷D.

【詳解】對于A：根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可知+=故A正確；

對于B：向量不可以比較大小，故B錯誤；

對于C：非零向量工和[滿足卜+,=卜_陽則(r+q,

即/2a務(wù)b2=a-2ab片，所以。%=0,則。。，故C正確；

對于D：因為“=(2,A/^),b=,所以0=1x2+>/§=5,|S|=^l2=2,

a-bb51/,rr\(55百、

所以。在后的投影向量為W(N3)=K，MJ,故D錯誤；

故選：AC

10.平面螺旋是以一個固定點開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖(1).它的畫法是

這樣的：正方形/BCD的邊長為4,取正方形/BCD各邊的四等分點E,F,G,X作第二

個正方形，然后再取正方形斯G"各邊的四等分點M,N,P,。作第三個正方形，以此方

法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形邊長為生,后續(xù)各正方形邊長

依次為外，%，.??，。,，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為4,后續(xù)各

直角三角形面積依次為仇，仇，…，b.則（）

B.從正方形N3C。開始，連續(xù)3個正方形的面積之和為32

C.使得不等式〃成立的"的最大值為3

D.數(shù)列也,｝的前〃項和S“<4

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，｛%｝,也｝都是等比數(shù)列，從而可求｛%,｝,也｝的通項公式，再對選項

逐個判斷即可得到答案.

【詳解】對于A選項，由題意知，卻“

所以%包=乎%,又因為q=4,

所以數(shù)列｛%｝是以4為首項，回為公比的等比數(shù)列，故A正確；

4

對于B選項，由上知，=4x，%=4,a2=V10,。3='1，

所以a；+q；+〃；=4?+可+。苧故B錯誤;

對于C選項，b“，x%x2=

244

1

易知也｝是單調(diào)遞減數(shù)列，且“=<-，

2

故使得不等式成立的的最大值為3,故C正確;

35

1-

對于選項，因為$

D=25，且〃￡N*,

U4

8

5

所以0<1-<1,所以邑<4,故D正確;

故選：ACD.

11.如圖，在矩形4EFC中，/石=2仃，跖=4,8為后尸的中點，現(xiàn)分別沿/8、3。將ABE、

△5CV翻折，使點￡、尸重合，記為點P,翻折后得到三棱錐尸-/BC,貝I(

A.PBLAC

B.三棱錐尸-N3C的體積為位

3

C.三棱錐尸-4BC外接球的半徑為運(yùn)

2

D.直線尸N與3C所成角的余弦值為1

6

【正確答案】ACD

【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷A選項；利用錐體的體積公式可判斷B選項；求

出48C的外接圓半徑，結(jié)合尸3,平面融C,可求出三棱錐尸-/8C的外接球半徑，可判

斷C選項；利用空間向量法可求出直線E4與BC所成角的余弦值，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，翻折前/ELBE,CF1BF,

翻折后，則有PB±PC,

因為尸/CPC=尸，PA、PCu平面上4C,

所以AP_L平面P4C,故A對;

對于B選項，在△?。?中，PA=PC=25/C邊上的高為,（26）2-22=2心,

所以/TBC=%,4C=!X；X4X2^X2=^，故B錯；

對于C選項，因為尸/=尸。=2&,AC=4,

士工m-T4BP^2+PC2-AC212+12-161

由余弦定理，可得cos乙4尸C=-----------------------=---------------=-,

2PA-PC2x123

則sinZAPC=71-cog2ZAPC='1=-^~,

AC43后

所以△上4c的外接圓的半徑一2sinNN尸C-4行一2

—

設(shè)三棱錐2-Z3C外接球的半徑為R,

因為5尸，平面力C,所以及2=r+（工.丫=2+1=11,所以及=立1,

（2J222

即三棱錐尸-NBC外接球的半徑為11,故C對;

2

12+12-161

對于D選項，在中,cosZAPC=

2x26x26~3）

BC=^PC2+PB2=J12+4=4，

/一?一PA.RC莎?（左一麗）莎.左-2.而

則cos（尸4BC）=E^

'/附附2>/3x4-86

2^/3X2A/3x6

-8G6

所以直線尸4與直線3C所成角的余弦值為由，故D對.

6

故選：ACD.

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)隨機(jī)取一個整數(shù)點（x,y）（x,y=1,2,3,eN）

若用隨機(jī)變量〃表示從這二個點中隨機(jī)取出的一個點的橫、縱坐標(biāo)之和，尸偌=x,Z7=b）表

示&=x,〃=b同時發(fā)生的概率，則（）

A.當(dāng)〃=3時，P（〃=3怛=2）=；

B.當(dāng)〃=4時，尸（J+〃=8）=上

C.當(dāng)〃=5時，〃的均值為6

D.當(dāng)〃=左（左22且左eN*）時，尸監(jiān)=左,〃=2左）==

【正確答案】ACD

【分析】利用條件概率公式可判斷A選項；列舉出滿足J+〃=8的點的坐標(biāo)，利用古典概率

公式可判斷B選項；利用離散型隨機(jī)變量的期望公式可判斷C選項；列舉出滿足4=左，

1=2k的點的坐標(biāo)，利用古典概型的概率公式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，當(dāng)〃=3時，整數(shù)點共9個，則尸（J=2）=g,

由]=x+y=3得。=1，即滿足4=2，〃=3的點的坐標(biāo)為（2,1），

/,、尸（J=2,〃=3）11

所以，P（〃=3,=2）=p（.=2）=產(chǎn)，人對；

對于B選項，當(dāng)〃=4時，整數(shù)點共16個，

O1

滿足4+〃=2工+/=8的整數(shù)點為（2,4）,（3,2）,則P（J+〃=8）==1B錯;

71T6o

對于C選項，當(dāng)〃=5時，

〃的可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10,此時，樣本點共25個，

滿足〃=x+y=2的點為(1,1),貝i]p(〃=2)=《，

滿足〃=x+y=3的點為（1,2）、（2,1）,貝|]尸（〃=3）=（，

滿足〃=x+y=4的點為（1,3）、（2,2）、（3,1）,則尸（〃=4）=5，

滿足〃=x+y=5的點為（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1）,則P5=5）=[,

滿足〃=x+y=6的點為（1,5）、（2,4）、（3,3）、（4,2）、（5,1）,貝i]=6）=5=（

滿足〃=%+了=7的點為（2,5）、（3,4）、（4,3）、（5,2）,貝”（〃=7）=（,

a

滿足〃=彳+了=8的點為（3,5）、（4,4）、（5,3）,貝i]=8）=2，

滿足〃=彳+）=9的點為（4,5）、（5,4）,則尸（〃=9）=1,

滿足〃=x+〉=10的點為（5,5）,則尸（〃=10）=4,

故當(dāng)〃=5時,

123414321

￡（〃）=2x----i-3x----i-4x----i-5x----i-6x—+7x----i-8x----i-9x----FlOx——=6,C對;

v725252525525252525

對于D選項，滿足理解為［一'則尸（"32力記,D對.

故選：ACD.

三、填空題

13.（x+2y丫展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為.

【正確答案】160

【分析】利用二項式系數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二項式定理可求得展開式中二項式系數(shù)最大的項的系

數(shù).

【詳解】由二項式系數(shù)的基本性質(zhì)可知（x+2y丫展開式中二項式系數(shù)最大的項為

33

7；=C^-x-（27）=160xy.

因此，展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為160.

故答案為.160

14.已知直線/過圓（X-1『+/=1的圓心，且與圓相交于A,8兩點，尸為橢圓一+?=1上

9o

一個動點，則也.而的最大值與最小值之和為______.

【正確答案】18

【分析】求出圓的圓心。（1,0）,根據(jù)題意可得前=-0Q、a-c<\^o\<a+c,利用平面

向量的線性運(yùn)算可得9?麗=|西即可求解.

【詳解】圓（工一咪+丁=1，圓心。（1,0）,半徑廠=1,

因為直線/過圓（x-lj+_/=1的圓心，且與圓相交于A,B兩點,

所以布=一切，又橢圓口+『=1,貝h=3,c=l,右焦點為（1,0）,

所以西.麗=（的+麗）.（西+可§）

2

二（西+西.（西_西=西2—即2=西|I-1.

Xa-c<|pq|<cz+c,gp2<|pq|<4,所以西『一1415,

即3V蘇?麗V15，所以莎.麗的最大值為15,最小值為3.

則莎?方的最大值與最小值之和為18.

15.從1,2,3,4,5,6,7,8中依次取出4個不同的數(shù)，分別記作。,6,c,d,若a+b和c+d

的奇偶性相同，則。,6,cS的取法共有種（用數(shù)字作答）.

【正確答案】912

【分析】分類討論兩組數(shù)的奇偶性即可.

【詳解】若6和c+d都是奇數(shù)，貝!I。,6為一奇一偶，c/也一奇一偶，

有2C；-C；x2C；C=576種取法；

若6和c+d都是偶數(shù)，則有以下兩種情況：

①a,6兩奇（偶）數(shù)，c,d兩奇（偶）數(shù)，有2A；x2=48種取法；

②a,6兩奇（偶）數(shù)，c”兩偶（奇）數(shù)，有2A>A：=288種取法；

共計576+48+288=912種取法.

故912

16.已知不等式x+alnx-x"+gwO對任意xe（l,+s）恒成立，則實數(shù)。的最小值是.

【正確答案】-e

【分析】將已知不等式變形為er—IneT^x"—Inx"，構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-ln無，利用導(dǎo)數(shù)分

析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，考慮”為負(fù)數(shù)的情形，可得出/We-3分參后可得a2利用

Inx

導(dǎo)數(shù)求出g(x)=-高在(1,+⑹上的最大值，即可得出實數(shù)。的最小值.

【詳解】由、。%-+與20可得x+才“2￡-alnx=￡-ln￡，We-x-lne-x>xa-inxa，

e

i_i

構(gòu)造函數(shù)/■(尤)=x-lnx,其中x>0,則/(無)=1_上=Y^.

XX

當(dāng)0<x<l時，r(x)<0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時，/(x)〉o,此時函數(shù)/'(X)單調(diào)遞增，

因為尤>1,貝！J-xc-l,則0<尸<1,

e

要求實數(shù)”的最小值，考慮。<0,貝Ijo<x"<l,

由e"—lne一工之￡—Inx〃可得f(片、)/(一),

因為函數(shù)/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則x"2eT,

不等式x">e-x兩邊取自然對數(shù)可得aInX2-X,

x

因為x>l,則lnx〉0,可得一,

mx

x“、1-lnx

令g(x)=-嬴，其中X>1,貝IJg(小市了，

當(dāng)l<x<e時，g'(x)>0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X>e時，g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)g(x)在(1,+8)上的最大值為g(e)=-e,所以，心一e.

因此，實數(shù)。的最小值為-e.

故答案為.一e

結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

(1)VxeD,m<f(x)<^m<f(x)m.n；

(2)VxeD,m>/(x)<=>m>f(x)max；

(3)3xeD,7M</(x)om</(x)max；

(4)3XED,7M>/(x)-?m>/(x)min.

四、解答題

17.已知兩個正項數(shù)列｛叫，色｝滿足(%-“應(yīng)=1,-=477

a〃〃十］

(1)求｛。"｝,也｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛的｝滿足cn=&+。,用］+%其中［司表示不超過x的最大整數(shù)，求｛c“｝的前”項和

S,.

【正確答案】(I)%,b=n

nit

(2)5"

【分析】⑴依題意可得%，=〃2+l,anbn=\+b；,即可求出6.、an

(2)根據(jù)高斯函數(shù)先推出［%+%+」的解析式，再運(yùn)用等差數(shù)列求和公式計算可得.

【詳解】⑴由一點I，得3"+1,

由(。"一幻”=1,得a也=1+%：.￡=/，因為｛，｝是正項數(shù)列，

n2+\1

----------=7Z+—;

b,n

4,“=1

(2)因為[%+4+i〃+4+"+i+-L=2〃+1

nn+1nn+2〃+1,〃22’

5,n=1

所以，]+〃

3〃+1,“22’

所以當(dāng)“22時S“=5+7+10+…+(3〃+1)

…(7+3〃+l)(〃-1)」加+5〃+2

2

當(dāng)〃=1時耳=5滿足與

所以S.

18.在45C中，內(nèi)角A、B、。所對的邊分別為。、b、c,已知65出14+1卜45吊8=0.

⑴求角A；

DQ

⑵若。為邊8C上一點(不包含端點)，且滿足N4D8=2//C8,求二的取值范圍.

【正確答案】(1)/=5

⑵（°』）

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出tan/的值，結(jié)合角A的取值

范圍可得出角A的值；

27r7T

(2)分析可得4D=C。，B=--C,ZBAD=--C,求出角C的取值范圍，由正弦定理

可得出型一1,結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得處的取值范圍.

CDV3+tanCCD

【詳解】(1)解：由6sin]/+m]-asinB=。結(jié)合正弦定理可得：

(16161)

sin8—sinAH---cosA-sin^4sin5=0,則sinB——cosA——sinA=0,

2222

V7\7

因為A、Be（0,7i）,則sin5>0,所以，百cosZ=sin/>0,

可得tan4=6，故力=三.

（2）解：由ZADB=2ZACB可得NG4D=ZADB—ZACB=ZACB,所以，AD=CD,

TT

所以，C</BAC,故0<C<§,

BDCD

由正弦定理可得;ql1pm(;一°，

所以嘰SMEfcoscTsinC.tanC：2己1

，CDsin停-c］且cosC+2sinC百tanC?+tanC，

因為Ce［o（］,貝?。?<tanC<6,所以，竺——le（0,1）.

ICDV3+tanC''

所以，器的取值范圍是（°」）.

19.如圖，在四棱錐尸—48CD中，尸/平面/BCD,ABIICD,ABJ.BC,PA=AB=BC=2,

CD=4.

(1)證明：ADA.PC；

(2)若M為線段必的靠近B點的四等分點，判斷直線與平面PDC是否相交？如果相交,

求出尸到交點H的距離，如果不相交，說明理由.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)相交，PH=6

【分析】(1)依題意可得NC=2后，ZBAC=ZDCA=45°,利用余弦定理求出4D,即可

得到/C_L/D,在由線面垂直得到尸/_L4D,即可得到4D_L平面HC,從而得證；

(2)過點尸作直線連接并延長交/于點反，即可證明點”為直線與平面

尸。。的交點，再利用三角形相似求出陽\

【詳解】(1)連接NC,因為/3//CD,AB1BC,PA=AB=BC=2,CD=4,

所以43C為等腰直角三角形，

-,-AC=242,NB4C=NDCA=45。,

?在△D/C中，由余弦定理得4D?u/cz+DCZ-Z/CMCcosN/CZ),

即/加=(2應(yīng)『+42-2X20X4X￥，所以AD=2也，

AC2+AD2=DC2,/.ACVAD.

又尸/_L平面48cD,4Du平面48C￡>,

PALAD.

又ZCnPN=4/C,P/u平面融C,

AD±平面PAC,

：尸。<=平面上4。，

/.ADVPC.

(2)過點尸作直線〃/48,連接/M并延長交/于點7/,

因為PHHAB,豆ABHDC,

所以PH//CD,所以P、H、C、。四點共面，

所以點尸e平面尸DC,

所以點H為直線與平面PDC的交點，

易知AMBsHMP,M為線段的靠近8點的四等分點,

*2PHPM,

所以一=——=3,

ABMB

所以P"=348=6.

20.《周易》包括《經(jīng)》和《傳》兩個部分，《經(jīng)》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映

了中國古代的二進(jìn)制計數(shù)的思想方法可以解釋為：把陽爻“一”當(dāng)做數(shù)字“1”，把陰爻

”當(dāng)做數(shù)字“0”，則六十四卦代表的數(shù)表示如下:

卦名符號表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)

坤三~0000000

hI

miI

剝I0000011

比二ZZ0000102

例如,成語“否極泰來”包含了“否”卦三和“泰”卦=H,“否”卦所表示的二進(jìn)制數(shù)為

000111,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是0x25+0x24+0x23+1x22+1x21+1x2°=7,“泰”卦所表示的二

進(jìn)制數(shù)為111000,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是1x25+1x24+1x23+0x22+0x21+0x2°=56.

(1)若某卦的符號由五個陽爻和一個陰爻構(gòu)成，求所有這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和；

(2)在由三個陽爻和三個陰爻構(gòu)成的卦中任取一卦，若三個陽爻均相鄰，則記3分；若只有兩

個陽爻相鄰，則記2分；若三個陽爻互不相鄰，貝！I記1分，設(shè)任取一卦后的得分為隨機(jī)變量X,

求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

【正確答案】(1)315

(2)分布列答案見解析，E(X)=2

【分析】(1)列舉出所有滿足條件的二進(jìn)制數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求得所有這些卦

表示的十進(jìn)制數(shù)的和；

(2)分析可知隨機(jī)X的所有可能取值有1、2、3,計算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率,

可得出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而可求得E(X)的值.

【詳解】(1)解：因為該卦的符號由五個陽爻和一個陰爻構(gòu)成，

所以該卦所表示的二進(jìn)制數(shù)共有C；=6個，分別為111110、111101、111011、

HOUK10111K011111,

這6個數(shù)中，每個位置可是5次1,1次0,

所以，所有這些卦表示的十進(jìn)制數(shù)的和為5x(25+24+23+22+21+2°)=g^^=315.

(2)解：由題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值有1、2、3,

則尸(X=l)=4=LP(^=2)=4=—尸(X=3)=g=L

、C：5、,仁205、C：5

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

LOnn

H010

131

所以，￡,（X）=lx-+2x-+lx-=2.

21.已知拋物線氏了2=2/（。>0）,過點（-1,0）的兩條直線4、4分別交E于A、8兩點和

c、。兩點.當(dāng)4的斜率為g時，恒卻=2而.

（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)G為直線AD與3C的交點，證明：點G在定直線上.

【正確答案】（l）/=2x

⑵證明見解析

【分析】（1）當(dāng)直線4的斜率為十時，寫出直線4的方程，設(shè)點/（尤”乃）、雙馬,%）,將直

線4的方程與拋物線E的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可得出關(guān)于。的方程，結(jié)

合A>0可求出P的值，即可得出拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）分析可知直線4、4都不與x軸重合，設(shè)直線的方程為了=沖-1,將該直線的方程

與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)/［1/J、臺］］，%］，由韋達(dá)定理可得=2,同理可得出

%”=2,寫出直線的方程，求出這兩條直線的交點G的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論

成立.

【詳解】（1）解：當(dāng)直線4的斜率為3時，直線4的方程為y=#x+l）,設(shè)點/（和必）、

5（9，%），

y2=2px

聯(lián)立<I,可得12+2（l—4夕）x+l=O,

A=4(1-4^)2-4=4(16/-8/?)>0,因為p>0,可得p>g,

由韋達(dá)定理可得石+工2=8〃-2,x,x2=1,

耳+毛J一4大王=-^8p-^2-4=i/^0,

\AB\=

整理可得2P2_°_i=o,解得p=l或。=一;（舍去）,

因此，拋物線E的方程為必=2x.

（2）證明：當(dāng)直線4與x軸重合時，直線4與拋物線E只有一個交點，不合乎題意,

所以，直線4不與x軸重合，同理可知直線4也不與x軸重合,

x=my-1

設(shè)直線NB的方程為尤=7町-1聯(lián)立可得V-2加y+2=0,

y2=2x

則A=4m2一4〉0可得加2>1,

設(shè)點/［［，乂；由韋達(dá)定理可得X%=2,

設(shè)直線CD的方程為》=町-1,設(shè)點c［；,為）同理可得為乂=2,

直線/。的方程為了一為=±^［尤-9）,即夕=二一》+上二，

%%'）必+為弘+”

2

化簡可得2尤-（乂+%）了+%%=0,

同理可知，直線的方程為2》-包+%）夕+，2%=°，

因為點（T,。）在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知,

交點G必在垂直于x軸的直線上，所以只需證明點G的橫坐標(biāo)為定值即可,

2x-(yl+y4)y+y1y4=0

由，消去九

?.x-(y2+y3)y+y2y3=Q'

因為直線4D與8c相交，則乂+為H%+%,

鏟徂=%%(弘+%)-%%(%+%)=%%%+為%乂一%一%力乂

牛學(xué)2[(%+%)一(耳+%)]2[包+為卜包+以]

_2%+2%-2%-2y4=1

2[(%+%)-(凹+%)]'

所以，點G的橫坐標(biāo)為1,因此，直線/。與8c的交點G必在定直線x=l上.

方法點睛：利用韋達(dá)定理法解