茂名市重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末考試試題含解析

茂名市重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.下列命題錯誤的是（）

I1c

A3x>0,InxH----<2

Inx

B.命題u3xe(0,+oo),lnx=x-lw的否定是aVxe(0,+oo),lnx^x-lw

C.設(shè)則“xN2且＞22”是+的必要不充分條件

D.設(shè)。力eR,貝?。癮w0”是“abw0”的必要不充分條件

EGI

2.在三棱錐S—ABC中，點E,b分別是SA,BC的中點，點G在棱所上,且滿足——=—，若SA=a,SB=b,SC=c，

EF3

則AG=（）

1-11一21-1

A.一a——br+—cB.——a+—b+—c

326366

1-11.1.11_

C.—a—b7H—cD.——a——rb+—c

632362

1nx

3.已知函數(shù)〃x）=——，貝！I（）

A.函數(shù)/（%）的極大值為L無極小值B.函數(shù)”光）的極小值為L無極大值

ee

C.函數(shù)的極大值為0,無極小值D.函數(shù)八％）的極小值為0,無極大值

4.已知直線%+砂-2=0與圓/+/=］相切，則a的值是（）

A」B.±1

C.V3D.±73

5.在正方體ABCD—AgG。中，PQ與直線4。和AC都垂直，則直線PQ與8。的關(guān)系是（）

A.異面B.平行

C.垂直不相交D.垂直且相交

6.下列說法中正確的是（）

A.命題“若X=y,貝!）sinX=siny”的否命題是真命題；

B.若Pvq為真命題，則。人4為真命題；

C.“x=1”是一3%+2=0”的充分條件；

D.若命題P：“BxeR,%2+x+l<On>則-1P："VxeH,X2+X+1>OM

7.已知直線A：ax+2y=0與直線自2x+（2a+2）y+l=0垂直，則實數(shù)a的值為（）

2

A.-2B.----

3

C.lD.l或-2

8.雙曲線的離心率為G，焦點到漸近線的距離為2攻，則雙曲線的焦距等于

A.2B.2V2

C.4D.4V3

9.2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動標(biāo)識（如圖1）.其中“100”

的兩個“0”設(shè)計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（如

圖2）.已知R=3r,則由其中一個圓心向另一個小圓引的切線長與兩大圓的公共弦長之比為（）

圖1圖2

A.73B.3

Zn2出

lx?----------

23

10.若點A,3在拋物線y2=2px（p>0）上，。是坐標(biāo)原點，若等邊三角形Q鉆的面積為4若，則該拋物線的方

程是（）

A.y2=^~XB.寸=

D.y2=鳥

C./=2mx

-3

11.將點河的極坐標(biāo)10,1化成直角坐標(biāo)是()

A.(5,56)B.(573,5)

C.(5,5)D.(—5,—5)

12.設(shè)a,b,c非零實數(shù)，且則()

11

A.a+Z?>0B.—<—

ab

C.a-b>QD.ac>be

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)〃x)=sin2x-q-，尤eR,若將函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移0個單位能使其圖像與原圖像重合，則正

實數(shù)。的最小值為.

14.已知曲線C："儲+〃y2=],

①若加>〃>o,則。是橢圓，其焦點在y軸上;

②若機=〃>0,則c是圓，其半徑為6；

③若7加2<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±

④若m=0,n>0,則C是兩條直線.

以上四個命題，其中正確的序號為.

15.tan75—tan15—A/3tan75tan15=

16.如圖，已知48,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且AB,CD,若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍,

則異面直線AC與BD所成角的余弦值為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖

(1)求直方圖中的值；

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取

戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

18.(12分)如圖1所示，在四邊形4BCD中，AD//BC,ADVBD,AD=BD=2,將沿5。折起，使

得直線45與平面5。所成的角為45。，連接AC,得到如圖2所示的三棱錐A-BCD

(1)證明：平面A8￡)J_平面3cD；

(2)若三棱錐A—BCD中，二面角。-AC-5的大小為60。，求三棱錐A—5CD的體積

19.(12分)已知橢圓。：「+卓=1(。〉6〉0)的右焦點為尸。,0),且經(jīng)過點。(、歷,日

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左頂點為P,過點口的直線/(與x軸不重合)交橢圓于A3兩點，直線E4交直線:x=2a于點”,

若直線/'上存在另一點N,使網(wǎng)0.網(wǎng)=0.求證：P，氏N三點共線.

X2v21

20.(12分)已知橢圓C：—+2=1(?！?〉0)的一個頂點為A(2,0),離心率為直線y=Ax與橢圓。交于

不同的兩點M,N

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3

(2)當(dāng)4W的面積為一時，求人的值

2

21.(12分)已知關(guān)于x的不等式V—3公+2<0的解集為人={]|141〈耳.

(1)求。，?的值;

9

(2)若XEA,^f(x)=(3a-b)x--一丁的最小值，并求此時工的值.

{a-b)x

22.(10分)已知尸={%僅2—8x—20W0},非空集合S={x|l一機3爛1+m}.若是的必要條件，求機的取值

范圍

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解題分析】根據(jù)題意，對四個選項一一進(jìn)行分析，舉出例子當(dāng)x=L〉O時，lnx<0,即可判斷A選項；根據(jù)特稱

2

命題的否定為全稱命題，可判斷B選項；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項.

【題目詳解】解：對于A,當(dāng)％=!〉0時，lnx<0,lnx+—<0,故A正確；

2Inx

對于B,根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，

得"Hxe(O,十》),lnx=x-l"的否定是"Vxe(0,+oo),lnxwx-l",故B正確；

對于C,當(dāng)2且>22時，/+J/?4成立；

當(dāng)好+/?4時，卻不一定有2且y22,如x=5,y=O,

因此“％之2且>22”是“必+/24”的充分不必要條件，故C錯誤；

對于D,因為當(dāng)awO時，ab有可能等于0,當(dāng)ab/O時，必有awO,

所以"awO”是的必要不充分條件，故D正確.

故選：C.

2、B

【解題分析】利用空間向量的加、減運算即可求解.

E

B

由題意可得AG=AE+EG=AE+LM=AE+，(SF—SE)

33、)

41411/\

=——SE+-SF=——SE+--(SB+SC)

33332、'

=---SA+-(SB+SC\=--a+-b+-c

326、'366

故選：B.

3、A

【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)來求得了(%)的極值.

【題目詳解】/(%)的定義域為(。,+8),

￡、1—lnx

八司=［「，

“X)在(0,e)J(x)>0"(%)遞增；在(e,)J(x)<0"(x)遞減，

所以/(%)的極大值為/'(e)=L沒有極小值.

e

故選：A

4、D

【解題分析】直線與圓相切，直接通過2=/求解即可.

2

【題目詳解】因為直線x+ay—2=0與圓V+y2=i相切，所以圓心到直線的距離d=7^=1,所以儲=3,

a—±\/3?

故選：D

5、B

【解題分析】以。為坐標(biāo)原點，口4,。。,。〃所在直線分別為》軸，》軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直

的坐標(biāo)表示求出產(chǎn)。=(1,1,-1),再利用向量的坐標(biāo)運算可得8。=-PQ,根據(jù)共線定理即可判斷.

【題目詳解】設(shè)正方體的棱長為1.

以。為坐標(biāo)原點，所在直線

分別為了軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則函=(1,0,1),"=(-1,1,0).

a+c=0

設(shè)PQ=(a,0,c),則八八，取PQ=(1,1,—1).

-a+b=0

B0=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-PQ，

:.PQ/IBDV:.PQI/BDX.

故選:B

【題目點撥】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解題分析】A.寫出原命題的否命題，即可判斷其正誤；

B.根據(jù)為真命題可知的p,〃真假情況，由此判斷“人4的真假；

C.看命題“x=1”能否推出“爐_3%+2=0”，即可判斷；

D.根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的要求，即可判斷該命題的正誤.

【題目詳解】A.命題“若x=y,則sinx=siny"，其否命題為若“x/y,則sinx/siny”為假命題，因此A不正確;

B.命題“Pvq，，為真命題，則p,g中至少有一個為真命題，當(dāng)二者為一真一假時，0人4為假命題，故B不正確

C.命題“若x=l,則3x+2=0”為真命題，故C正確;

D.命題0：x2+x+l<On，為特稱命題，其命題的否定："X/xeH,x2+x+l>0"，故D錯誤,

故選：C

7、B

【解題分析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時，一次項對應(yīng)系數(shù)之積的和等于0,計算求得。的值

【題目詳解】???直線小ax+2y=0與直線，2：2x+(2a+2)y+l=0垂直，

,,2

/.ax2+2x(2a+2)=0,求得a=-----,

3

故選：B

8、D

【解題分析】不妨設(shè)雙曲線方程為$V,,c〃八，

靛一中=1(a>0,b>0)

則e=￡=若，即c=ga,設(shè)焦點為(c,0),漸近線方程為y=

aa

\bc\beI~

貝!亍-=一=b=2y/2,Xb~=c2-a2=8,

yJa-+b2c

解得a=2,c=2百.則焦距為4G.選：D

9、C

【解題分析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.

【題目詳解】如示意圖，

由題意，iaai=R+r=4r,則|0幽|=#0.FT02MF=岳r，

又|0。|=2^=2r，|OjE|=3r,所以|所|=2』。也『—|00『=,

后"。陽|V15r6

\EF\2舟2

故選：C.

10、A

【解題分析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長，根據(jù)角度求得A點的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得。的值.

【題目詳解】設(shè)等邊三角形Q旬的邊長為。，

貝！］走〃=46，解得〃二4

4

TT

根據(jù)拋物線的對稱性可知NAOx=—,且。4=a=4,

6

設(shè)點A在x軸上方，則點A的坐標(biāo)為］。^cos^Qsinf,即（26,2）,

將（2班,2）代入拋物線方程得22=2。?26，

解得°=走，故拋物線方程為丫2=2.3.x=2叵%

333

故選：A

11、A

【解題分析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化

由點M的極坐標(biāo)知夕=10,8=工

I3J3

X-pCOS0（I7171r-

極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為｛.C，所以HI.的直角坐標(biāo)為x=10cos—=5,y=10sin—=56

y=psm0I3J33

即（5,5@

故正確答案為A

12、C

【解題分析】對于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；

對于C：利用作差法證明.

【題目詳解】對于A：取。=-1力=-2符合已知條件，但是。+匕>0不成立.故A錯誤；

對于B：取a=l,b=-2符合已知條件，但是工=1,：=—工，所以工〈，不成立.故B錯誤；

ab2ab

對于C：因為a>6,所以a—b>0.故C正確；

對于D：取a=l力=—2,c=-1符合已知條件，但是ac=—l,bc=2,所以ac>仇?不成立.故D錯誤；

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、式

【解題分析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖像平移法則和正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題.

【題目詳解】解：由題意得:

函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移。個單位后得:

.__21、

/(x)=sin2(x+a)-^-—sin(z2x+2〃—)

該函數(shù)與原函數(shù)圖像重合故sin(2x+2a——)=sin(2x——)

33

27r27r

可知2a------=2k兀-----(左eZ),即4=左萬(左eZ)

33

故當(dāng)％=1時，a=n最小正實數(shù).

故答案為：兀

14、①③④

【解題分析】通過“，〃的取值判斷焦點坐標(biāo)所在軸，判斷①，求出圓的半徑判斷②；通過求解雙曲線的漸近線方程,

判斷③；利用m=0,n>0,判斷曲線是否是兩條直線判斷④

【題目詳解】解：①若加>〃>0,則0<上<工，

mn

22

乙+乙=1

因為方程化為：￡2一，焦點坐標(biāo)在y軸，所以①正確；

mn

②若機=〃>0,則C是圓，其半徑為：不一定是薪，所以②不正確;

Vn

③若加<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為化簡可得y=±

④若m=0,n>0,方程化為〃/=1,則c是兩條直線,所以④正確;

故答案為：①③④

15、G

【解題分析】先由題得到tan750-tanl50=^+A/5tan750tanl5°，再整體代入化簡即得解.

【題目詳解】因為tan(75°-15°)=里巴曰^=6，

'71+tan75tan15

所以tan75°—tan15°=-J3+Gtan75°tan15°，

貝(1tan75°—tan15°—若tan75°tan15=百+百tan75°tan15°一百tan75°tan15=6

故答案為百

【題目點撥】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

【解題分析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】取。的中點。，以。為原點，以。所在直線為X軸，

以底面內(nèi)過點。且與。垂直的直線為y軸，

以過點。且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AB=2,則4(0,-U),5(0,1,1),C(-l,0,0),

￡>(1,0,0),AC=(-1,1,-1),=

一\AC-BD\11

『=工

所以cos(AC,BD)=-,----n----1=-F=~，

'/|AC|.|BD|73X733

所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為!

故答案為：—

3

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)0.0075；(2)230,224；(3)5

【解題分析】(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=l,解方程可得；(2)由直

方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在［220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a,解方程(0.002+0.0095+0.011)

x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；(3)可得各段的用戶分別為25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)

試題解析：(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1得：

x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075..........3分

220+240

⑵月平均用電量的眾數(shù)是---------=230..........5分

2

H^(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在［220,240)內(nèi),

設(shè)中位數(shù)為a,

由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5

得：a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.........8分

⑶月平均用電量為［220,240）的用戶有0.0125x20x100=25戶，

月平均用電量為［240,260）的用戶有0.0075x20x100=15戶，

月平均用電量為［260,280）的用戶有0.005x20x100=10戶，

月平均用電量為［280,300］的用戶有0.0025x20x100=5戶，.................10分

抽取比例=二~------=:，所以月平均用電量在［220,240）的用戶中應(yīng)抽取25x2=5戶.-12分

考點：頻率分布直方圖及分層抽樣

18、（1）證明見解析；

（2）

3

【解題分析】（1）過A作短，面連接3E,結(jié)合題設(shè)易知AB="4E=同。，根據(jù)過面外一點在該面上

垂線性質(zhì)知重合，再應(yīng)用面面垂直的判定證明結(jié)論.

（2）面中過。作。結(jié)合題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)3C=a>0并確定相關(guān)點坐標(biāo)，求面ABC、

面ADC法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)，最后由棱錐體積公式求體積.

【小問1詳解】

由題設(shè)，易知：△是等腰直角三角形，即/鉆。=45°,

將△至。沿折起過程中使直線A5與平面5c。所成的角為45。，此時過A作4￡_1_面8。￡）,連接3E,如下圖示,

所以NAB￡=45°,在RtAABE中AB=JL1E，又AB=0AD且瓦。e面

因為過平面外一點有且只有一條垂線段，故E,。重合，此時面

又ADu面故平面A3。，平面5C。；

【小問2詳解】

在平面中過。作。由（1）結(jié)論可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系,

由AD/ABC,ADLBD，AD=BD=2,若BC=a>0,

uuu

則。(0,0,0),40,0,2),5(2,0,0),C(2,a,0),故AC=(2,Q,—2),AB=(2,0,-2),ZM=(0,0,2)，

m-AC=2x+ay-2z=0

若m=(%,y,z)是面ABC的一個法向量，貝叫，若x=l,則機=(1,0,1),

m-AB=2x-2z=0

n-AC=2a-^-a6-2y=0

若〃=(a,夕,7)是面ADC的一個法向量，貝!,若/?=2,則〃=(一〃,2,。)，

［小DA=2/=0

..|—CL|1

所以，由二面角￡)—AC—6的大小為60。有1＜：05＜根,〃〉|=亍一===-,解得。=2,

V2XV4+G2*42

114

22

19、(1)—+^=1；

43

(2)證明見解析.

【解題分析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長2a即可計算作答.

⑵根據(jù)給定條件設(shè)出/的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出直線如的方程并求出點”的坐標(biāo)，求出點N的坐標(biāo)，再

利用斜率推理作答.

【小問1詳解】

依題意，橢圓C的左焦點/(-1,0),由橢圓定義得：

2a=1Q尸I+1QF'\=-1)2+(等尸++1)2+

=g-2后+

+、(2+f=4

即a=2,則尸=/—1=3,

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1.

43

【小問2詳解】

由(1)知，P(-2,0),直線/不垂直y軸，設(shè)直線/方程為x=my+l,4>1，%),5(%,%)，

[x=my+\,,—6m-9

由《2消去X得：(3/77+4)y-+6my-9=0,則%+%=，.，%%=24，

2々文

3x+4y=123m+43m+4

直線24的斜率％=上；，直線K4的方程：而直線？：x=4,即M(4,且、),

%+2國+2占+2

6.

-----X-

直線的斜率7_為+2_2yl,而FM-FN=O,即E/V_L￡M,直線FN的斜率左印=一」7

2

直線FN的方程：丁=一竽2。-1),則點N(4,-?9),

2%2%

3%+6

直線網(wǎng)的斜率上PB=上力，直線PN的斜率72%為+2,

4-(-2)4yl

=%_(為+2=%,叫+3=(療+4)-%+37mx+%)+9

PBPN

X2+24%即2+34%4乂(根%+3)'

而⑺2+書/%+3皿/+%)+9=+；：：：+9=0，即kpB=kpw

所以R&N三點共線.

【題目點撥】思路點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元

二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系

22

20、(1)—+^=1

43

⑵+亞

一26

【解題分析】(1)由橢圓C的一個頂點為A(2,0),得到。=2,再由橢圓的離心率為:，求得c=l,進(jìn)而求得橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)由橢圓的對稱性得到5陋=|%-%|，聯(lián)立方程組求得y=±J」與，根據(jù)4VW的面積為2,列出方程