高中數(shù)學熱點題型增分練專題18等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質學生版新人教A版選擇性必修第二冊

專題18等比數(shù)列范圍最值及函數(shù)性質【題型一】等比數(shù)列前n項積【典例分析】已知等比數(shù)列滿意，記，則數(shù)列（

）A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【提分秘籍】基本規(guī)律可以類比前n項和求通項過程來求數(shù)列前n項積：1.n=1，得a12.n時，所以【變式訓練】1.已知等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和之積為，設等差數(shù)列的公差為d、等比數(shù)列的公比為q，則以下結論正確的個數(shù)是（

）①

②

③

④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2..已知為等比數(shù)列，的前n項和為，前n項積為，則下列選項中正確的是（

）A．若，則數(shù)列單調遞增B．若，則數(shù)列單調遞增C．若數(shù)列單調遞增，則D．若數(shù)列單調遞增，則3.設正項等比數(shù)列的前項和為，，．記，下列說法正確的是（

）A．數(shù)列的公比為 B．C．存在最大值，但無最小值 D．【題型二】與通項和Sn有關的正負比較【典例分析】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn，則下列結論正確的是（）A．若a1+a2＞0，則a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，則a1+a2＞0C．若a1＞0，則S2021＞0 D．若a1＞0，則S2020＞0【變式訓練】1.設等比數(shù)列的前n項和為，其中，則下列說法正確的是（

）A．若，則（，2，3．…）B．若，則（，2，3．…）C．若，則（，2，3，…）D．若，則（，2，3，…）2.等比數(shù)列各項均為實數(shù)，公比為，給出以下三個結論：①若，則；②若，且，則；③若，則．其中全部正確結論的個數(shù)為（

）A． B． C． D．3.已知等比數(shù)列的前項和為，下列肯定成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【題型三】等比數(shù)列函數(shù)性質【典例分析】設無窮等比數(shù)列，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【提分秘籍】基本規(guī)律比數(shù)列與函數(shù)關系：(1)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，an＝a1qn-1，通項an為指數(shù)函數(shù)：即an＝a1qx-1；(2)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn＝，Sn為型線性指數(shù)函數(shù)【變式訓練】1.設是等比數(shù)列，則“對于隨意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2.．在等比數(shù)列中，已知，，則數(shù)列為（

）．A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．無法確定單調性3.數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【題型四】等比數(shù)列與范圍【典例分析】已知三角形的三邊構成等比數(shù)列，它們的公比為，則可能的一個值是（

）A． B． C．2 D．【提分秘籍】基本規(guī)律1.涉及到首項和公比的不等式（組）關系。2.一般狀況下，不等式組可以參考“線性規(guī)劃”學問【變式訓練】1.為等比數(shù)列的前項和，，，則公比的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.已知等比數(shù)列各項均為實數(shù)，其前項和為，則：“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3.已知等比數(shù)列的前5項積為32，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【題型五】等比數(shù)列最值【典例分析】已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，若，為數(shù)列的前n項和，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．【變式訓練】1.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比，若，，數(shù)列的前n項和為Sn，則取最大值時，n的值為（

）A．8 B．8或9 C．9 D．172.等比數(shù)列中，若，則（

）A．與都有最小值B．與都有最小值C．當時有最小值，有最大值D．當時與都有最大值3.已知正項等比數(shù)列的前項和，滿意，則的最小值為（

）A．

B．3

C．4 D．12【題型六】恒成立求參【典例分析】已知數(shù)列中，其前項和為，且滿意，數(shù)列的前項和為，若對恒成立，則實數(shù)的值可以是（

）A． B．2 C．3 D．【提分秘籍】基本規(guī)律數(shù)列恒成立，可以參考函數(shù)恒成立形式：n為自然數(shù)(1)a≥f(n)恒成立?a≥f(n)max；(2)a≤f(n)恒成立?a≤f(n)min.【變式訓練】1.已知數(shù)列的通項公式為，其前n項和為，將數(shù)列的前4項去掉其中一項后，剩下三項按原來的依次恰為等比數(shù)列的前3項，記數(shù)列的前n項和為，若對隨意的，，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.已知數(shù)列滿意，且，，其前n項和為，若對隨意的正整數(shù)n，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.已知數(shù)列的前項和為，且滿意，若對于隨意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【題型七】等比數(shù)列復合型：“下標數(shù)列”【典例分析】已知數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，設，，當時，n的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式訓練】1.已知數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則A． B． C． D．2.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且首項，公比，則數(shù)列的前8項的和為（

）A． B．C． D．3.數(shù)列滿意，，，若，則k=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【題型八】遞推公式構造等比型【典例分析】若數(shù)列和滿意，，，，則（

）A． B． C． D．【變式訓練】1.已知數(shù)列滿意，且，，則（

）A． B． C． D．2.已知數(shù)列滿意，，則（

）A． B． C． D．3.已知數(shù)列的前項和為，，，若，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【題型九】遞推：二階等比數(shù)列【典例分析】數(shù)列的首項，且，令，則（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【提分秘籍】基本規(guī)律形如為常數(shù)）,構造等比數(shù)列。特別狀況下，當q為2時，=p，如變式1【變式訓練】1..已知數(shù)列中滿意，，若前n項之和為，則滿意不等式的最小整數(shù)n是（

）A．2008 B．2014 C．2021 D．20222.通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．1083..已知數(shù)列的首項為，且滿意，其前項和為，則滿意不等式的的最小正整數(shù)值為（

）A． B．10 C． D．【題型十】等比數(shù)列文化應用題【典例分析】2019年11月11日是石室中學周年校慶日，學校數(shù)學愛好者社團組織“解題迎校慶，我愛”的活動.其中一題如下：已知數(shù)列，其中第一項是，接下來的兩項是，，再接下來的三項是，，，依此類推.若該數(shù)列前項和為，則求滿意，且是的倍數(shù)條件的整數(shù)的個數(shù)為A．10 B．12 C．21 D．60【變式訓練】1.習近平總書記在黨的二十大報告中提出：堅持以人民為中心發(fā)展教化，加快建設高質量教化體系，發(fā)展素養(yǎng)教化，促進教化公允，加快義務教化優(yōu)質均衡發(fā)展和城鄉(xiāng)一體化．某師范高校學生會為貫徹黨的二十大精神，成立“送教下鄉(xiāng)志愿者服務社”，分期分批派遣大四學生赴鄉(xiāng)村支教．原安排第一批派遣20名學生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人數(shù)暴漲，服務社臨時確定變更派遣安排，詳細規(guī)則為：把原安排擬派遣的各批人數(shù)依次構成的數(shù)列記為，在數(shù)列的隨意相鄰兩項與（，2，）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列．按新數(shù)列的各項依次派遣支教學生．記為派遣了70批學生后支教學生的總數(shù)，則的值為（

）A．387 B．388 C．389 D．3902.集合論是德國數(shù)學家康托爾于十九世紀末創(chuàng)立的，希爾伯特贊譽其為“數(shù)學思想的驚人產物，在純粹理性范疇中人類活動的最美表現(xiàn)之一”.取一條長度為1的線段，將它三等分，去掉中間一段，留下的兩段分割三等分，各去掉中間一段，留下更短的四段，……，將這樣操作始終接著下去，直至無窮.由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段的數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限狀況下，得到一個離散的點集，稱為康托爾三分集.若在前次操作中共去掉的線段長度之和不小于，則的最小值為（

）（參考數(shù)據：，）A．9 B．8 C．7 D．63.為響應國家加快芯片生產制造進程的號召，某芯片生產公司于2020年初購買了一套芯片制造設備，該設備第1年的修理費用為20萬元，從第2年到第6年每年修理費用增加4萬元，從第7年起先每年修理費用較上一年上漲25%．設為第n年的修理費用，為前n年的平均修理費用，若萬元，則該設備接著運用，否則從第n年起需對設備進行更新，該設備需更新的年份為（

）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029培優(yōu)第一階——基礎過關練1．數(shù)列滿意，且，則（

）A．4 B． C． D．2．已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前項和，且，則（

）A．31 B． C．31或5 D．或53．設等比數(shù)列中，，，則（

）A．16 B．32 C．12 D．184．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且，則（

）A．128 B．127 C．126 D．1255．已知等比數(shù)列中，，且，那么的值是（

）.A．15 B．31 C．63 D．646．我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不犯難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關.要見每朝行里數(shù)，請公細致算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最終一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里7．在等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．868．數(shù)列中，，，若，則（

）A．10 B．9 C．11 D．89．設等比數(shù)列的前n項和為，前n項的倒數(shù)之和為，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列是（

）A．以1為首項，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項，3為公比的等比數(shù)列培優(yōu)其次階——實力提升練1．已知，若3是與的等比中項，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．92．小明同學在課外閱讀中看到一個趣味數(shù)學問題“在64個方格上放米粒：第1個方格放1粒米，第2個方格放2粒米，第3個方格放4粒米，第4個方格放8粒米，第5個方格放16粒米，……，第64個方格放粒米．那么64個方格上一共有多少粒米？”小明想：第1個方格有1粒米，前2個方格共有3粒米，前3個方格共有7粒米，前4個方格共有15粒米，前5個方格共有31粒米，……．小明又發(fā)覺，，，，，，……．小明又查到一個數(shù)據：粒米的體積大約是1立方米，全球的耕地面積大約是平方米，，．依據以上信息，請你幫小明估算，64個方格上全部的米粒覆蓋在全球的耕地上厚度約為（

）A．0.0012米 B．0.012米 C．0.12米 D．1.2米3．數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．正項數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（

）A． B．[3，9] C． D．[3，15]5．已知數(shù)列滿意，則（

）A． B． C． D．6．在數(shù)列中.，是其前n項和，當時，恒有、、成等比數(shù)列，則___________7．等比數(shù)列的公比，且，則使＞成立的正整數(shù)n的取值范圍為____．8．已知是等比數(shù)列，公比大于1，且，．記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，則數(shù)列的前30項的和的值為______．9．將數(shù)列與的全部項放在一起，按從小到大的依次排列得到數(shù)列，則______．10．已知數(shù)列?滿意:?，則數(shù)列?的前?項和?為_______培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．已知數(shù)列?滿意:?，則數(shù)列?的前?項和?為_______2．已知等差數(shù)列的前項利為，若，，1成等比數(shù)列，且，則的公差的取值范圍為______．3．已知在正項等比數(shù)列中成等差數(shù)列，則__________．4．已知數(shù)列滿意，設，為數(shù)列前n項和，若（為常數(shù)），則最小值為__________.5．數(shù)列中，，，若不等式對全部的正奇數(shù)恒成立