數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案第十一章第2講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

第2講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

考綱展示命題探究

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

(1)隨機(jī)抽樣

［理解隨機(jī)油樣的必要性和重要性.2會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解

分層抽樣和系統(tǒng)曲樣方法.

(2)用樣本估計(jì)總體1.內(nèi)容探究：系統(tǒng)抽樣、

抽樣方法與總體分①了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉分層抽樣的方法，解決

布的估計(jì)圖，理解它們各自的特點(diǎn).②理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.抽取樣本的相關(guān)系數(shù)問(wèn)

難從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并給出合理的解釋.題，頻率分布直方圖的

④會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字相關(guān)計(jì)算(求頻率、頻

特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想.⑤會(huì)用隨機(jī)油樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想數(shù)等)，樣本數(shù)據(jù)的數(shù)

解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.字特征(平均數(shù)、方差、

標(biāo)準(zhǔn)差)，散點(diǎn)圖與相

(1)變量間的相關(guān)關(guān)系

關(guān)關(guān)系，線性回歸方程

D會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系.②了解

與獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際生

最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.

活中的應(yīng)用.

(2)統(tǒng)計(jì)案例

.形式探究：本講內(nèi)容

變量間的相關(guān)關(guān)系、了解下列一些常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.2

統(tǒng)計(jì)案例高考中以選擇題或解答

￡獨(dú)立性檢驗(yàn)

題形式出現(xiàn).

了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2x2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.

刎歸分析

了解回歸分析的基本思想、方法及其筒單應(yīng)用.

。劇考點(diǎn)一抽樣方法與總體分布的估計(jì)

避房基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1抽樣方法

(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念

設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取〃(八WN)個(gè)個(gè)

體作為樣本，如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相

笠，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

(2)特點(diǎn)與方法

抽取的個(gè)體數(shù)較小

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽逐個(gè)抽取

簡(jiǎn)樣的特點(diǎn)

單是不放回抽取

隨

機(jī)

抽是等可能抽取

樣

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽抽簽法

樣的方法

隨機(jī)數(shù)法

(3)系統(tǒng)抽樣的概念

當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分,然后

按照預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本,

這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣(也稱(chēng)為機(jī)械抽樣或等距抽樣).

(4)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)

①適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體.

②各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等.

③總體分組后，在起始部分采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

④如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為左=，

如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余

數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣.

(5)分層抽樣的概念

在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層,然后按照一定的比例，從

各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體,將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣

本，這種抽樣方法就叫做分層抽樣.

(6)分層抽樣的步驟

①分層：按某種特征將總體分成若干部分.

②按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù).

③各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽取個(gè)體.

④綜合每層抽樣，組成樣本.

2用樣本估計(jì)總體

(1)頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：

①求極差，即求一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.

②決定組距與組數(shù).

③將數(shù)據(jù)分組.

④列頻率分布表.落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)，每小組

的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率.計(jì)算各小組的頻率，

列出頻率分布表.

⑤畫(huà)頻率分布直方圖.依據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖，其中

縱坐標(biāo)(小長(zhǎng)方形的高)表示頻率與組距的比值，其相應(yīng)組距上的頻率

頻率

等于該組上的小長(zhǎng)方形的面積，即每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積=組距X篇

=頻率.

這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組

的頻率的大小，各個(gè)小長(zhǎng)方形面積的總和等于1.

(2)頻率分布折線圖和總體密度曲線

①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的史

點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖.

②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作頻率分布直方圖時(shí)所

分的組數(shù)也在增加，相應(yīng)的頻率分布折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑

曲線，統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)這條光滑曲線為總體密度曲線.

(3)莖葉圖

莖葉圖是統(tǒng)計(jì)中用來(lái)表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是指中間的一列數(shù),

葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的一組數(shù)據(jù)：若數(shù)據(jù)是兩位

整數(shù)，則將十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)字作葉；若數(shù)據(jù)是三位整數(shù)，則將

百位、十位數(shù)字作莖，個(gè)位數(shù)字作葉.樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時(shí)做類(lèi)似處理.

對(duì)于樣本數(shù)據(jù)較少，且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù)，關(guān)鍵是找到兩

組數(shù)據(jù)共有的莖.

(4)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

定義特點(diǎn)

體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中

在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多

眾數(shù)點(diǎn)，不受極端值的影響，而且

的數(shù)據(jù)

不唯一

將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次

中位數(shù)不受極端值的影響，僅

中位排列，處在最中間位置的一個(gè)

利用了排在中間數(shù)據(jù)的信息，

數(shù)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平

只有一個(gè)

均數(shù))

平均與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，只有

樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

數(shù)一個(gè)

(5)極差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差

定義特點(diǎn)

反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)

情況，一般情況下，

極差大，則數(shù)據(jù)波動(dòng)

極差一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差性大；極差小，則數(shù)

據(jù)波動(dòng)性小，但極差

只考慮兩個(gè)極端值，

可靠性較差

反映了各個(gè)樣本數(shù)據(jù)

標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均

聚集于樣本平均數(shù)周

是巨離，即5=

標(biāo)準(zhǔn)差圍的程度.標(biāo)準(zhǔn)差越

-X)2+(%2-%)2+…+(%"-X)2小，表明各個(gè)樣本數(shù)

據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)?/p>

越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越大，

表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在

樣本平均數(shù)的兩邊越

分散

同標(biāo)準(zhǔn)差一樣用來(lái)衡

標(biāo)準(zhǔn)差的平方，即=

?量樣本數(shù)據(jù)的離散程

方差1————

-[(xi—x)2+(%2-x)2H------x)2]度，但是平方后夸大

了偏差程度

市》注意點(diǎn)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的關(guān)系

(1)眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量，平

均數(shù)是最重要的量.

(2)平均數(shù)反映的是樣本個(gè)體的平均水平，眾數(shù)和中位數(shù)則反映

樣本中個(gè)體的“重心”.

(3)實(shí)際問(wèn)題中求得的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)應(yīng)帶上單位.

SB小題快做：

1.思維辨析

(1)系統(tǒng)抽樣在第1段抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.()

(2)若為了適合分段或分層而剔除幾個(gè)個(gè)體后再抽樣，則對(duì)剔除

的個(gè)體來(lái)說(shuō)是不公平的.()

(3)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù).()

(4)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大.()

(5)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在

該區(qū)間內(nèi)的頻率越［Wj.()

(6)莖葉圖中的數(shù)據(jù)要按從小到大的順序?qū)懀嗤臄?shù)據(jù)可以只

記一次.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V(5)V(6)X

2.如圖是容量為150的樣本的頻率分布直方圖，則樣本數(shù)據(jù)落

在［6,10)內(nèi)的頻數(shù)為()

C.60D.80

答案B

解析XX150=48.

3.為了檢查某超市貨架上的飲料是否含有塑化劑，要從編號(hào)依

次為1到50的塑料瓶裝飲料中抽取5瓶進(jìn)行檢驗(yàn)，用每部分選取的

號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法確定所選取的5瓶飲料的編號(hào)可能是

()

A.5,10,15,20,25B.2,4,8,16,32

C.1,2,3,4,5D.7,17,27,37,47

答案D

解析利用系統(tǒng)抽樣，把編號(hào)分為5段，每段10個(gè)，每段抽取

一個(gè)，號(hào)碼間隔為10.

播法命題法解題法

於［考法綜述］高考對(duì)隨機(jī)抽樣的考查常以實(shí)際應(yīng)用為背景考

查樣本的抽取，特別是分層抽樣與系統(tǒng)抽樣的理解與計(jì)算.利用樣本

頻率分布估計(jì)總體分布是高考熱點(diǎn)，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布

直方圖，小題一般較容易，大題往往結(jié)合概率考查，難度中等.

命題法1抽樣方法

典例1(1)已知某單位有40名職工，現(xiàn)要從中抽取5名職工，

將全體職工隨機(jī)按1?40編號(hào)，并按編號(hào)順序平均分成5組.按系統(tǒng)

抽樣方法在各組內(nèi)抽取一個(gè)號(hào)碼.若第1組抽出的號(hào)碼為2,則所有

被抽出職工的號(hào)碼為.

(2)某個(gè)年級(jí)有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從

該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)

為.

[解析](1)由系統(tǒng)抽樣知識(shí)知，第一組1?8號(hào)；第二組為9?16

號(hào)；第三組為17?24號(hào)；第四組為25?32號(hào)；第五組為33?40號(hào).

第一組抽出號(hào)碼為2,則依次為10,18,26,34.

()抽取比例為=郎所以樣本中男生人數(shù)為

25"6在0+4鼠20=9oU/

560x1=160.

[答案](1)2,10,18,26,34(2)160

9【解題法】三種抽樣方法的比較

類(lèi)別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

從總體中逐個(gè)總體中的個(gè)

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣—

抽取數(shù)較少

是不放回將總體均分成

抽樣，抽樣幾部分，按事在起始部分抽

總體中的個(gè)

系統(tǒng)抽樣過(guò)程中，每先確定的規(guī)樣時(shí)，采用簡(jiǎn)

數(shù)比較多

個(gè)個(gè)體被則，在各部分單隨機(jī)抽樣

抽到的機(jī)抽取

會(huì)(概率)相各層抽樣時(shí)，

將總體分成幾總體由差異

等采用簡(jiǎn)單隨機(jī)

分層抽樣層，分層進(jìn)行明顯的幾部

抽樣或者系統(tǒng)

抽取分組成

抽樣

命題法2用樣本估計(jì)總體

典例2(1)某校100名學(xué)生期中考試語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方

圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100].

①求圖中。的值；

②根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分；

③若這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)⑴與數(shù)學(xué)成績(jī)相

應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)（y）之比如下表所示，求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,90）之外的人

數(shù).

分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

%：y1:12：13:44：5

（2）為了比較兩種治療失眠癥的藥（分別稱(chēng)為A藥，5藥）的療效，

隨機(jī)地選取20位患者服用4藥，20位患者服用5藥，這40位患者

在服用一段時(shí)間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間（單位：h）.試

驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下：

服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間：

服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間:

①分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更

好？

②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更

好？

_____________

0.

1.

2.

3.

［解］(1)①由頻率分布直方圖可知：

(2^+0.04+0.03+0.02)X10=1,所以a=0.005.

②根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)的平均分為

55X0.05+65X0.4+75X0.3+85X0.2+95X0.05=2.75+26+22.5

+17+4.75=73(分).

③根據(jù)頻率分布直方圖及表中數(shù)據(jù)得：

分?jǐn)?shù)段Xy

[50,60)55

[60,70)4020

[70,80)3040

[80,90)2025

二?數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)冢?0,90)之外的人數(shù)為100—5—20—40—25=10.

(2)①設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x,B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

y，

由觀測(cè)結(jié)果可得

x=/(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5

+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,

y=^(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+l.l+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6

+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6.

由以上計(jì)算結(jié)果可知：%>y,由此可看出A藥的療效更好.

②由觀測(cè)結(jié)果可繪制如下莖葉圖：

A藥B藥

60.55689

855221.122346789

98776543322.14567

52103.2

7

從以上莖葉圖可以看出，A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有右的葉集中在

7

“2.”，“3.”上，而5藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有正的葉集中在“0.”，“1.”上，

由此可看出A藥的療效更好.

Q【解題法】用樣本估計(jì)總體的解題策略

（1）用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均

數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似.實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)平均數(shù)不相等時(shí)，需先

分析平均水平，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（方差）分析穩(wěn)定情況.

（2）若給出圖形，一方面可以由圖形得到相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，再計(jì)

算平均數(shù)、方差（標(biāo)準(zhǔn)差）；另一方面，可以從圖形直觀分析樣本數(shù)據(jù)

的分布情況，大致判斷平均數(shù)的范圍，并利用數(shù)據(jù)的波動(dòng)性大小反映

方差（標(biāo)準(zhǔn)差）的大小.

健題對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單

位：萬(wàn)噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是（）

2700--------------------------------------------------------------------------------------------------

2600..........................pq................................................................................................

2500......................................=...................................................................................

2400..........................'.....................................................................................................

2300..................................................尸..............................

2200...................................................—…r77]…一■—[?…廠.............

2100.........................s..........................................................................尸|.......

2000

19?！?004年2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年

A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

答案D

解析根據(jù)柱形圖可觀察兩個(gè)變量的相關(guān)性，易知A、B、C正

確,2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故

選D.

2.若樣本數(shù)據(jù)內(nèi)，%2,…，X10的標(biāo)準(zhǔn)差為8,則數(shù)據(jù)2%1—1,2%2

—1,…，2xio-1的標(biāo)準(zhǔn)差為（）

A.8B.15

C.16D.32

答案C

解析由標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)知，2用一1,2%2—1,…2%i（）—1的標(biāo)準(zhǔn)差為

2X8=16,故選C.

3.重慶市2013年各月的平均氣溫（℃）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：

338

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

19

21.5

答案B

解析根據(jù)莖葉圖及中位數(shù)的概念，由莖葉圖知，該組數(shù)據(jù)的中

20+20

位數(shù)為=20.故選B.

4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)

收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254

粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）

A.134石B.169石

C.338石D.1365石

答案B

解析根據(jù)樣本估計(jì)總體，可得這批米內(nèi)夾谷約為急

乙JI

X1534七169石.故選B.

5.某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其

性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）

A.167B.137

C.123D.93

答案B

解析初中部女教師的人數(shù)為110X70%=77,高中部女教師的

人數(shù)為150X(1—60%)=60,則該校女教師的人數(shù)為77+60=137,

故選B.

6.對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為〃的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨

機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)

個(gè)體被抽中的概率分別為Pl，P2,P3,則()

A.pi=p2Vp3B.P2=P3<〃1

C.P1=P3<P2D.P1=P2=P3

答案D

解析由隨機(jī)抽樣定義可知，每個(gè)個(gè)體成為樣本的概率相等，故

選D.

7.為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn).所

有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12,13),[13,14),

[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,

第二組，……，第五組.如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方

圖.已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，

則第三組中有療效的人數(shù)為()

0.36

C.12D.18

答案C

解析設(shè)樣本容量為m

由題意，得(0.24+0.16)義1義”=20,解得〃=50.

X1X5O=18.

因?yàn)榈谌M中沒(méi)有療效的有6人，所以第三組中有療效的人數(shù)為

18-6=12.

8.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)(單位：分鐘)的莖

葉圖如圖所示.

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1?35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從

中抽取7人,則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間［139,151］上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是

答案4

解析由系統(tǒng)抽樣方法知，應(yīng)把35人分成7組，每組5人，每

組按規(guī)則抽取1人，因?yàn)槌煽?jī)?cè)趨^(qū)間［139,151］上的共有4組，故成績(jī)

在區(qū)間［139,151］上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是4

9.為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹(shù)木

的底部周長(zhǎng)(單位：cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間［80,130］上，其頻率分布

直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹(shù)木中，有株樹(shù)木的底

部周長(zhǎng)小于100cm.

八頻率/組距

0.030.................................

0.025..........................

0.020.......................................

0.015..............—

0.010.............................................

08090100110120130底部周長(zhǎng)/cm

答案24

角星析60X(0.015+0.025)X10=24.

10.某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別

隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)

用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)

分布表.

A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

頻率/組距

0.040-

0.035-

().03()..................................

0.025-

0.020.........................……-------

0.015...........................................——

0.010................

0.005.........——I

LA/\------------------------------------1-----?

oY405()607()8()9()10()滿意度評(píng)分

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

評(píng)分分組

頻數(shù)2814106

(1)在圖中作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通

過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出

具體值，給出結(jié)論即可)；

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

⑵根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí):

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由.

解(1)

通過(guò)兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)

用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；B

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散.

(2)A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.

記CA表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；CB表

示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”.

由頻率分布直方圖得尸(CA)的估計(jì)值為(0.01+0.02+0.03)X10=

0.6,

P(CB)的估計(jì)值為(0.005+0.02)X10=0.25.

所以A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大.

11.某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表：

工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡工人編號(hào)年齡

140103619272834

244113120432939

340123821413043

441133922373138

533144323343242

640154524423353

745163925373437

842173826443549

943183627423639

(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一

分段里用隨機(jī)抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44,列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；

(2)計(jì)算⑴中樣本的均值三和方差

(3)36名工人中年齡在以一s與1+s之間有多少人？所占的百分

比是多少(精確到0.01%)?

解(1)由系統(tǒng)抽樣的知識(shí)可知，36人分成9組，每組4人，其

中第一組的工人年齡為44,所以其編號(hào)為2,故所有樣本數(shù)據(jù)的編號(hào)

為4八一2,九=1,2,…,9.其數(shù)據(jù)為：44,40,36,43,36,37,44,43,37.

44+40H——P37

=40.

(2)x=9

由方差公式知，$2=|[(44-40)2+(40-40)2H——P(37—40)2]=

y

100

~9~-

(3)因?yàn)?2=竽,所以S=￥〃(3,4),

所以36名工人中年齡在％—s和％+s之間的人數(shù)等于在區(qū)間

[37,43]內(nèi)的人數(shù)，

即40,40,41,…，39,共23人.

所以36名工人中年齡在三一s和1+s之間的人數(shù)所占的百分比

為宏763.89%.

12.某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度)，以[160,180),

[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分

組的頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

痂

(1)求直方圖中％的值；

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]

的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量

在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

解(1)依題意，20X(0.002+0.0095+0.011+0.0125+%+0.005

+0.0025)=1,解得％=0.0075.

(2)由題圖可知，最高矩形的數(shù)據(jù)組為[220,240),

220+240

眾數(shù)為

2=230.

'.'[160,220)的頻率之和為(0.002+0,0095+0,011)X20=0.45,

.??依題意，設(shè)中位數(shù)為y,

廠.0.45+(y-220)X0.0125=0.5.

解得y=224,

.?.中位數(shù)為224.

(3)月平均用電量在[220,240)的用戶在四組用戶中所占比例為

,0.0125+0,0075+0.005+0.0025)=1j-,

月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取11X亮=5(戶).

13.某校高三共有900名學(xué)生，高三模擬考之后，為了了解學(xué)生

學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣方法從中抽出若干學(xué)生此次數(shù)學(xué)成績(jī)，按成績(jī)

分組，制成如下的頻率分布表:

第一第二第三第四第五第六第七第八

組號(hào)

組組組組組組組組

合計(jì)

[70,8[80,9[90,1[100,[110,[120,[130,[140,

分組

0)0)00)110)120)130)140)150)

頻數(shù)64222018a105C

頻率b1

(1)確定表中a,b,c的值;

(2)為了了解數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的學(xué)生的心理狀態(tài)，現(xiàn)決定

在第六、七、八組中用分層抽樣方法抽取6名學(xué)生，在這6名學(xué)生中

又再隨機(jī)抽取2名與心理老師面談，求第七組中至少有一名學(xué)生被抽

到與心理老師面談的概率；

(3)估計(jì)該校本次考試的數(shù)學(xué)平均分.

解⑴因?yàn)轭l率和為1,所以辦=0.18,

因?yàn)轭l率=頻數(shù)/樣本容量，所以c=100,?=15.

(2)第六、七、八組共有30個(gè)樣本，用分層抽樣方法抽取6名學(xué)

生，每個(gè)被抽取的概率均為點(diǎn)，第七組被抽取的樣本數(shù)為1X10=2,

將第六組、第八組抽取的樣本分別用A,B,C,Z)表示，第七組抽出

的樣本用E,尸表示.

抽取2個(gè)的方法有A3、AC.AD.AE、A尸、BC、BD、BE、BF、

CD、CE、CF、DE、DF、EF,共15種.

3

其中至少含E或尸的取法有9種，則所求概率為

(3)估計(jì)平均分為75X0.06+85X0.04+95X0.22+105X0.2+

115X0.18+125X0.15+135X0.1+145X0.05=110.

附3考點(diǎn)二變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例

算"基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1回歸分析

(1)變量間的相關(guān)關(guān)系

當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性,則這兩

個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系.即相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

當(dāng)一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也由小變大，則這

兩個(gè)變量正相關(guān);

當(dāng)一個(gè)變量的值由小變大時(shí)，而另一個(gè)變量的值由大變小，則這

兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

(2)散點(diǎn)圖

將樣本中的〃個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(為，M)?=1,2,…，”)描在平面直角坐標(biāo)

系中，所得圖形叫做散點(diǎn)圖.

具有正相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖⑴所示，

具有負(fù)相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖(2)所示.

(3)兩個(gè)變量的線性相關(guān)

如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,則這兩

個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線.回歸直線對(duì)

應(yīng)的方程叫做回歸直線方程(簡(jiǎn)稱(chēng)回歸方程).

(4)回歸方程的求解

求回歸方程的方法是最小二乘法,即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直

線的距離的平方和最小.

若變量為與y具有線性相關(guān)關(guān)系，有n個(gè)樣本數(shù)據(jù)?,W(i=

n

L%)8—y)

AAAA￡(%

1,2,…，n),則回歸方程y=》％+。中Z?==

2

E(x；-x)

i=l

n___

￡孫——yA?

i=l———1—1————、

—，Q=y-8%.其中％y(%,y)稱(chēng)為

￡x?—2i=1;=1

(=1

樣本點(diǎn)的中心.

(5)相關(guān)系數(shù)

我們可以利用相關(guān)系數(shù)來(lái)定量地衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)

n

￡(汨一%)8—y)

關(guān)系，計(jì)算公式為r=-j：〃,Ir|<l.

'”(筋-x)2￡⑴-y)2

\]i=li=l

當(dāng)r>0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)-0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相

關(guān).

仍越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；

用越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.

通常，當(dāng)上時(shí)，我們認(rèn)為兩個(gè)變量之間存在著很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)

系.

2獨(dú)立性檢驗(yàn)

⑴2X2列聯(lián)表

設(shè)x,y為兩個(gè)變量,它們的取值分別為｛?,迫｝和｛9，”｝,其

樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2X2列聯(lián)表)如下：

V以總計(jì)

X1aba-\-b

X2Cdc~\~d

總計(jì)a-\~cb~\~do+b+c+d

⑵獨(dú)立性檢驗(yàn)

利用隨機(jī)變量蜉（也可表示為.）=-啜”、一八

（。十。）（。十d）（。十c）（。十d）

（其中〃=a+b+c+d為樣本容量）來(lái)判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的

方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn).

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2X2列聯(lián)表；

②計(jì)算隨機(jī)變量蜉的觀測(cè)值匕查下表確定臨界值自：

PH？ko)

ko

p（蜉三公）

ko

③如果左2公，就推斷“x與y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概

率不超過(guò)P（心三左0）；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P（群2左0）

的前提下不能推斷“X與y有關(guān)系”.

市》注意點(diǎn)對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的理解

（1）通常認(rèn)為左W2.706時(shí)，樣本數(shù)據(jù)就沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“X

與y有關(guān)系”.

（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說(shuō)結(jié)論成立

的概率有多大，而不能完全肯定一個(gè)結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表.在

分析問(wèn)題時(shí)一定要注意這點(diǎn)，不可對(duì)某個(gè)問(wèn)題下確定性結(jié)論，否則就

可能對(duì)統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯(cuò)誤的解釋.

京0小題快做；

1.思維辨析

（1）相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是非確定關(guān)系.（）

（2）散點(diǎn)圖中的點(diǎn)越集中，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).（）

（3）對(duì)于分類(lèi)變量X與匕它們的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值越小.“X

與y有關(guān)聯(lián)”的把握程度越大.()

(4)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成

正相關(guān)關(guān)系.()

(5)只有兩個(gè)變量有相關(guān)關(guān)系，所得到的回歸模型才有預(yù)測(cè)價(jià)

值.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)V(5)V

2.已知回歸直線的斜率的估計(jì)值為1.23,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),

則回歸直線方程為()

AA

A.yx+4B.yx+5

AA

C.yx+0.08D.yX

答案C

解析因?yàn)榛貧w直線方程必過(guò)樣本點(diǎn)的中心(％,y),將點(diǎn)(4,5)

代入A,B,C,D檢驗(yàn)可知，選項(xiàng)C正確.

3.某高校教“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的一

些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)如下表:

專(zhuān)業(yè)

非統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)

性另

男1310

女720

為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得

50X(13X20—10X7)2

到蜉的觀測(cè)值k=~23X27X20X30^4.844.

因?yàn)榕?.841,所以判定主修統(tǒng)計(jì)專(zhuān)業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種

判斷出錯(cuò)的可能性為.

答案5%

解析?.次＞3.841,查臨界值表,得P(蜉23.841)=0.05,故這種

判斷出錯(cuò)的可能性為5%.

活命題法解題法

命題法1回歸分析

典例1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限％（年）和所支出的維修費(fèi)

用y（萬(wàn)元），有如下表的統(tǒng)計(jì)資料：

使用年限工（年）23456

維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）

若由資料可知y對(duì)次呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：

（1）線性回歸直線方程；

（2）根據(jù)回歸直線方程，估計(jì)使用年限為12年時(shí)，維修費(fèi)用是多

少？

［解］⑴列表

i12345合計(jì)

Xi2345620

yt25

Xiyt

x?4916253690

%=4，y=5；

55

Ex?=90；E孫

Z-lZ-l

5______

Yxiyi—5xy

_i=i___________112.3-5X4X5

b=F-90—5X42~=L23,

Ex?—5x2

A一A一

于是a=y—bxX4=0.08.

A

所以線性回歸直線方程為好+0.08.

A

(2)當(dāng)％=12時(shí),yX12+0.08=14.84(萬(wàn)元),

即估計(jì)使用12年時(shí)，維修費(fèi)用是14.84萬(wàn)元.

Q【解題法】求線性回歸直線方程的步驟

(1)用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)

關(guān)系.

____nnn

(2)列表求出x,y,ExhEyh(可用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算)?

i=li=\i=l

n_____

A^Xiyi-nxyA_A_

i=1_

(3)利用公式。=----二一,a=y—Z?%求得回歸系數(shù).

￡/一nx2

i=l

(4)寫(xiě)出回歸直線方程.

命題法2獨(dú)立性檢驗(yàn)

典例2某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲

以下工人200名.為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采

用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日

平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25

周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

25周歲以上組

頻率t

組距

0.0325.......................————

0.0250................——

0.0050……-1——..................................................................

——