2023-2024學(xué)年廣東省廣州六中高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省廣州六中高二（下）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z?21+i=i,i為虛數(shù)單位，則z?A.i B.?i C.1 D.?12.已知M、N是全集U的兩個非空子集.若M∩(?UN)=M，則下列說法可能正確的是A.M∪(?UN)=U B.(?UM)∪N=M3.2023年10月31日，神舟十六號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，激發(fā)了學(xué)生對航天的熱愛.某校組織高中學(xué)生參加航天知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為x，眾數(shù)為y，則(

)A.x=88，y=90

B.x=83，y=90

C.x=83，y=85

D.x=88，y=854.如圖是函數(shù)f(x)的部分圖象，則f(x)的解析式可能為(

)A.f(x)=sin5x2x?2?x

B.f(x)=5.已知函數(shù)f(x)=|x|?1e|x|，若a=f((12)?0.6)，b=f(log122A.a<b<c B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a6.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1A.12 B.32 C.7.過原點(diǎn)的直線m，n與分別與曲線f(x)=ex，g(x)=lnx相切，則直線m，n斜率的乘積為(

)A.?1 B.1 C.e D.18.祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”.這里的“冪”指水平截面的面積，“勢”指高.這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.利用祖暅原理可以將半球的體積轉(zhuǎn)化為與其同底等高的圓柱和圓錐的體積之差.圖1是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中曲線AOC和BOD均是以2為半徑的半圓，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形.模仿上述半球的體積計(jì)算方法，可以構(gòu)造一個與帳篷同底等高的正四棱柱，從中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐(如圖2)，從而求得該帳篷的體積為(

)

A.8π3 B.16π3 C.163二、多選題：本題共3小題，共9分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知x=1和x=3是函數(shù)f(x)=ax3+bx2?3x+k(a,b∈R)的兩個極值點(diǎn)，且函數(shù)f(x)A.?43 B.43 C.?110.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在區(qū)間(π4,πA.f(π3)=0

B.若f(π3?x)=f(x)，則f(x)的最小正周期為2π3

C.關(guān)于x的方程f(x)=1在區(qū)間[0,2π)上最多有4個不相等的實(shí)數(shù)解

D.若f(x)在區(qū)間11.已知直線y=a與曲線y=xex相交于A，B兩點(diǎn)，與曲線y=lnxx相交于B，C兩點(diǎn)，A，B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，xA.x2=aex2 B.x2三、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分。12.己知向量a，b滿足|a|=1，|b|=3，13.在等比數(shù)列{an}中，a1+a2+14.定義在R上的函數(shù)f(x)=ex?1+12x2?2x，若存在實(shí)數(shù)x使不等式四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Tn，且a1=1，an=Tn?1(n≥2)．

(1)求數(shù)列{an16.(本小題15分)

記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c(cosA+1)=3asin∠ACB．

(1)求A；

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，若CD=a，且△ABC的周長為5+7，求17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAC⊥底面ABCD，PA⊥PC，且PA=PC，M是PA的中點(diǎn)．

(1)求證：PA⊥平面BMD；

(2)求平面AMC與平面DMC夾角的正弦值．18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)過點(diǎn)A(42,3)，且焦距為10．

(1)求C的方程；

(2)已知點(diǎn)B(42,?3)，D(22,0)，19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=12ax2+(a+1)x+lnx，a∈R．

(1)若x=1是f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性；

(3)已知f(x)=12ax2+x有兩個解x1，x2(x1<x2).參考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.1

13.?44

14.[1,+∞)

15.解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an=Tn?1=Tn?Tn?1，

所以Tn=2Tn?1，

所以數(shù)列{Tn}是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

所以Tn=2n?1，

所以an=Tn?Tn?1=2n?1?2n?2=2n?2(n≥2)，

又a1=1不滿足16.解：(1)由條件及正弦定理可得sinC(cosA+1)=3sinAsinC，

因?yàn)镃∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以cosA+1=3sinA，整理得sin(A?π6)=12，

又因?yàn)锳∈(0,π)，所以?π6<A?π6<5π6，

所以A?π6=π6，

解得A=π3；

(2)在△ACD中，由余弦定理得CD2=b2+c24?2b?c2cosA，

而A=π3，CD=a，所以a2=b2+c2417.解(1)證明：設(shè)BD與AC交于O，連接MO，

因?yàn)锳C，BD為正方形ABCD的對角線，

所以O(shè)為AC中點(diǎn)，且AC⊥BD，

因?yàn)镸是PA的中點(diǎn)，所以O(shè)M//PC，

因?yàn)镻A⊥PC，所以PA⊥OM，

因?yàn)槠矫鍼AC⊥底面ABCD，

平面PAC∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，

所以BD⊥平面PAC，因?yàn)镻A?平面PAC，所以PA⊥BD，

因?yàn)镺M，BD?平面BMD，OM∩BD=O，

所以PA⊥平面BMD；

(2)因?yàn)镻A=PC，O為AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC，

因?yàn)槠矫鍼AC⊥底面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO?平面PAC，

所以PO⊥平面ABCD，

因?yàn)镻A⊥PC，所以PO=12AC，

以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OD，OP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

設(shè)正方形的邊長為4，則AC=42，故OA=OC=OP=22，

則A(?22,0,0)，C(22,0,0)，P(0,0,22)，M(?2,0,2)，D(0,22,0)，

所以CD=(?22,22,0),CM=(?32,0,2)，

設(shè)平面MCD的一個法向量m=(x1,y1,z1)，

所以18.解：(1)由雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)過點(diǎn)A(42,3)，且焦距為10，

可得c=a2+b2=5，32a2?9b2=1，

解得a=4，b=3，

則雙曲線C的方程為x216?y29=1；

(2)證明：設(shè)E(42,n)，G(x1,y1)，H(x2,y2)，

直線DE的方程為y=n42?219.解：(1)∵f(x)=12ax2+(a+1)x+lnx(x>0)，

∴f′(x)=ax+(a+1)+1x=ax2+(a+1)x+1x=(ax+1)(x+1)x(x>0)，

又∵1是f(x)的極值點(diǎn)，

∴f′(1)=0，

即a+(a+1)+1=0，

解得a=?1，

當(dāng)a=?1時(shí)，f′(x)=(1?x)(x+1)x，

∴x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，

x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0，

∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，

則f(x)在x=1處取極大值，

∴1是f(x)的極值點(diǎn)，滿足題設(shè)．

綜上，a=?1；

(2)由(1)知，

當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)=(ax+1)(x+1)x>0，

∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，令f′(x)>0，得0<x<?1a；

令f′(x)<0，得x>?1a；

∴f(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，在(?1a,+∞)上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，在(?1a,+∞)上單調(diào)遞減；

(3)(i)由f(x)=12ax2+x，得ax+lnx=0，

即ax+lnx=0有兩個解x1，x2(x1<x2)，

令g(x)=ax+lnx(x>0)，

則g′(x)=a+1x=ax+1x，且g(x)在(0,+∞)上有兩個零點(diǎn)；

當(dāng)a≥0時(shí)，g′(x)=ax+1x>0，

∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

則g(x)在(0,+∞)上沒有兩個零點(diǎn)，不滿足題意；

當(dāng)a<0時(shí)，令g′(x)>0，得0<x<?1a；

令g′(x)<0，得x>?1a，

∴g(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，在(?1a,+∞)上單調(diào)遞減，

即g(x)的極大值為g(?1a)，

為使g(x)在(0,+∞)上有兩個零點(diǎn)，

則g(?1a)>0，即a?(?1a)?ln(?1a)>0，

解得?1e<a<0，

當(dāng)0<x<?1a時(shí)，易知?1a>e，

∵g(1)=a+ln1=a<0，

∴g(1)?g(?1a)<0，

又g(x)在(0,?1a)上單調(diào)遞增，

∴g(x)在(0,?1a)有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)x>?1a時(shí)，

令φ(x)=e