備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)6.3利用遞推公式求通項(xiàng)(精講)(原卷版+解析)

6.3利用遞推公式求通項(xiàng)（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一累加法【例1-1】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；．【例1-2】（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【一隅三反】1．(2022.廣東）數(shù)列滿足，，則=。2．(2022.廣東）在數(shù)列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n?2n，則an＝。3．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為?？键c(diǎn)二累乘法【例2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【一隅三反】1.（2022·安徽安慶）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.求的通項(xiàng)公式；2．（2022·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.4．（2021·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式.=考點(diǎn)三公式法【例3-1】（2022·四川）數(shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式是_______．【例3-2】（2022·安徽宿州）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【例3-3】．（2022·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)）已知數(shù)列滿足，則____.【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.【一隅三反】1．（2022·湖北）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.2．（2022·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，則其通項(xiàng)公式B．若，則其通項(xiàng)公式C．若，則其通項(xiàng)公式D．若，，則其通項(xiàng)公式3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，且，則考點(diǎn)四構(gòu)造等差數(shù)列【例4-1】（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【例4-2】（2022·廣東肇慶·二模）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，恒成立，則k最小為_(kāi)_____．【例4-3】（2021·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式_______________________.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．3．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.考點(diǎn)五構(gòu)造等比數(shù)列【例5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則________．【例5-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【例5-3】（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．【一隅三反】1．（2022·福建?。┮阎獢?shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為_(kāi)__.2．（2022·山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，則___________.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是_______．4．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學(xué)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.6.3利用遞推公式求通項(xiàng)（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一累加法【例1-1】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，…，所以．又，所以，所以．又，也符合上式，所以．【?-2】（2022·江蘇江蘇·一模）已知數(shù)列，，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式【答案】【解析】因?yàn)?，所有，?dāng)時(shí)，，，……，，相加得，所以，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式【一隅三反】1．(2022.廣東）數(shù)列滿足，，則=?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?，則當(dāng)時(shí)，，。2．(2022.廣東）在數(shù)列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n?2n，則an＝?！敬鸢浮浚╪﹣2）?2n【解析】∵an+1＝an+n?2n，∴an+1﹣an＝n?2n，且a1＝﹣2∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）?2n﹣1+…+2?22+1?21，①∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）?2n+（n﹣2）?2n﹣1+…+2?23+1?22，②①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）?2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1）?2n+﹣（n﹣1）?2n﹣2+2n，∴an﹣a1＝（n﹣1）?2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）?2n3．已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)閯t由遞推公式可得將等式兩邊分別相加可得所以由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得考點(diǎn)二累乘法【例2】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】；【解析】當(dāng)時(shí)，，則，即，，n＝1也滿足上式，故；【一隅三反】1.（2022·安徽安慶）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.求的通項(xiàng)公式；【答案】，【解析】時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，故，所以，故.符合上式故的通項(xiàng)公式為，.2．（2022·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】或【解析】依題意，所以，當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，也符合上式.所以.綜上所述，或.4．（2021·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求通項(xiàng)公式.=【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又a1＝1滿足上式，∴.考點(diǎn)三公式法【例3-1】（2022·四川）數(shù)列的前項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式是_______．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)不符合，所以，故答案為：【例3-2】（2022·安徽宿州）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故答案為：【例3-3】．（2022·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)）已知數(shù)列滿足，則____.【答案】【解析】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，，得，當(dāng)時(shí)，也適合，故答案為：【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式___________.【答案】n【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴.故答案為：n【一隅三反】1．（2022·湖北）數(shù)列中，已知，且（且），則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________.【答案】【解析】由得：（且）（且）即（且）數(shù)列是第二項(xiàng)起公比為的等比數(shù)列，（且）又不滿足上式，2．（2022·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，則其通項(xiàng)公式B．若，則其通項(xiàng)公式C．若，則其通項(xiàng)公式D．若，，則其通項(xiàng)公式【答案】BCD【解析】A：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；B：由題設(shè)，，，，，…，則，故正確；C：由題設(shè)，，而，則，即，故正確；D：假設(shè)成立，當(dāng)時(shí)，，即成立；若時(shí)，成立，則時(shí)，，此時(shí)，則也成立，故正確.故選：BCD3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）在數(shù)列中，其前的和是，下面正確的是（

）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，且，則【答案】ABC【解析】A：由題設(shè)，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，正確；B：由題設(shè)，，則，可得，即，正確；C：由題設(shè)，，則，正確；D：時(shí)有，整理得，而，故為常數(shù)列且，可得，錯(cuò)誤；故選：ABC考點(diǎn)四構(gòu)造等差數(shù)列【例4-1】（2022·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，，則滿足的n的最大取值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】解：因?yàn)?，所以，所以，又，?shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．所以，所以，由，即，即，解得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最大值為；故選：C【例4-2】（2022·廣東肇慶·二模）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，恒成立，則k最小為_(kāi)_____．【答案】2【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，得，，…，，則，即，則，當(dāng)n=1時(shí)符合上式，則，所以k最小為2．故答案為：.【例4-3】（2021·江西）已知數(shù)列滿足：，（，），則___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，即，而，∴是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列，即，∴.故答案為：【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式_______________________.【答案】【解析】由,得，則，由得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，故答案為：.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式．故答案為：.3．（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】．【解析】由，得：，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴，得．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】因?yàn)?，所以令，則，解得，對(duì)兩邊同時(shí)除以，得，又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【解析】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴.考點(diǎn)五構(gòu)造等比數(shù)列【例5-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，則________．【答案】【解析】將變形為,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以,即公比為2的等比數(shù)列,所以,即.故答案為：【例5-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以，整理得，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A【例5-3】（2022·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______．【答案】【解析】∵，∴，即,∴,且，，則,又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列．∴．故答案為：.【一隅三反】1．（2022·福建?。┮阎獢?shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為_(kāi)__.【答案】【解析】數(shù)列滿足，整理得：，所以，又，故是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以的前項(xiàng)和故答案為：2．（2022·山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知數(shù)列滿足，，則___________.【答案】【解析】由已知可得，設(shè)，則，所以，，可得，所以，，且，由