2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理題型探究新人教A屆選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理題型探究題型一基底的判斷1．{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個基底．[解析]假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∵{e1，e2，e3}是空間的一個基底，∴e1，e2，e3不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實(shí)數(shù)x，y使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面．所以{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能作為空間的一個基底．[規(guī)律方法]判斷基底的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．對點(diǎn)訓(xùn)練?在長方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間向量一個基底的是(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))C.eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)) D.eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))[解析]在長方體ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三個向量eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))不共面，可以作為空間向量的一個基底．題型二用基底表示空間向量2.如圖所示，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).[分析]eq\x(\a\al(利用圖形尋找待求向,量與a，b，c的關(guān)系))→eq\x(\a\al(利用向量運(yùn),算進(jìn)行拆分))→eq\x(\a\al(直至向量用,a，b，c表示))[解析]連接BO，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.[規(guī)律方法]用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.對點(diǎn)訓(xùn)練?在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．[解析](1)如圖，連接AC，EF，D1F，BD1，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c.(2)eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.題型三空間向量基本定理的應(yīng)用3.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，點(diǎn)N為AA1的中點(diǎn)．(1)求eq\o(BN,\s\up6(→))的模；(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的值．[解析]由已知得|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→)).〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝90°，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.(1)因?yàn)閑q\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|2＝eq\o(BN,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝12＋eq\f(1,4)×22＋12＝3，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(BN,\s\up6(→))|2)＝eq\r(3).(2)因?yàn)閑q\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，所以|eq\o(BA1,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝12＋22＋12＝6，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|2＝eq\o(CB1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2)＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＝12＋22＝5，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝22－12＝3，所以cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10).[規(guī)律方法]應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行，可求兩條異面直線所成的角等．首先根據(jù)幾何體的特點(diǎn)，選擇一個基底，把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示．(1)若證明線線垂直，只需證明兩向量數(shù)量積為0.(2)若證明線線平行，只需證明兩向量共線．(3)若要求異面直線所成的角，則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角)．對點(diǎn)訓(xùn)練?如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC所成角的余弦值．[解析](1)設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\