高中數學復習 排列、組合、二項式定理的類型與解題策略

排列、組合、二項式定理的類型與解題策略

排列、組合、二項式定理既是近代組合數學、概率統(tǒng)計的基礎，又是每年高考必考內容

之一，對培養(yǎng)學生分類討論的數學思想方法和解決實際問題的能.力與技巧有著重要的意義.

由于研究對象的獨特性，排列、組合的內容顯得比較抽象——題型多變，思維抽象，條件隱

晦，解法別致，因此學習起來比較困難.實踐證明，弄懂原理，掌握題型，領悟方法，識別

類型，熟練運用，是解決排列組合應用題的有效途徑.

第一部分：排列、組合的類型與解題策略

排列組合中最具典型的問題是“排數”、“排隊”、“涂色”、“含”與“不含”、“至多”

與“至少”等.無論是哪類問題，其解決方法無外乎直接法與間接法.學習過程中，要在理解

的基礎上掌握一些基本類型的解題方法與技巧，并能靈活運用.如能借助圖形、表格幫助分

析，則可使問題更加直觀、清晰.

一、相鄰、不相鄰（相離）、不全相鄰問題：相鄰問題“捆綁法”，不相鄰問題“插空

法”，不全相鄰問題常采用“正難則反”的策略，即用“間接法”求解.

例1、⑴用1,2,3,4,5,6,7,8組成沒有重復數字的八位數，其中1與2相鄰、3

與4相鄰、5與6相鄰、7與8不相鄰的八位數共有個.

⑵某班新年聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將

這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數有種.

⑶四名男生和三名女生排成一排，則三名女生不全相鄰的排法有一種.

解：⑴先“相鄰”排列成三個“大元素”，再三個“大元素”排列，最后7與8“插空”,

共有A2A2A2A3A4=576種.

⑵增加的兩個新節(jié)目，可分為相鄰與不相鄰兩種情況：不相鄰時共有種；相鄰時共

有種。故不同插法的種數為：A：+A；A：=42,故選A.（也可將新增的兩個節(jié)目

中的一個插入已排好的五個節(jié)目形成的6個空中，另一個插入已排好的6個節(jié)目形成的7

個空中，故不同插法的種數為6X7=42種）.

⑶用排除法求解，共有A；-A；?A；=4320（種）.

二、定序問題：對于排列問題中限制某幾個元素保持一定的順序，可先把這幾個元素與

其它元素一同進行排列，然后用總的全排列數除以這幾個元素的全排列數.

例2、⑴五人并排站成一排，如果甲必須站在乙的右邊（可以不相鄰）那么不同的排

法種數有^種.

⑵由數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字

的六位數共有個.

解：此為定序問題，用“縮倍法”求解.⑴甲在乙的右邊與甲在乙的左邊排法數相同，

故共有排法;A；=60種，；⑵（先排除再縮倍）共有$人：一4）=300個.

三、分組與分配問題：

例3、6本不同的書，按以下要求各有多少種分法？⑴平均分成三組；⑵分成1本，2

本、3本三組；⑶平均分給甲、乙、丙三人；.（4）分給甲、乙、丙三人，一人拿1本，一人拿

2本、一人拿3本；⑸甲得一本，乙得二本，丙得三本.

222

解：⑴此為平均分組問題，共有06^402=15種分法;⑵此為非平均分組問題，共有

222

=60種分法；⑶先分組，再排序，共有06§402.3!=90種分法;⑷先分組，再排

序，acc4=36。種分法；⑸用“逐分法”，共有c：uc=6。種分法.

注：此例中的每一個小題都給出了一種類型，搞清類型的歸屬對今后解題大有裨益，其

中：⑴均勻分組問題：⑵非均勻分組問題；⑶均勻不定向分配問題；⑷非均勻不定向分配問

題；（5）非均勻定向分配問題.

四、“至多”、“至少”問題：

例4、（1）5本不同的書，全部分給4個學生，每人至少一本，則有種不同的分法.

⑵從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，

則不同的取法共有種.

解：⑴此為元素多于位置的情形，用“分組法”求解，即將5本不同的書先分成四組,

再分給四個人，不同的分法有C；?A：=240種，故選B；

⑵若用“直接法”解，可分為“一甲二乙”和“二甲一乙”兩類，不同取法共有

C：?C；+C：?C；=7。利”也可用“排除法”求解，即從總數中減去3臺都是甲型或3臺都

是乙型的抽取方法，因此符合題意的抽取方法有0；-。：-0；=70種，故選C.

例5、（D10個“三好學生”名額分配到7個班級，每班至少一個名額，共有不同分配方

案種.

⑵把10本相同的書分發(fā)給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的

本數不小于其編號數，共有種不同分法.

解：此為名額分配問題，屬元素多于位置的情形，常用“隔板法”求解.（1）把10個名額

看成10個相同的小球，要分成7堆，每堆至少一個，可以在中間的9個空位中插入6塊隔

板，每一種插法對應著一種分配方案，故不同的分配方案為（?；=84種；

⑵可先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配，保證

每個閱覽室至少得一本書，這相當于在7本相同書之間的6個“空檔”內插入兩個相同的

“隔板”，共有。；=15種插法，即有15種分法.

五、借位排列問題：某些元素不能排在某些位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，再排

另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.通常用公式。,,=2-2+…+（-1）"2求解.

2!3!n\

例6、⑴將數字I,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數，則

每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有種；

⑵將標號為1，2,3,……，10的10個球放入標號為1,2,3,……，10的10個盒子

中，每個盒內放一個球，恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法一種;

⑶編號為1、2、3、4、5的五個球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子里，至多有2

個對號入座的情形有種.

解：⑴由公式知，共有3X3X1=9種填法.⑵；3個球的標號與盒子的標號不一致的放

法有2種，.?.共有放法2比。=240種.⑶用排除法，共有=種.

六、“含”與“不含”問題：

例7、某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經濟

開發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有不同派遣方案種.

解1:(分類法)考慮甲乙有限制條件，按是否含有甲乙分為四類：①不含甲乙，則有

派遣方案C；?A：=1680種；②含甲不含乙，則有派遣方案C；?A；?A；=1°°8種；③

含乙不含甲，同理也有1008種；④含甲乙，則有派遣方案ciA：—2A；+A；)=392種.

所以共有不同的派遣方法總數為4088種.

解2：(集合法或排除法)設上｛10人中任取4人的排列｝,A=｛甲同學到銀川的排列｝,

B=｛乙同學到西寧的排列｝,利用集合中求元素個數公式可得參賽方法共有：

card(U)-card(A)-card(B)+card(AB)=A：—2A；+As=4088和L

七、幾何中的排列組合問題：

1、涂色與種植問題：

例8、⑴用3種不同顏色給圖中的5個格子涂色，每格涂一種顏色、相鄰格涂不同顏色

且必須涂三色，共有____種不同的涂法."——~~—

⑵用6種不同的顏色給圖中的5個格子涂色，每格涂一種顏色，I1I2|3|4|5

且相鄰的兩格不同色，則不同的涂色方法共有種.

解：⑴按顏色相同的格進行分類，可分為：1、24、35；13、24、5；13、25、4；14、25、

3；14、35、2；15、24、3；135、2、4共七類，由題意，共有7人；=42種不同的涂法.

⑵按顏色分類：涂2色，可分為135、24兩.“塊”，有種；涂3色，由⑴知有7A；

種；涂4色，分“塊”情形有13、2、4、5；14、2、3、5；15、2、3、4；24、1、3、5；

25、1、3、4；35、1、2、4；有6人：種；涂5色，有種；故共有2952種不同涂法.

例9、在一塊并排10壟的田中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種一壟.

為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有一種.

解：先考慮A種在左邊的情況，有三類：A種植在最左邊第一壟上時，B有三種不同的

種植方法；A種植在左邊第二壟上時，B有兩種不同的種植方法；A種植在左邊第三壟上時，

B只有一種種植方法.又B在左邊種植的情況與A在左邊時相同.故共有2X(3+2+1)=12

種不同的種植方法.

2、其它問題：

例10、四面體的頂點和各棱中點共10個點，其兩兩連線可組成異面直線共有一對.

解：四面體的頂點和各棱中點共10個，其兩兩連線共有直線-6(C；-1)=33條，

可構成直線。蠢二528對.排除所有共面直線的對數，如下圖：于是，可構成異面直線共有

528—144-12—36—36—45=255對.

注：排列組合與幾何圖形的整合題型，在歷年高考試卷中皆有出現，它不僅是考察學生

相關知識的運用技巧的重要手段，也是培養(yǎng)和提高學生思維能力的一個重要方法.隨著課程

改革的不斷深化，這部分知識必將倍受青睞.

八、其它綜合問題：

1、用比例法解元素成比例的排列組合問題：有些排列組合應用題，可以根據每個元素

出現的機會占整個問題的比例，直接求得問題的解.

例11、由1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有一個.

解：由題意知全排列為A；，而滿足條件的五位數的個位上出現2或4的可能性為］,

在余下的四個數字中，萬位上出現滿足條件的數字的可能性為3,故滿足條件的五位數共有

4

2x』A；=36個.

54f

例12、若集合A={1,2,3,4,5,6},CuA,又C中共有k個元素，所有可能的C的

各個元素的總和是210,則k=.

解：由于A中各元素之和為1+2+3+4+5+6=21,而6個元素在C中出現的次數是完全相

同的，C中k個元素各占：，...有210片=210,即C：岑，2,5,6上式不成

立，k=3,4上式成立，...k=3或k=4.

2、用轉化、構造的方法解題排列組合問題：

例13、某射擊7槍，擊中5槍，擊中和未擊中的不同順序有一種.

解：設擊中用“1”表示，未擊中用“0”表示，則上述問題可轉化為：“數列小、a?、

a：,、a”、加、①、的中有5項是1,兩項是0,不同的數列數目有多少”的問題.可分兩類：第

1類，兩個“0”不相鄰的情況有種；第2類兩個“0”相鄰的情況有6種，所以擊中

和未擊中的不同順序情況共有21種.

3、方程思想：

例14、⑴球臺上有4個黃球，6個紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將

此十球中的4球擊入袋中，且總分不低于5分，則擊球方法有種.

⑵坐標平面內有一個質點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向左或向右跳1個單位，經過

5次跳動質點落在點(3,0)(允許重復過此點)處，則質點不同的運動方法共有一種.

⑶A、B、C三人站成一圈相互傳球，第一次球從A手中傳出，經過7次傳球后，球又回

到A手中，問此三人不同的傳球方式有種.

解：⑴設擊入黃球x個，紅球y個，則有x+y=4,且2x+y25(x,ye^),解得

［x=\(x=2(x=3(x=4

,二「§或［y=2或［y=1或［y=0，對應每組解的擊球方法數分別為C\d,

dd-???不同的擊球方法數為。：&+。：比+。：&+。：式=195種.

-x+y=3［x=l

(2)設質點向左跳動x次，向右跳動y次，貝葉一、，＜，解得1/，即該質點需向

X+y=51y=4

左跳動1次、向右跳動4次，于是該質點不同的運動方法共有C；=5種.

⑶在傳球過程中，球的運動方向看作只有兩種，即順時針方向和逆時針方向，故可借助

±1進行兩種不同運動方向次數的計算.不妨將順時針傳球一次記為1,逆時針傳球一次記為

一1,設順時針傳球的次數為x,逆時針傳球的次數為y,則x-y=0或

x—y=±3或r—y=±6,由題意知：x—y=0或v—y=±6不合題意，故x—y=±3,由

x-y=3x=5x-y=-3x=2

[xy=7得，故此三人不同的傳球方式有2C；=42種.

J+y=7得2由’+

4、樹圖(框圖)法、表格法:

例15、設ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩

個頂點之一，若在5次之內跳到D點，則停止跳動，若在5次之內不能到達D點，則跳完5

次也停止跳動，那么這只青蛙從開始到停止，可能出現的不同跳法的種數是（）

A、6B、8C、16I）、26

解：青蛙從A點開始，往相鄰兩個頂點B和F跳

到D點的次數是相同的，又青蛙第一次往B方向跳的

跳法可用“樹型圖”表示如圖.由圖知有13種跳法，號袋

所以共有跳法2X13=26（種），故選（D）.

注：此種方法是解決數量較小排列問題的常用方法f

之一，優(yōu)點是把抽象變?yōu)橹庇^，應熟練掌握."

5、回歸法：有些計數模型不一定是排列或組合問題，此時可回歸到最原始的方法，即畫

一畫，數一數，算一算，這是最基本的計數方法，不可廢棄.

例16、某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，

得0分.一球隊打完15場，積33分.若不考慮順序，該隊勝、平、負的情況共有（）

A.3種B.4種C.5種J）.6種

分析：數一數，算一算，知最多勝11場.按勝、平、負的順序，共有三種情形：11、

0、4；10、3、2；9、6、0；故選A.

從以上的實例可以看出，解決排列組合問題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即

先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求,

再考慮其他位置；（3）先不考慮限制條件，計算出總的種類數，再減去不合要求的種類數.

其解題思路可概括為：審明題意，排組分清；分類分步，明確加乘；元素位置，特殊先行;

直接間接，思路可循；周密思考，檢驗偽真.另外，在學習過程中注意解題經驗與方法的歸

納總結與積累，掌握一些常見題型的解題策略和方法也是十分必要.

第二部分：二項式定理的類型與解題策略

二項式定理是初中學習的多項式乘法的繼續(xù)，在高中數學中起承上啟下的作用一一既可

對多項式的知識起到很好的復習、深化作用，，又可為進一步學習概率統(tǒng)計作好必要的知識

儲備.此內容幾乎年年都考，考查的題型主要是選擇和填空題，一般是中等難度的試題，但

有時綜合解答題中也涉及到二項式定理的應用.其主要題型有以下幾類：

一、求特殊項：此類問題一般由通項入手，根據題意，設未知數，建立方程求解.

例1、⑴已知的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，則展

y1r-

開式中所有的有理項為—；⑵（X-1）9的展開式中系數最大的項為—;（3）（-+l+V2）5

2x

的展開式中的常數項為.

解：⑴依題意，有，即，解得n=8或n—1

（舍去），，若為有理數，當且僅當

為整數，，，

即展開式中的有理項共有三項:

r9-r

(2)T,+1=(-l)C；x,:C；=C；=126,而(-1"=1,(―I)三一1,

...R=126f是所求系數最大的項.

岸+揚5=d+2岳+2$［。+揚=(x+0尸

⑶解:=

2x2x-—(2%7—一(2x)5

對于二項式(》+0)1°,其通項為7^=C；O?P°-、2￥,要得到原展開式中的常數項,

則只須10-〃=5,即r=5,...所求常數項為=?也.

252

二、求二項式系數或展開式中某項的系數

例2、(1)(l+x)+(l+x)2+…+(l+x)7展開式中，項的系數為—

⑵設(太+4)(工+。2)(工+。3)(尤+。4)=+A*，+&/+44+4,則4=一，4=—；

⑶(x+2)”f—1)的展開式中/的系數為；⑷求(x—1+^)5的展開式中含X的項；

X

(5)(x+2y—z)9展開式中》4y2z3系數為.

解：⑴Y項系數為c；+c；+…+C；=C；=70；

⑵為即x?系數，即4=q(g+4+44)+。2(43+%)+。3a4=44+%%+4%+

+4%+a2a4+。3a4，即從｛6,4,%，4｝中取兩元的所有組合的和.

同理可得&=4。2a3+aia2a4+4。3a4+a2a3a4；

⑶先展開，然后按多項式乘法法則求解.：(*+2)1°=/+20^+180f+…

(*+2)”十-1)的展開式中，。的系數是-1+180=179；

⑷解：V(x-l+-)5--^[(x2-x)+l]5,...要求展開式中含x的項，只須求

尤X

[(x2-x)+l]5中含f的項.將其展開知，只有(f一x)5、5(無2-X)4和10(3一x)3中才有

可能含有的項.又(V一x)5=x5(x—])5,其展開式中爐的系數為。；=5;

5(X2-X)4=5X4(X-1)4,其展開式中f的系數為5C：=30；.10,-％)3=10%3*—1)3,

其展開式中爐的系數為10；，(x—1+工)5展開式中含x的項為(5+30+10)x=45x.

x

⑸(回歸課本，用組合的意義解)由題意知有4個括號取x,余下5括號取2y,再從余

下3個括號取z,于是得￡Vz3系數為c；C；22《(一T=—504().

三、求多項式展開式中的各項的系數和或某些項系數和

例3、(1)已知(3x?—2x+1)，=+?—FUyX+UQ>求

3。+a,+44+4+“8+/0)-一("1+%+45+47+"9)-；

⑵求(x-3y+2z),0°展開式的各項系數之和.

解:⑴令X=l,得%+4+。2+…+.0=2、,

令X=-1,得(/+4+4+4+必+60)-(4+。3+%+。7+。9)=6',

(4/g+a,+/+4+。8+4o)-一("i+%+G+%+"9)-=2'X6.=12，;

⑵令x=y=z=L得(1-3+2)|00=0,即展開式系數之和為0.

四、求相關元素

例4、⑴設，的展開式中的系數為，則n=；

(2)(a+b+c)'°展開式的項數有__項；⑶(占+/+…+Mo)，展開式的項數為

⑷已知J已展開式中V系數為2,則常數a的值為

「\2)4

解：⑴由，則的系數為，即

解得n=4.

⑵展開式中的項的形式為dbT且i+j+h=10,…10},此時，項數

問題轉化為方程的非負整數解個數問題，方程非負整數解個數有6；=66,故展開式有66

項.

⑶法1、展開式中的項的形式為；，且+…+%=3,且

zpz2--.z10e{0,l,2,3},類似(1),得項數為C1=G：=220.

法2、展開式中的項的形式有三種類型一〉再;七2%；乙3,其中*/,力€{1,2,…,10},

則項數為%+2a+C；°=Cf2=220.

3r

令二一9=3,

2

得r=8,故巫]得a=4.

5(2J164

例5、(1)已知(ax+1)，(a#0)的展開式中，f的系數是V的系數與x*的系數的等差

中項，求a的值；

(2)已知(2x+xW)"的展開式中，二項式系數最大的項的值等于1120,求x的

值.

解：(1)依題意C，/+仁/=2C}/，由于awo,解得a=l±平；

(2)依題意Ts=C；(2龍)4(a*)4=[120,整理得/'+3)=1,兩邊取對數，得

lg；：x+lg%=0,解得lgx=O或lgx=1l,.,"=1或不=上

第三部分：訓練精編

一、選擇題

1、由數字1、2、3組成的五位數中，1、2、3都至少出現一次，則這樣的五位數的個

數為（）

A、150B、240C、180D、236

2、四個完全相同的紅球與五個完全相同的白球放入三個不同的盒子中，要求每個盒子

中至少放一個紅球和一個白球，則不同的放法種數為（）

A、12B、18C、24D、27

3、上海世博會組委會要將7名精通英語的大學生,志愿者（含甲、乙）分配到美國館、

英國館和印度館去負責翻譯工作，其中美國館3人，英國館和印度館各2人，若甲、乙兩人

要求分在同一組，則不同的分配方案有（）

A、40種B、50種C、100種D、120利?

4、有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規(guī)定前排中間的

3個座位不能坐，并且這2人不熊左右相鄰，那么不同排法的種數是（）

A、234B、346C、350I）、363

5、六張卡片上分別寫有數字1,1,2,3,4,5,從中任取4張排成一排，可以組成不

同的4位奇數的個數為（）

A、180B、60C、93D、126

6、6個人并排站成一排，B站在A的右邊，C站在B的右邊，則不同的排法總數為（）

A.B.A：C.用引周D.A：A；

7、把八件不同的紀念品平均贈給甲、乙二人，其中“、b不贈給同一人，c、d也不贈

給同一人，則不同的贈送方法有（）種

A.20B.22C.24D.25

8、邊長為連續(xù)整數的鈍角三角形的最大邊長為〃，則（x+及3）”的展開式中常數項為（）

X

A、36B、60C、54D、48

9、設〃力,加為整數（相＞0）,若〃和匕被〃z除得的余數相同，則稱。和。對模制同

余，記為。三〃（mod/n）.已知。=1+C；o+C；（）?2+C；o?22++/?=?（modlO）,

則b的值可以是（）

A.2011B.2010C.2009D.2012

10、有.5個不同的紅球和2個不同的黑球排成一排，在兩端都是紅球的排列中，紅球甲

和黑球乙相鄰的排法有（,）

A、768B、765C、687D、876

11、若等差數列｛%｝的首項為公差是（r-|心/）"展開式

中的常數項，其中〃為77'7一15除以19的余數，則%=（）

A、l（M-4?B、4〃一104C、104-〃D、〃—104

[2、若（1+%）2”=4+4/+〃2工2+—，令/（〃）=4+。2-----a2n9則

/(I)+/(2)+..-+/(?)=()

1222

A、-(4"-l)B、-(2"-l)C、-(4"-1)D、-(3n-l)

13、已知%=6"+8",則他4被49除的余數為()

A、4B、3C、2D、1

14、若在(x+l)4(ax-l)2的展開式中一的系數為20,則。=()

A、4B、1C、4或1D、4或一1

15、某市從8名優(yōu)秀教師中選派4名同時去4個農村學校支教(每校一人)，其中甲和

乙不能同時去，甲和丙只能同時去或同時不去，則不同的選派方案共有()種

A、20B、600C、480I)、720

二、填空題

16、某單位準備用6種不同花色的石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳地面及

樓的外墻，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內，則不同的裝飾效果有一種.

17、將標號為1,2,…，10的10個球放入標號為1,2,…，10的10個盒子內.每個盒內放

一個球,則恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不下裂的放入方法共有一一種.

18、從包含甲的若干名同學中選.出4人分別參加數學、物理、化學、英語四科競賽，

每名同學只能參加一科競賽，且任兩名同學不能參加同一科競賽，若甲不參加物理和化學競

賽的參賽方法共有72種，則一共有名同學.

19、函數/。)=(1-sinx)w+(1+sinx)10的最大值是.

20、把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人，每人至少

分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數是.

21、若。；；6=。；；2(〃€"),則在,+4》+4)”的展開式中含_?項的系數為.

22、將A、B、C、D、E五種不同的文件放入一編號依次為1、2、3、4、5、6的六個抽

屜內，每個抽屜至多放一種文件，若文件A、B必須放入相鄰的抽屜內，文件C、D也必須放

入相鄰的抽屜內，則所有不同的放入方法共有種.

23、若(x+2)"=x"+???+ax}+bx2+ex+2"(neN,n>3),且a=3:2,則

n=___.

24、某化工廠實驗生產中需依次投入2種化工原料，現有5種原料可用，但甲、乙兩

種原料不能同時使用，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放，那么不同的實驗方

案共有種.

25、某公司新招進8名員工，平均分給甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能

同給一個部門，另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_____種.

26、在(l+x-p/)4的展開式中，使x4項的系數取得最小值時的。的值為.

3

27、若(2%+4嚴°=ao+0x+a2x2+…20Hp邛,貝!］。0+匿+。4+%+~+。2()10被除

的余數是.

28、設。為sinx+J5cosx(xeR)的最大值，則二項式(a&—展開式中含X2項

■x

的系數是.

29、代數式(4/-2x-5)(/+1)，的展開式中，含父項的系數是.

30、已知的展開式的各項系數之和等于展開式中的常數項,

則(竟展開式中含a'的項的二項式系數為.

參考答案：

1、A；2、B；3、B；4^B；5、D；6、C；7、D；8、C；9、A；10、A；11、A；12、C；13、C；

14、D；15、B；16、300：17、240；18、5；19、1024；20、144；21、112；22、96；23、

11；24、15；25、36；26、1；27、2；28、-192；29、-30；30、35；

高一數學測試題

一選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個選項中.只

有一項是符合題目要求的.

1.設集合A={x|-3W/W0},B={x|TW/W3},則AAB=()

A.[-1,0]B.[-3,3]C.[0,3]D.[-3,-1]

2.下列圖像表示函數圖像的是()

3.函數/(的=r『^+愴(2*+1)的定義域為()

A/X+5

A.(-5>+°°)B.[—51+00)￡.(—5.0)D.(—2,0)

4.已知4>人>0,則3",3",4<1的大小關系是()

A.3“>3">4"B.3"<4"<3"C.3，<3"<4"D.3"<4"<3,

5.函數/(幻=/+》-3的實數解落在的區(qū)間是()

A[O,1]B.[l,2]C.[2,3]D.[3,4]

6.己知A(l,2),8(3,l),則線段AB的垂直平分線的方程是()

A.4x+2y=5BAx-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5

7.下列條件中，能判斷兩個平面平行的是()

A一個平面內的一條直線平行于另一個平面；

B一，個平面內的兩條直線平行于另一個平面

C一個平面內有無數條直線平行于另一個平面

D一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面R,

8.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,P為aABC所在平面外一點\\

PAL平面ABC,則四面體P-ABC中共有（）個直角三角形。人\

9.如果軸截面為正方形的圓柱的側面積是4萬，那么圓柱的體積等于（>V

AB27C4%D8萬

10.在圓f+y2=4上，與直線4x+3y-12=0的距離最小的點的坐標為（）

/6、口,86._,86、n.86.

二填空題本大題共4小題，每小題5分，滿分20分

三、解.答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

15.（本小題滿分10分）

求經過兩條直線2x—y—3=0和4x—3y—5=O的交點，并且與直線2x+3y+5=O垂直

的直線方程（一般式）.

16.（本小題滿分14分）

如圖，PA_L矩形A5CQ所在的平面，M、N分別是A3、PC的中點.

（1）求證：MN〃平面P4O；（2）求證：MNLCD；

17.（本小題滿分14分）

1+Y

已知函數/（x）=log“----（a>0且a71）（14分）

1-X

（1）求.f（x）的定義域；

（2）判斷了（x）的奇偶性并證明；

18.（本小題滿分14分）

當xNO,函數/（x）為辦②+2,經過（2,6）,當x<0時/（x）為辦+人，且過（-.2,-2）,

（1）求/（x）的解析式；

（2）求〃5）；

（3）作出/（幻的圖像，標出零點。

19.（本小題滿分14分）

已知圓：］?+y2-4x-6y+12=0,

（1）求過點A（3,5）的圓的切線方程；（2）點P（x,y）為圓上任意一點，求上的最值。

x

20.（本小題滿分14分）

某商店經營的消費品進價每件14元，月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元）的關系如下圖,

每月各種開支2000元，

（1）寫出月銷售量Q（百件）與銷售價格P（元），的函數關系。

（2）該店為了保證職工最低生活費開支3600元，問：商品價格應控制在什么范圍？

（3）當商品價格每件為多少元時，月利潤并扣除職工最低生活費的余額最大？并求出最

大值。

答案

一選擇（每題5分）1-5ACACB6-10BDABC

二填空（每題5分）11.叵^12.（80+16>/2）cm2.13.,a<-14.1或-3

22

三解答題

15.（10分）

x=2

2x-y-3=0

由已知,<解得5,

4x-3y—9=0

則兩直線交點為（2,9）..........（4分）

2

直線2x+3y+5=0的斜率為一；，.....（1分）

則所求直線的斜率為-o.......（1分）

2

故所求直線為y-2=±（x-2）,........（3分）

22

即3尤-2y-l=0.............（1分）

16.（14分）（1）取的中點E,連接4E,EN,............1分

???N為中點，

.?.EN為APOC的中位線

：.EN//-CD............（2分）

=2

又CD