2024年高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題3-5重難點(diǎn)題型培優(yōu)精講冪函數(shù)教師版新人教A版必修第一冊(cè)

專(zhuān)題3.5冪函數(shù)1．冪函數(shù)的概念(1)冪函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)冪函數(shù)的特征：①xα的系數(shù)為1；

②xα的底數(shù)是自變量；

③xα的指數(shù)為常數(shù).

只有同時(shí)滿(mǎn)足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù).2．常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上，當(dāng)a>0時(shí)，y＝xα是增函數(shù)；當(dāng)α<0時(shí)，y＝xα是減函數(shù)．3．一般冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)一般冪函數(shù)的圖象：①當(dāng)α=1時(shí)，y=x的圖象是一條直線.

②當(dāng)α=0時(shí)，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(diǎn)(0,1)的直線.

③當(dāng)α為其他值時(shí)，相應(yīng)冪函數(shù)的圖象如下表：(2)一般冪函數(shù)的性質(zhì)：通過(guò)分析冪函數(shù)的圖象特征，可以得到冪函數(shù)的以下性質(zhì)：

①全部的冪函數(shù)在(0,+)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1).

②α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,+)上是增函數(shù).

③α<0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地靠近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地靠近x軸正半軸.

④任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第四象限.

⑤任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn).除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn).4．對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)參考冪函數(shù)的性質(zhì)，探究函數(shù)的性質(zhì).(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無(wú)限接近.(2)函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

(3)函數(shù)的值域?yàn)?-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函數(shù)為奇函數(shù).

(5)單調(diào)性：由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在(-,-1)，(1,+)上單調(diào)遞增，在(-1,0)，(0,1)上單調(diào)遞減.【題型1冪函數(shù)的概念、解析式】【方法點(diǎn)撥】(1)推斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿(mǎn)足：①指數(shù)為常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1.(2)對(duì)于冪函數(shù)過(guò)已知的某一點(diǎn)，求冪函數(shù)解析式問(wèn)題：先設(shè)出冪函數(shù)的解析式y(tǒng)＝xα(α為常數(shù))，再將已知點(diǎn)代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2024春?楊陵區(qū)校級(jí)期末）現(xiàn)有下列函數(shù)：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝axA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義，得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵形如y＝xα（α為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)，∴①y＝x3、⑥y＝x是冪函數(shù)，故①⑥滿(mǎn)足條件；而②y=(12)x、⑦y＝ax（a明顯，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是冪函數(shù)，故③④⑤不滿(mǎn)足條件；故其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為2，故選：B．【變式1-1】（2024秋?陽(yáng)春市校級(jí)月考）已知冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(3，3)，則fA．﹣2 B．1 C．2 D．4【解題思路】設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，代入點(diǎn)可求α的值，從而可求f（4）的值．【解答過(guò)程】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(3，3)，所以3α=3所以f（x）=x，f（4）=4故選：C．【變式1-2】（2024春?榆林期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義，得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：依據(jù)形如y＝xα（α為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，由選項(xiàng)可知，C符合．故選：C．【變式1-3】（2024春?廣陵區(qū)校級(jí)月考）若冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，316)，則函數(shù)A．f(x)=x43 B．f【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出它的解析式．【解答過(guò)程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，∴2a=316=234故選：A．【題型2冪函數(shù)的定義域、值域】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)冪函數(shù)的解析式，可以將分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化成根式形式，依據(jù)根式有意義求定義域，再依據(jù)定義域來(lái)求冪函數(shù)的值域.【例2】（2024秋?房山區(qū)期末）下列函數(shù)中，值域是R的冪函數(shù)是（）A．y=x13 B．y=(1【解題思路】由題意，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：在R上，函數(shù)y=x13=3由于函數(shù)y=(13)x的值域?yàn)椋?，由于函數(shù)y=x23=3x2的值域?yàn)橛捎诤瘮?shù)y=(23)x的值域?yàn)椋?，故選：A．【變式2-1】（2024秋?呂梁期末）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(2，2)，則fA．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【解題思路】先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的解析式，從而得到f（x）的定義域．【解答過(guò)程】解：設(shè)f（x）＝xα，因?yàn)閒（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(2，所以2α=2則f(所以f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），故選：C．【變式2-2】（2024秋?廣南縣校級(jí)期中）已知冪函數(shù)f（x）＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(2，12)，則函數(shù)A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）【解題思路】依據(jù)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（2，12【解答過(guò)程】解：∵2α=12=2解得α＝﹣1，∴f（x）=1故函數(shù)的值域是：（﹣∞，0）∪（0，+∞），故選：C．【變式2-3】（2024秋?天山區(qū)校級(jí)期中）若冪函數(shù)y=(m2-2m-2)x-m2A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【解題思路】依據(jù)函數(shù)y是冪函數(shù)得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再驗(yàn)證是否滿(mǎn)足定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}即可．【解答過(guò)程】解：函數(shù)y=(則m2﹣2m﹣2＝1，即m2﹣2m﹣3＝0，解得m＝3或m＝﹣1；當(dāng)m＝3時(shí)，﹣m2+m+3＝﹣3，冪函數(shù)y＝x﹣3的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，滿(mǎn)足題意；當(dāng)m＝﹣1時(shí)，﹣m2+m+3＝1，冪函數(shù)y＝x的定義域?yàn)镽，不滿(mǎn)足題意；所以m的值是3．故選：D．【題型3冪函數(shù)的圖象】【方法點(diǎn)撥】依據(jù)一般冪函數(shù)的圖象特征，對(duì)所給的冪函數(shù)解析式或圖象進(jìn)行分析，即可得解；溫馨提示：①若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)確定是原點(diǎn).

②無(wú)論為何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)，且確定經(jīng)過(guò)第一象限，確定不經(jīng)過(guò)第四

象限.【例3】（2024秋?成都校級(jí)期中）冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a【解題思路】依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)的圖象推斷即可．【解答過(guò)程】解：由圖象得：b＞c＞d＞a，故選：D．【變式3-1】（2024秋?涼山州期末）如圖，①②③④對(duì)應(yīng)四個(gè)冪函數(shù)的圖像，其中①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y【解題思路】由題意，依據(jù)①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)圖象是上凸型的，故有冪指數(shù)α∈（0，1），從而得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：由于①對(duì)應(yīng)的冪函數(shù)圖象是上凸型的，故有冪指數(shù)α∈（0，1），故選：D．【變式3-2】（2024秋?湖北期末）冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則冪函數(shù)y＝f（x）的圖象是（）A． B． C． D．【解題思路】設(shè)出函數(shù)的解析式，依據(jù)冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），構(gòu)造方程求出指數(shù)的值，再結(jié)合函數(shù)的解析式探討其性質(zhì)即可得到圖象．【解答過(guò)程】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xa，∵冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），∴2＝4a，解得a=1∴y=x，其定義域?yàn)閇0，+當(dāng)0＜x＜1時(shí)，其圖象在直線y＝x的上方．比照選項(xiàng)．故選：C．【變式3-3】（2024秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖是冪函數(shù)y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、-13這四個(gè)值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，-13，﹣3 B．﹣3，-1C．-13，3，﹣3，13 D．3，13，【解題思路】依據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：圖象越靠近x軸的指數(shù)越小，即可推斷出．【解答過(guò)程】解：依據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)x＞1時(shí)，圖象越靠近x軸的指數(shù)越小，因此相應(yīng)于曲線C1、C2、C3、C4相應(yīng)的α依次為3，13，-13，故選：A．【題型4比較冪值的大小】【方法點(diǎn)撥】(1)干脆法：當(dāng)冪指數(shù)相同時(shí)，可干脆利用冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較.

(2)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)冪指數(shù)不同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小.

(3)中間量法：當(dāng)?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同時(shí)，不能運(yùn)用單調(diào)性比較大小，可選取適當(dāng)?shù)闹虚g值，從而達(dá)到比較大小的目的.【例4】（2024秋?岳陽(yáng)期中）設(shè)a=(34)12，A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【解題思路】先推斷b＞1，再化a、c，利用冪函數(shù)的性質(zhì)推斷a、c的大?。窘獯疬^(guò)程】解：a=(3b=(4c=(2且0＜827＜916＜1，函數(shù)y=所以(8所以c＜a；綜上知，c＜a＜b．故選：A．【變式4-1】（2024秋?武昌區(qū)校級(jí)期末）已知冪函數(shù)y＝xa的圖象過(guò)點(diǎn)(3，19)，則下列兩函數(shù)的大小關(guān)系為：（x2﹣2x+4）a（）（A．≤ B．≥ C．＜ D．＞【解題思路】?jī)绾瘮?shù)y＝xa的圖象過(guò)點(diǎn)(3，19)，解得a＝﹣2，從而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣【解答過(guò)程】解：冪函數(shù)y＝xa的圖象過(guò)點(diǎn)(3，∴3a=19，解得a＝﹣∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣2-19∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a．故選：A．【變式4-2】（2024?湖北開(kāi)學(xué)）若a=(2)25，b=32A．a(chǎn)＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a(chǎn)＞b＞d＞c【解題思路】由題意依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：∵a=(2)25，b=323＞2＞12＞13，∴b＞a故選：C．【變式4-3】（2024秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）三個(gè)數(shù)a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解題思路】利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答過(guò)程】解：∵冪函數(shù)y＝x0.3在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，∵a＝0.32＜0.30＝1，∴c＞b＞a，故選：B．【題型5利用冪函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)】【方法點(diǎn)撥】①依據(jù)所給函數(shù)解析式是冪函數(shù)，可列式求出參數(shù)的值；②結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性或奇偶性，進(jìn)行分析，得出滿(mǎn)足條件的參數(shù)值.【例5】（2024秋?張掖期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則m＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【解題思路】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得m的值．【解答過(guò)程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴m2﹣4m﹣4＝1，且m＜0，求得m＝﹣1，故選：C．【變式5-1】（2024春?延吉市校級(jí)期末）若函數(shù)y=(m2-3m+3)xA．0 B．1或2 C．1 D．2【解題思路】利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)列方程組，能求出m．【解答過(guò)程】解：∵函數(shù)y=(m2-3m∴m2解得m＝1．故選：C．【變式5-2】（2024秋?凌河區(qū)校級(jí)期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m-2在（0，+∞）上是減函數(shù)，則A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【解題思路】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（m）的值．【解答過(guò)程】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m-2在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2=1x2，故f（m）＝f（﹣1）故選：C．【變式5-3】（2024秋?廣陵區(qū)校級(jí)月考）冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2【解題思路】依據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解．【解答過(guò)程】解：由題意可知m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或2，又∵冪函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴2m﹣1＞0，∴m＝2，故選：D．【題型6利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式】【方法點(diǎn)撥】利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，推斷自變量或冪指數(shù)的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:(1)確定可以利用的冪函數(shù)；(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，將不等式的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量或冪指數(shù)的大小關(guān)系；(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，留意分類(lèi)探討思想的應(yīng)用.【例6】（2024秋?安徽期中）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（13，9），且f（a+1）＜f（2），則aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解題思路】由條件先求出f（x）的解析式，明顯f（x）為偶函數(shù)，所以有f（a+1）＝f（|a+1|），從而不等式轉(zhuǎn)化為f（|a+1|）＜f（2），借助f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性可得a的取值范圍．【解答過(guò)程】解：設(shè)f（x）＝xα，因?yàn)閳D象過(guò)（13，9所以（13）α＝9所以α＝﹣2，故f（x）=1因?yàn)閒（x）為偶函數(shù)，所以f（a+1）＝f（|a+1|），所以由f（a+1）＜f（2），得f（|a+1|）＜f（2），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）為減函數(shù)，所以|a+1|＞2，解得a＜﹣3或a＞1，即a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故選：D．【變式6-1】（2024秋?迎江區(qū)校級(jí)期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)足f（a﹣1）＞1的實(shí)數(shù)a的范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解題思路】先由冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求出m的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，再解不等式即可．【解答過(guò)程】解：由冪函數(shù)的定義可知m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝﹣2或4，又∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m﹣2＞0，∴m＝4，∴f（x）＝x2，由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，∴a＜0或a＞2，即實(shí)數(shù)a的范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞