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文檔簡介
第2課時兩平面垂直
:a;1.了解二面用的概念?能在長方體中度量二面加.
課程
一人2.理解并掌握面面垂直的判定定理.
標準
;3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理及其應用方法.
》基礎(chǔ)認知?自主學習④
概念認知
1.二面角的概念
(1)半平面:平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部無,其中的每一
部分都叫作半平面.
⑵二面角:一般地,一條直線和由這條直線出發(fā)的叫把面所組
成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的棱,每個半平面叫作二
面角的面,如圖①,②中,棱為/或AB,面為a,B記作a-Z-P(a-AB-P)
或P-Z-Q(P-AB-Q)(P,Q分別為在a,「內(nèi)且不在棱上的點).
(3)二面角的平面角
文字表述:一般地,以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內(nèi)分
別作垂直于棱的射線,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.
圖形語言:
符號語言:anp=1,OGZ,OACa,OBUp,OAL,OB±/=>ZAOB
為二面角a-Z-P的平面角.
(4)二面角大小的度量
二面角的大小可以用它的堊面魚來度量,二面角的平面角是多少度,
就說這個二面角是多少度.二面角a的大小范圍是0”取180。.平面
角是直角的二面角叫作直二H角.
2.平面與平面垂直的判定定理
(1)定義:一般地,如果兩個平面所成的二面角是直二面角,那么就
說這兩個平面互相垂直.
⑵畫法:兩個互相垂直的平面通常畫成如圖⑴,(2)所示.
----1A
JzZZT7
(1)--------------(2)
此時,把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,平面a與P垂
直,記作a±p.
(3)平面與平面垂直的判定定理
文字語m如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這
兩個平面垂直
圖形語言/
符號語言l-La,/U|3=a_LB
3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理
兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有條直線垂直于這兩個平
義字l口B
面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直
圖形語言
ra±p,aAP=Zl
符號語言a±p
、aua,a_L/
自我小測
1.已知長方體ABCD-A]BiCiDi,在平面ABi上任取一點M,作
ME_LAB于E,貝女)
A.ME,平面ACB.MEU平面AC
C.ME〃平面ACD.以上都有可能
選A.由于MEU平面ABi,平面AB£平面AC=AB,且平面ABi±
平面AC,ME±AB,貝!!ME_L平面AC.
2.如圖所示,已知PA_L矩形ABCD所在的平面,則圖中互相垂直
的平面有()
A
2c
AB
A.2對B.3對C.4對D.5對
選D.由PA_L矩形ABCD知,平面PADJ_平面ABCD,平面PAB±
平面ABCD;由AB_L平面PAD知,平面PABJ_平面PAD;由BC±
平面PAB知,平面PBC_L平面PAB;由口(2,平面PAD知,平面PDC_L
平面PAD.故題圖中互相垂直的平面有5對.
3.下列說法:
①兩個相交平面組成的圖形叫作二面角;
②異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角
與這個二面角相等或互補;
③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā),分別在兩個面內(nèi)作射線所成角
的最小角.
其中正確的是________.(填序號)
對于①,混淆了平面與半平面的概念,是錯誤的;對于②,由于a,
b分別垂直于兩個平面,所以也垂直于二面角的棱,但由于異面直線
所成的角為銳角(或直角),所以應是相等或互補,是正確的;對于③,
因為不垂直于棱,所以是錯誤的.
答案:②
4.在正方體ABCD-AiBiCiDi中,平面AAiCiC與平面CiBD的位置
關(guān)系是________.
因為BD_LAC,BDlCiC,fiACACiC=C,
所以BD_L平面AAiC)C.
因為BDU平面CiBD,所以平面AAiCiC_L平面CiBD.
答案:垂直
5.如圖,平面角為銳角的二面角a-EF-P,A£EF,AGCa,ZGAE
二45。,若AG與B所成角為30°,求二面角a-EF-P的平面角.
作GH,P于點H,作HB±EF于點B,連接AH,GB,則GB1EF,
NGBH是二面角的平面角.
又NGAH是AG與P所成的角,
設(shè)AG=a,則GB=孚a,GH='a,sinZGBH==乎,
所以NGBH=45。,故二面角a-EF-|3的平面角為45°.
為學情診斷?課時測評④
基礎(chǔ)全面練
一、單選題
1.下列命題中錯誤的是()
A.如果平面a_L平面B,那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面P
B.如果平面a不垂直于平面P,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直
于平面B
C.如果平面a,平面y,平面M平面y,an「=/,那么L平面y
D.如果平面a,平面P,那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面P
選D.如果平面a_L平面P,那么平面a內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于
平面B,其他與交線不垂直的直線均不與平面P垂直,故D項敘述是
錯誤的.
2.將銳角A為60。,邊長為a的菱形沿BD折成60。的二面角,則折
疊后A與C之間的距離為()
]A/3
A.aB.2aC.^aD,小a
選C.設(shè)折疊后點A到Ai的位置,取BD的中點E,連接AiE,CE.
則BD±CE,BDlAiE.
于是NAiEC為二面角Ai-BD-C的平面角.
故NAiEC=60。.
因為AiE=CE,所以△AiEC是等邊三角形.
所以AiE=CE=AiC=§a.
3.設(shè)a-/-p是直二面角,直線aUa,直線bUp,a,b與/都不垂直,
那么說法中正確的是()
A.a與b可能垂直,但不可能平行
B.a與b可能垂直,也可能平行
C.a與b不可能垂直,但可能平行
D.a與b不可能垂直,也不可能平行
選C.當a,b都與/平行時,
則a〃b,所以A,D錯.如圖,若a±b,
過a上一點P在a內(nèi)作a,.Ll,
因為a±p,所以ar±p.
又bUp,所以a」b,
所以b,a,與題干要求矛盾,即a與b不可能垂直.
4.(2021.寧波高一檢測)已知直線a,b,平面a,P,下列命題:
①若a〃b,a_La,則b_l_a;
②若a〃p,a_La,貝(Ja_Lp;
③若a〃a,a_l_p,則a_Lp;
④若a±a,a±p,貝!Ja〃B
其中真命題是()
A.①②③B.①②④
C.①③④D.②③④
選A.對于①,若a〃b,a±a,則由線面垂直的性質(zhì)可得b±a,故①
正確;
對于②,若a〃B,a±a,則由線面垂直的性質(zhì)可得a±p,故②正確;
對于③,若a〃a,則存在a,Ua,使得a〃F,若a±p,則,則
a±P,故③正確;
對于④,若2_1_01,a±p,貝[|2〃0或2(=0,故④錯誤.
5.(2021.舟山高一檢測)三棱錐的各棱長都相等,D,E,F分別是AB,
BC,CA的中點,下列結(jié)論中不成立的是()
A.BC〃平面PDF
B.DF,平面PAE
C.平面PDE,平面ABC
D.平面PAE_L平面ABC
選C.對于A中,因為D,F分別是AB,CA的中點,可得BC〃DF,
因為BCC平面PDF,DFU平面PDF,
所以BC〃平面PDF,
所以A正確,不符合題意;
對于B中,因為AC=AB,BE=EC,
所以BCLAE,同理可得BC,PE,
又因為PEnAE=E,
所以BC_L平面PAE,
又由BC〃DF,所以DFL平面PAE,
所以B正確,不符合題意;
對于D中,由DF_L平面PAE,
因為DFU平面ABC,
所以平面PAE平面ABC,
所以D正確,不符合題意,C不正確,符合題意.
二、多選題
6.(2021.鎮(zhèn)江高一檢測)若m,n是兩條不重合的直線,a,p為兩個
不重合的平面,下列說法正確的有()
A.若m〃n,m//a,則n〃a
B.若m〃a,n〃B,貝!Ja〃0
C.若m〃n,n±a,貝Um_La
D.若m_l-a,n±p,m±n,貝!]a±P
選CD.A.若m//n,m//a,則n//a或nCa,故A不正確;B.若m,
n都與兩平面的交線平行,也滿足條件,但不能推出a〃「,故B不
正確;C.兩平行線中的一條垂直于平面,則另一條也垂直于平面,故
C正確;D.若m±a,n±p,m±n,則a_L0,故D正確.
7.(2021唐山高一檢測)如圖,在三棱錐S-ABC中,ZSBA=ZSCA
=90。,且4ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形包合出下列結(jié)論中,
正確的是()
A.SB1AC
B.SB_L平面ABC
C.平面SBC,平面SAC
D.點C到平面SAB的距離為與a
選ABC.由于AC_LBC,AC±SC,SC,BCU平面SBC,SCABC=C,
所以AC_L平面SBC,
所以SB_LAC,故選項A正確;
前面已經(jīng)證明AC,平面SBC,ACU平面SAC,所以平面53(31_平
面SAC,所以選項C正確;
因為SB1AC,SB1AB,AB,ACU平面ABC,ABAAC=A,所以
SBJ_平面ABC,故選項B正確;
取AB的中點D,連接CD,貝[JCD±AB,CD1SB,因為AB,SB
U平面SAB,ABASB=B,故CD_L平面SAB,則CD的長度即為點
C到平面SAB的距離,而CD=;a,故選項D錯誤.
三、填空題
8.已知/,m是兩條不同的直線,a,B是兩個不同的平面,有下列
四個結(jié)論:
①若/Up,且a±p,則/_La;②若Z±P,且a〃p,則/J_a;
③若/_1_0,且a_l_p,則/〃a;④若anp=m,且/〃m,則/〃a.
則所有正確結(jié)論的序號是________.
若/Up,,則/,a可以平行或相交,I也可能在平面a內(nèi),故①
錯誤;由面面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定方法,得②正確;若,
a_Lp則/〃a或/Ua,故③錯誤;若aPlp=m,I//m,則/〃a或/Ua,
故④錯誤.所以正確結(jié)論的序號是②.
答案:②
四、解答題
9.如圖所示,已知圓錐的頂點為S,AB為底面圓O的直徑,點D
為線段AB上一點,且AD=;DB,點C為圓0上一點,且BC=仍
AC,P為母線SA上的點,其在底面圓O上的正投影為點D,求證
PALCD.
【證明】連接co(圖略),由3AD=DB知,D為AO的中點,
又AB為圓O的直徑,所以AC1CB,
由小AC=BC矢口,ZCAB=60°,
所以△ACO為等邊三角形,從而CD±AO.
因為點P在圓O所在平面上的正投影為點D,
所以PD_L平面ABC,又CDU平面ABC,
所以PD±CD,由PDCIAO=D得,CDd_平面PAB又PAU平面PAB,
所以PAJ_CD.
綜合突破練
一、選擇題
1.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面a內(nèi),且ACJ_PC,平面
PACJ_平面PBC,點P,A,B是定點,則動點C的軌跡是()
A.一條線段
B.一條直線
C.一個圓
D.一個圓,但要去掉兩個點
選D.因為平面PAC,平面PBCAC±PC,平面PACn平面PBC=PC,
ACU平面PAC,所以AC_L平面PBC又因為BCU平面PBC,所以
ACLBC.所以/ACB=90。.所以動點C的軌跡是以AB為直徑的圓,
除去A和B兩點.
2.如圖所示,將等腰直角三角形ABC沿斜邊BC上的高AD折成一
個二面角,此時NBAC=60°,那么這個二面角大小是()
A.30°B.45°C.60°D.90°
選D.連接B'C,則^ABC為等邊三角形,
A
B'
設(shè)AD=a,則BC=AC二娘a,B,D=DC=a,
所以B,C2=BT)2+DC2,
所以NB,DC=90。.
3.(多選)(2021?泉州高一檢測)如圖菱形ABCD中,AB=2,ZDAB
二60。,E是AB的中點,將^ADE沿直線DE翻折至△A,DE的位置
后,連接AC,AiB.若F是A.C的中點,則在翻折過程中,下列說
法正確的有()
A.異面直線AiE與DC所成的角不斷變大
B.二面角ArDC-E的平面角恒為45°
C.點F到平面A1EB的距離恒為苧
D.當Ai在平面EBCD的投影為E點時,直線AiC與平面EBCD所
成角最大
選CD.因為DC〃AB,可知NAFB或其補角即是異面直線A.E與DC
所成的角,
在翻折的過程中,異面直線A.E與DC所成的角是先增大后減小,所
以選項A不正確;
二面角Ai-DC-E的平面角不是定值,所以選項B不正確;
因為F是AiC的中點,所以F到平面A.EB的距離是C到平面AiEB
的距離的一半,
因為DC〃EB,DCQ平面AiEB,EBU平面AiEB,所以DC〃平面
AiBE,
所以C到平面A.EB的距離等于D到平面AiEB的距離,
又因為DELEB,DE±EA,,EAiAEB=E,
所以DE,平面AiEB,易知DE=S,
所以點D到平面A.EB的距離為小,
即點F到平面A.EB的距離恒為晉,所以選項C正確;
因為DE_L平面AiEB,DEU平面DEBC,所以平面A]EB_L平面
DEBC,
平面AiEBCl平面DEBC=EB,在平面AiEB中,作A1H1EB,垂足
為H,則AiH_L平面DEBC直線AC與平面EBCD所成角為NACH,
因為AiH<AiE,當且僅當A.在平面EBCD的投影為E點時,取到等
號,此時直線AiC與平面EBCD所成角最大,所以選項D正確.
二、填空題
4.如圖,把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60。的二面角,
這時頂點A到BC的距離是________.
在翻折后的圖形中,ZBDC為二面角B-AD-C的平面角,
即NBDC=60。,AD,平面BDC.
過D作DE±BC于E,連接AE,
則E為BC的中點,且AE±BC,
所以AE即為點A到BC的距離.
易知,AD二坐a,△BCD是邊長為微的等邊三角形,
所以DE=乎a,AE=AD2+DE2=a.
答案中a
5.如圖所示,檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時,只要用曲尺的一
邊緊靠在工件的一個面上,另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動,觀察尺
邊是否和這個面密合就可以了,其原理是_______.
如圖:因為OA±OB,OA±OC,OBcp,OCup且OBnOC=O,
根據(jù)線面垂直的判定定理,可得OA_L「,又OAUa,根據(jù)兩平面垂
直的判定定理,可得a_LB.
答案:兩平面垂直的判定定理
6.在空間四邊形ABCD中,平面ABDJ_平面BCD,ZBAD=90°,
且AB=AD,則AD與平面BCD所成的角是_________.
如圖,過A作AO1BD于。點,
因為平面ABDJ_平面BCD,所以AO_L平面BCD,則NADO即為
AD與平面BCD所成的角.
因為/BAD=90。,AB=AD.所以NADO=45。.
答案:45°
7.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,
ZBCD=60°,E是CD的中點,PA_L底面ABCD,PA=2.
(1)平面PBE與平面PAB的位置關(guān)系是________;
⑵平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值為.
⑴連接BD.
因為四邊形ABCD是菱形,ZBCD=60°,
所以△BCD是等邊三角形,
因為E是CD的中點,所以BEJ_CD,所以BEJ_AB.
因為PA,平面ABCD,BEU平面ABCD,所以PA±BE,
又PAU平面PAB,ABU平面PAB,PAAAB=A,
所以BE_L平面PAB,
又BEU平面PBE,所以平面PBEJ_平面PAB.
⑵延長AD,BE相交于點F,連接PF,過點A作AH±PB于H,
由⑴知平面PBEJ_平面PAB,
所以AH_L平面PBE.PFU平面PBE,貝JAH_LPF,
在RtAABF中,因為ZBAF=60°,
所以AF=2AB=2=AP.
在等腰RtAPAF中,取PF的中點G,連接AG,
則AG1PF,連接HGAGAAH=A,AGU平面AGHAHU平面AGH,
所以PFJ_平面AGH,所以PF1HG,
所以NAGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角(銳角).
在等腰R3AGP中,AG*AP=g,
在RtZkPAB中,AH二”等JKPAB_2__2^5
-^AP2+AB2巾5
2小
所以,在RtAAHG中,sinZAGH=然=泉~=
故平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值為手.
答案:(1)垂直⑵羋
三、解答題
8.如圖,在三棱錐ABCD中,ABLAD,BC_LBD,平面ABDJ_平
面BCD,點E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF1AD.
求證:(1)EF〃平面ABC;
(2)AD±AC.
【解題指南】(1)根據(jù)ABJ_AD,EF±AD,可得EF〃AB,從而得EF〃
平面ABC.
(2)證明BC±AD,再由AB±AD,從而可得AD,平面ABC,即得
AD±AC.
【證明】(1)在平面
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