北京市海淀區(qū)師達中學2025屆九上數(shù)學期末調研模擬試題含解析

北京市海淀區(qū)師達中學2025屆九上數(shù)學期末調研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊的中點，DE與AC相交于點F，連接BF，下列結論：；；；，其中正確的是（）A． B． C． D．2．已知，則等于()A．2 B．3 C． D．3．拋物線y=x2-2x+m與x軸有兩個交點，則m的取值范圍為（）A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤14．一元二次方程x2-2x+1=0的根的情況是（）A．只有一個實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根5．若與相似且對應中線之比為，則周長之比和面積比分別是（）A．， B．， C．， D．，6．如圖，下面圖形及各個選項均是由邊長為1的小方格組成的網格，三角形的頂點均在小方格的頂點上，下列四個選項中哪一個陰影部分的三角形與已知相似．（）A． B． C． D．7．將拋物線y=3x2﹣3向右平移3個單位長度，得到新拋物線的表達式為（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣68．已知2x=3y(y≠0)，則下面結論成立的是（）A． B．C． D．9．方程x2﹣6x+5＝0的兩個根之和為（）A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．510．如果關于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A．k>－ B．k>－且 C．k<－ D．k－且二、填空題(每小題3分,共24分)11．我們定義一種新函數(shù)：形如（，且）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|x2-2x-3|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結論：①圖象與坐標軸的交點為，和；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線；③當或時，函數(shù)值隨值的增大而增大；④當或時，函數(shù)的最小值是0；⑤當時，函數(shù)的最大值是1．其中正確結論的個數(shù)是______.12．如圖，是的中線，點在延長線上，交的延長線于點，若，則___________.13．如圖，內接于半徑為的半，為直徑，點是弧的中點，連結交于點，平分交于點，則______．若點恰好為的中點時，的長為______．14．將邊長分別為，，的三個正方形按如圖所示的方式排列，則圖中陰影部分的面積為______.15．有一列數(shù)，，，，，，則第個數(shù)是_______．16．若線段AB=6cm，點C是線段AB的一個黃金分割點（AC＞BC），則AC的長為cm（結果保留根號）．17．已知反比例函數(shù)的圖象經過點，若點在此反比例函數(shù)的圖象上，則________.18．有四條線段，分別為3，4，5，6，從中任取三條，能夠成直角三角形的概率是三、解答題(共66分)19．（10分）已知拋物線y＝kx2+（1﹣2k）x+1﹣3k與x軸有兩個不同的交點A、B．（1）求k的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點M，并求出點M的坐標；（3）當＜k≤8時，由（2）求出的點M和點A，B構成的△ABM的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應的k值．20．（6分）如圖，在平面直角坐標中，反比例函數(shù)的圖象經過點，反比例函數(shù)的圖象經過點，作直線分別交于兩點，已知.（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積.21．（6分）某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)的圖像和性質進行了探究，探究過程如下，請補充完整．

（1）自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應值列表如下：其中，________________．（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖像的一部分，請畫出該圖像的另一部分；（3）觀察函數(shù)圖像，寫出兩條函數(shù)的性質；（4）進一步探究函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)：①方程有______個實數(shù)根；②函數(shù)圖像與直線有_______個交點，所以對應方程有_____個實數(shù)根；③關于的方程有個實數(shù)根，的取值范圍是___________．22．（8分）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+3m﹣2=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）當m為正整數(shù)時，求方程的根．23．（8分）安順市某商貿公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量（千克）與每千克降價（元）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關系式；（2）商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？24．（8分）爸爸有一張“山西大劇院”的演出門票，計劃通過“擲籌碼”的游戲將門票獎勵給哥哥或者弟弟，游戲規(guī)則如下：準備兩個質量均勻的籌碼，在第一個籌碼的一面畫上“×”，另一面畫上“○”；在第二個籌碼的一面畫上“○”，另一面畫上“△”．隨機擲出兩個籌碼，當籌碼落地后，若朝上的一面都是“○”，則哥哥獲得門票；否則，弟弟獲得門票．你認為這個游戲公平嗎？說明理由．25．（10分）如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B，與y軸分別交于點C，其中點，點，且.（1）求拋物線的解析式；（2）點P是線段AB上一動點，過P作交BC于D，當面積最大時，求點P的坐標；（3）點M是位于線段BC上方的拋物線上一點，當恰好等于中的某個角時，求點M的坐標.26．（10分）為進一步發(fā)展基礎教育，自年以來，某縣加大了教育經費的投入，年該縣投入教育經費萬元．年投入教育經費萬元．假設該縣這兩年投入教育經費的年平均增長率相同．求這兩年該縣投入教育經費的年平均增長率．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】試題解析：①和的底分別相等，高也相等，所以它們的面積也相等，故正確.②和的底分別相等，高也相等，所以它們的面積也相等，并不是倍的關系.故錯誤.③由于是的中點，所以和的相似比為，所以它們的面積之比為.故錯誤.④和的底相等，高和則是的關系，所以它們的面積之比為.故正確.綜上所述，符合題意的有①和④.故選C.2、D【詳解】∵2x=3y，∴．故選D．3、C【分析】拋物線與軸有兩個交點，則，從而求出的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線與軸有兩個交點∴∴∴故選：C【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點問題，注：①拋物線與軸有兩個交點，則；②拋物線與軸無交點，則；③拋物線與軸有一個交點，則．4、B【解析】△=b2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴原方程有兩個相等的實數(shù)根．故選B．【點睛】，本題考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b2-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．5、B【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質進行解答即可．【詳解】解：與相似，且對應中線之比為，其相似比為，與周長之比為，與面積比為，故選：B.【點睛】本題考查的是相似三角形的性質，熟知相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比，相似三角形面積比是相似比的平方是解答此題的關鍵．6、A【分析】本題主要應用兩三角形相似判定定理，三邊對應成比例，分別對各選項進行分析即可得出答案．【詳解】解：已知給出的三角形的各邊分別為1、、，只有選項A的各邊為、2、與它的各邊對應成比例．故選：A．【點睛】本題考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基礎知識要熟練掌握．7、A【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減，即可得出.【詳解】拋物線向右平移3個單位,得到的拋物線的解析式是故選A.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律：左加右減，上加下減.8、A【解析】試題解析：A、兩邊都除以2y，得，故A符合題意；B、兩邊除以不同的整式，故B不符合題意；C、兩邊都除以2y，得，故C不符合題意；D、兩邊除以不同的整式，故D不符合題意；故選A．9、B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得出方程的兩根之和為，即可得出選項．【詳解】解：方程x2﹣6x+5＝0的兩個根之和為6，故選：B．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，解決問題的關鍵是熟練正確理解題意，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系.10、B【分析】在與一元二次方程有關的求值問題中，必須滿足下列條件：（1）二次項系數(shù)不為零；（2）在有兩個實數(shù)根下必須滿足△=b2-4ac≥1．【詳解】由題意知，k≠1，方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞且k≠1．故選B．【點睛】本題考查根據(jù)根的情況求參數(shù)，熟記判別式與根的關系是解題的關鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【解析】由，和坐標都滿足函數(shù)，∴①是正確的；從圖象可以看出圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線，②也是正確的；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質，發(fā)現(xiàn)當或時，函數(shù)值隨值的增大而增大，因此③也是正確的；函數(shù)圖象的最低點就是與軸的兩個交點，根據(jù)，求出相應的的值為或，因此④也是正確的；從圖象上看，當或，函數(shù)值要大于當時的，因此⑤時不正確的；逐個判斷之后，可得出答案．【詳解】解：①∵，和坐標都滿足函數(shù)，∴①是正確的；②從圖象可知圖象具有對稱性，對稱軸可用對稱軸公式求得是直線，因此②也是正確的；③根據(jù)函數(shù)的圖象和性質，發(fā)現(xiàn)當或時，函數(shù)值隨值的增大而增大，因此③也是正確的；④函數(shù)圖象的最低點就是與軸的兩個交點，根據(jù)，求出相應的的值為或，因此④也是正確的；⑤從圖象上看，當或，函數(shù)值要大于當時的，因此⑤是不正確的；故答案是：1【點睛】理解“鵲橋”函數(shù)的意義，掌握“鵲橋”函數(shù)與與二次函數(shù)之間的關系；兩個函數(shù)性質之間的聯(lián)系和區(qū)別是解決問題的關鍵；二次函數(shù)與軸的交點、對稱性、對稱軸及最值的求法以及增減性應熟練掌握.12、5【分析】過D點作DH∥AE交EF于H點，證△BDH∽△BCE，△FDH∽△FAE，根據(jù)對應邊成比例即可求解.【詳解】過D點作DH∥AE交EF于H點，∴∠BDH=∠BCE，∠BHD=∠BEC,∴△BDH∽△BCE同理可證：△FDH∽△FAE∵AD是△ABC的中線∴BD=DC∴又∴∴∴故答案為：5【點睛】本題考查的是相似三角形，找到兩隊相似三角形之間的聯(lián)系是關鍵.13、【分析】（1）先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可求出∠ACB=90°，再根據(jù)三角形的內角和定理可求出∠BAC+∠ABC=90°，然后根據(jù)角平分線的性質可求出∠DAB+∠DBA=45°，最后利用外角的性質即可求出∠MAD的度數(shù)；

（2）如圖連接AM，先證明△AME∽△BCE，得到再列代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：（1）∵為直徑，∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°∵點是弧的中點，∴∠ABM=∠CBM=∠ABC.∵平分交于點，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC.∴∠DAB+∠DBA=∠ABC+∠BAC=45°.∴45°.（2）如圖連接AM．

∵AB是直徑，

∴∠AMB=90°

∵∠ADM=45°，

∴MA=MD，

∵DM=DB，

∴BM=2AM，設AM=x，則BM=2x，

∵AB=4，

∴x2+4x2=160，

∴x=4（負根已經舍棄），

∴AM=4，BM=8，∵∠MAE=∠CBM,∠CBM=∠ABM.∴∠MAE==∠ABM.∵∠AME=∠AMB=90°，∴△AME∽△BMA.∴∴∴ME=2.故答案為：(1).(2)..【點睛】本題考查圓周角定理，圓心角，弧弦之間的關系，相似三角形的判定和性質，作出輔助線是解題的關鍵.14、【分析】首先對圖中各點進行標注，陰影部分的面積等于正方形BEFL的面積減去梯形BENK的面積，再利用相似三角形的性質求出BK、EN的長從而求出梯形的面積即可得出答案.【詳解】解：如圖所示，∵四邊形MEGH為正方形，∴∴△AEN△AHG∴NE:GH=AE:AG∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9∴NE=同理可求BK=梯形BENK的面積：∴陰影部分的面積：故答案為：.【點睛】本題主要考查的知識點是圖形面積的計算以及相似三角形判定及其性質，根據(jù)相似的性質求出相應的邊長是解答本題的關鍵.15、【分析】原來的一列數(shù)即為，，，，，，于是可得第n個數(shù)是，進而可得答案．【詳解】解：原來的一列數(shù)即為：，，，，，，∴第100個數(shù)是．故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)的規(guī)律探求，屬于?？碱}型，熟練掌握二次根式的性質、找到規(guī)律是解題的關鍵．16、3（﹣1）【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【詳解】根據(jù)黃金分割點的概念和AC＞BC，得：AC=AB=×6=3（﹣1）．故答案為：3（﹣1）．17、【分析】將點（1，3）代入y即可求出k+1的值，再根據(jù)k+1=xy解答即可．【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象上有一點（1，3），∴k+1=1×3=6，又點（－3，n）在反比例函數(shù)的圖象上，∴6=－3×n，解得：n=－1．故答案為：－1．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，只要點在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式．反之，只要滿足函數(shù)解析式就一定在函數(shù)的圖象上．18、．【解析】試題分析：能構成三角形的情況為：3，4，5；3，4，6；3，5，6；4，5，6這四種情況．直角三角形只有3，4，5一種情況．故能夠成直角三角形的概率是．故答案為．考點：1．勾股定理的逆定理；2．概率公式．三、解答題(共66分)19、（1）且；（2）見解析，M(3,4)；（3）△ABM的面積有最大值，【分析】（1）根據(jù)題意得出△=（1-2k）2-4×k×（1-3k）=（1-4k）2＞0，得出1-4k≠0，解不等式即可；

（2）y=k（x2-2x-3）+x+1，故只要x2-2x-3=0，那么y的值便與k無關，解得x=3或x=-1（舍去，此時y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；

（3）由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=||，由已知條件得出，得出0＜||≤，因此|AB|最大時，||=，解方程即可得到結果.【詳解】解：（1）當時，函數(shù)為一次函數(shù)，不符合題意，舍去；當時，拋物線與軸相交于不同的兩點、，△，，，∴k的取值范圍為且；（2）證明：拋物線，，拋物線過定點說明在這一點與k無關，顯然當時，與k無關，解得：或，當時，，定點坐標為；當時，，定點坐標為，∴M不在坐標軸上，；（3），，，，，，最大時，，解得：，或（舍去），當時，有最大值，此時的面積最大，沒有最小值，則面積最大為：．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，根的判別式以及最值問題等知識；本題難度較大，根據(jù)題意得出點M的坐標是解決問題的關鍵．20、（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，分別把分別代入，進而得出解析式.（2）根據(jù)函數(shù)的交點性質，求出C、D的坐標，進而求出CD的長和三角形的高，進行求面積即可.【詳解】解：（1）∵的圖象過點，的圖象過點，∴，∴，.（2）由（1）可知兩條曲線與直線的交點為，∴，∴.【點睛】本題主要考察了反比例函數(shù)的性質，靈活運用待定系數(shù)法和函數(shù)的交點性質是解題的關鍵.21、（1）-1；（2）見解析；（1）函數(shù)的圖象關于y軸對稱；當x＞1時，y隨x的增大而增大；（4）①2；②1，1；③－4＜a＜－1【分析】（1）由題意觀察表格根據(jù)函數(shù)的對稱性即可求得m的值；（2）根據(jù)題意代入表格數(shù)據(jù)進行描點、連線即可得到函數(shù)的圖象；（1）由題意根據(jù)題干所給的函數(shù)圖象性質進行分析即可；（4）①根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，即可得到結論；②根據(jù)的圖象與直線y=-1的交點個數(shù)，即可得到結論；③根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到a的取值范圍．【詳解】解：（1）觀察表格根據(jù)函數(shù)的對稱性可得m=－1；（2）如圖所示；（1）由函數(shù)圖象知：①函數(shù)的圖象關于y軸對稱；②當x＞1時，y隨x的增大而增大；（4）①函數(shù)圖象與x軸有2個交點，所以對應的方程有2個實數(shù)根；②由函數(shù)圖象知：的圖象與直線y=－1有1個交點，∴方程有1個實數(shù)根；③由函數(shù)圖象知：∵關于x的方程x2－2－1=a有4個實數(shù)根，∴a的取值范圍是－4＜a＜－1，故答案為：2，1，1，－4＜a＜－1．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，運用數(shù)形結合思維分析以及正確的識別圖象是解題的關鍵．22、（2）m＜2；（2）x2=2+，x2=2-．【解析】（2）由方程有兩個不相等的實數(shù)根知△＞0，列不等式求解可得；（2）求出m的值，解方程即可解答．【詳解】（2）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴△=42﹣4（3m﹣2）=24﹣22m＞0，解得：m＜2．（2）∵m為正整數(shù)，∴m=2．∴原方程為x2﹣4x+2=0解這個方程得：x2=2+，x2=2-．【點睛】考查了根的判別式，熟練掌握方程的根的情況與判別式的值間的關系是解題的關鍵．23、（1）；（2）商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價9元．【分析】（1）根據(jù)圖象可得：當，，當，；再用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)這種干果每千克的利潤×銷售量=2090列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）設一次函數(shù)解析式為：，根據(jù)圖象可知：當，；當，；∴，解得：，∴與之間的函數(shù)關系式為；（2）由題意得：，整理得：，解得：．，∵讓顧客得到更大的實惠，∴.答：商貿公司要想獲利2090元，這種干果每千克應降價9元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用和一次函數(shù)的應用，讀懂圖象信息、熟練掌握待定系數(shù)法、正確列出一元二次方程是解題的關鍵．24、游戲不公平，理由見解析．【分析】首先根據(jù)題意列表，然后由表格求得所有等可能的結果，由當概率相等時，這個游戲是否公平，即可求得答案．【詳解】解：游戲不公平，理由如下：隨機投擲兩個籌碼的結果列表如下：一二○△×（×，○）（×，△）○（○，○）（○，△）由上表可知，投擲籌碼的結果共有4種，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，其中，籌碼朝上的一面都是“○”的結果有1種，其他結果有3種．即哥哥獲得門票的概率為，弟弟獲得門票的概率為．∵，∴游戲不公平．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概