第14講 任意角和弧度制（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第14講任意角和弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解任意角的概念和弧度制2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會(huì)引入弧度制的必要性【基礎(chǔ)知識】一、角的相關(guān)概念1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．2.角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點(diǎn)．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3.按照角的旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：4.相反角如圖，我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.二、象限角1.若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限角．2.若角的終邊在坐標(biāo)軸上，則認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．3.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點(diǎn)的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個(gè)角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法4.已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀地看出．三、終邊相同的角1.設(shè)α表示任意角，所有與角α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合可記為{β|β＝eq\o(□,\s\up1(01))α＋k·360°，k∈Z}．2.對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一．四、角的單位制1.用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的eq\f(1,360).2.長度等于半徑長的圓弧所對的eq\o(□,\s\up3(03))圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度，通常略去不寫．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制．3.弧度數(shù)的計(jì)算4.角度制和弧度制的比較(1)弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角是指等于半徑長的弧所對的圓心角，而1度的角是指圓周角的eq\f(1,360)的角，大小顯然不同．(3)無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角，角的大小都是一個(gè)與“半徑”大小無關(guān)的值．(4)用“度”作為單位度量角時(shí)，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作為單位度量角時(shí)，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫．但兩者不能混用，即在同一表達(dá)式中不能出現(xiàn)兩種度量方法．五、角度與弧度的換算1.角度制與弧度制的換算2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π六、扇形的弧長及面積公式1.設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角的弧度數(shù)，n為圓心角的角度數(shù)，則扇形的弧長：l＝eq\f(nπr,180)＝αr，扇形的面積：S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：任意角的概念例1．(多選)已知{第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C關(guān)系是(

)A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，除了銳角，還包括其它角，比如，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，銳角是小于的角，故B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，銳角是第一象限角，故C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，中角的范圍不一樣，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC考點(diǎn)二：終邊相同的角例2．(2022學(xué)年北京市北大附中高一下學(xué)期期中)將軸正半軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到角，則下列與終邊相同的角是(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，當(dāng)時(shí)，，B正確，其他選項(xiàng)經(jīng)過驗(yàn)證均不正確.故選B考點(diǎn)三：象限角例3．(2022學(xué)年廣東省韶關(guān)市田家炳中學(xué)高一上學(xué)期期末)下列四個(gè)角為第二象限角的是(

)A． B． C． D．【答案】AB【解析】對于A選項(xiàng)，，故為第二象限角；對于B選項(xiàng)，是第二象限角；對于C選項(xiàng)，是第三象限角；對于D選項(xiàng)，，故為第一象限角.故選AB.考點(diǎn)四：弧度制例4．(2022學(xué)年上海市仙霞高級中學(xué)高一下學(xué)期期中)將角度化為弧度是______.【答案】【解析】角度化為弧度是考點(diǎn)五：象限角的弧度制表示例5.(多選)(2022學(xué)年安徽省阜陽市界首中學(xué)高一上學(xué)期期末)若是第二象限角，則(

)A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【解析】因?yàn)榕c關(guān)于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以是第一象限角，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負(fù)半軸上，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選AB.考點(diǎn)六：等分角例6．(2022學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市蘆溪中學(xué)高一3月月考)已知．(1)寫出與角終邊相同的角的集合，并求出在內(nèi)與角終邊相同的角；(2)若角與角終邊相同，判斷角是第幾象限的角．【解析】(1)解：與角終邊相同的角的集合為，令，得，又，在內(nèi)與角終邊相同的角是；(2)由(1)，知，則，則當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，角是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，角是第三象限角，角是第一或第三象限角．考點(diǎn)七：扇形弧長公式例7．(2022學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一下學(xué)期期中)我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題:“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題，一不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中的長度為______.【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，則，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，所以，，故，因此，考點(diǎn)八：扇形面積公式例8．(2022學(xué)年中原名校高一上學(xué)期12月第三次大聯(lián)考)已知一扇形的圓心角為，周長為C，面積為S，所在圓的半徑為r．(1)若，cm，求扇形的弧長；(2)若cm，求S的最大值及此時(shí)扇形的半徑和圓心角．【解析】(1)＝，扇形的弧長cm；(2)設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則，∴，則，當(dāng)時(shí)，，cm，，∴S的最大值是，此時(shí)扇形的半徑是4cm，圓心角．【真題演練】1．(2022學(xué)年北京市第十五中學(xué)高一下學(xué)期期中)在0°到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為()A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋栽?°到范圍內(nèi)與終邊相同的角為；故選B2.(2022學(xué)年江蘇省常州市八校高一上學(xué)期12月聯(lián)考)若，則角的終邊在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由于，故角的終邊在第一象限，故選A3．(2022學(xué)年山東省名校高一下學(xué)期大聯(lián)考)2月5日，在北京冬奧會(huì)短道速滑混合接力的比賽中，中國隊(duì)以2分37秒348的成績獲得金牌．如圖，短道速滑的比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計(jì)算半徑為，直道長為，點(diǎn)為半圓的圓心，點(diǎn)為彎道與直道的連接點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員沿滑道逆時(shí)針滑行，在某次短道速滑比賽最后一圈的沖刺中，運(yùn)動(dòng)員小夏在彎道上的點(diǎn)處成功超過所有對手，并領(lǐng)先到終點(diǎn)(終點(diǎn)為直道的中點(diǎn))．若從點(diǎn)滑行到點(diǎn)的距離為，則(

)A． B． C．2 D．【答案】C【解析】扇形的弧長為．故．故選C4.(多選)(2022學(xué)年遼寧省撫順市撫順縣高中高一下學(xué)期3月月考)下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是(

)A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660°C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15°【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C不正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)D正確，故選AD5.(多選)(2022學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高一上學(xué)期期末)若角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，則角的值可能是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】；；，故角為與角終邊相同的角．故選AC6.(2022學(xué)年上海市進(jìn)才中學(xué)高一下學(xué)期期中)在直角坐標(biāo)系中，軸在正半軸上一點(diǎn)依逆時(shí)針方向作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)一分鐘轉(zhuǎn)過角，分鐘到達(dá)第三象限，分鐘回到原來位置，則______.【答案】【解析】由題意知：點(diǎn)的角速度為，又，或或；當(dāng)時(shí)，角速度為，則分鐘到達(dá)的位置，不在第三象限，不合題意；當(dāng)時(shí)，角速度為，則分鐘到達(dá)的位置，位于第三象限，符合題意；當(dāng)時(shí)，角速度為，則分鐘到達(dá)的位置，位于第四象限，不合題意；.7.(2022學(xué)年陜西省西安市閻良區(qū)高一下學(xué)期期中)已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使與的終邊相同，且．【解析】(1).(2)，設(shè)，由可得，解得，，則，故.8.(2022學(xué)年湖北省宜昌市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中)某地政府部門欲做一個(gè)“踐行核心價(jià)值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時(shí)，的值最大?并求出最大值．【解析】(1)根據(jù)題意，弧的長度為米，弧的長度米，，．(2)依據(jù)題意，可知，化簡得：，，當(dāng)，．∴當(dāng)時(shí)，y的值最大，且最大值為．【過關(guān)檢測】1.(2022學(xué)年寧夏銀川市第二中學(xué)高一下學(xué)期期中)教室里的鐘表慢了30分鐘，在同學(xué)將它校正的過程中，時(shí)針需要旋轉(zhuǎn)多少弧度?(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】將鐘表校正的過程中，需要順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)針，其大小為，故時(shí)針需要旋轉(zhuǎn)弧度，故選A.2.(2022學(xué)年重慶市巫山大昌中學(xué)校高一上學(xué)期期末)下列與的終邊相同的角的集合中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】，故與其終邊相同的角的集合為或角度制和弧度制不能混用，只有C符合題意，故選C3.(2022學(xué)年河南省南陽市六校高一下學(xué)期第一次聯(lián)考)已知一扇形的周長為，則當(dāng)該扇形的面積取得最大時(shí)，圓心角大小為(

)A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，所以，扇形面積，當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)圓心角，故選D4.(多選)(2021－2022學(xué)年江西省南昌市第十五中學(xué)高一下學(xué)期月考)已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個(gè)象限(

)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【解析】因?yàn)榻鞘堑谝幌笙藿?，所以，，所以，，?dāng)，時(shí)，，，位于第一象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第二象限，當(dāng)，時(shí)，，，位于第三象限，綜上可得位于第一、二、三象限；故選ABC5.(多選)設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，面積為，周長為，則(

)A．若，確定，則，唯一確定 B．若，確定，則，唯一確定C．若，確定，則，唯一確定 D．若，確定，則，唯一確定【答案】ABD【解析】由弧長公式得，，周長，若，確定，則唯一確定，則，唯一確定，故A正確，若，確定，則唯一確定，則，唯一確定，故B正確，若，確定，則，，即，當(dāng)，有兩正實(shí)根，不唯一確定，所以，不一定唯一確定，故C錯(cuò)誤，若，確定，則唯一確定，則唯一確定，故D正確，故選ABD.6.(2022學(xué)年山東省學(xué)情聯(lián)考高一上學(xué)期12月質(zhì)量檢測)下列結(jié)論中不正確的是(

)A．終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角D．，，則【答案】BC【解析】對于選項(xiàng)A：終邊經(jīng)過點(diǎn)的角在第二和第四象限的角平分線上，故角的集合是，正確；對于選項(xiàng)B：將表的分針撥快10分鐘，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)圓周角的六分之一，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是，錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：若，不是第一象限角，錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：而表示的奇數(shù)倍，，而表示的整數(shù)倍，所以，正確．故選BC7.(2022學(xué)年陜西省榆林市綏德中學(xué)、府谷中學(xué)高一下學(xué)期期中)在內(nèi)與終邊相同的角是______．【答案】，【解析】與終邊相同的角記為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在內(nèi)與終邊相同的角有，．8.(2022學(xué)年陜西省西安建筑科技大學(xué)附中高一下學(xué)期月考)“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)