高中數(shù)學(xué)第三章不等式3-3-2-1簡單的線性規(guī)劃問題同步課件新人教A版必修5

3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題第1課時簡單的線性規(guī)劃問題主題線性規(guī)劃問題某公司有60萬元資金,計劃投資甲、乙兩個項目,按要求對項目甲的投資不小于對項目乙投資的倍,且對每個項目的投資不能低于5萬元,設(shè)投資甲、乙兩個項目的資金分別為x,y萬元,利潤為z萬元.1.x,y應(yīng)滿足什么條件?提示:根據(jù)題知x,y應(yīng)滿足

2.若將(x,y)看成點,則該點與不等式組表示的平面區(qū)域有什么關(guān)系?提示:該點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi),該區(qū)域是點(x,y)的可行域.3.若公司對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤,對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤,設(shè)該公司所獲利潤為z萬元,那么z與x,y有何關(guān)系?x,y取值對利潤z有無影響?提示:z=0.4x+0.6y,x,y的取值影響z的取值.4.若把題3中的z=0.4x+0.6y看作關(guān)于x,y的二元一次方程,則z的幾何意義是什么?該直線與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點嗎?提示:把x,y看成一對變量,則二元一次方程表示直線,因此z可看作是該直線在y軸上的截距的倍數(shù),且該直線與不等式組表示的平面區(qū)域必須有公共點.結(jié)論:線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義目標(biāo)函數(shù)要求_______________的函數(shù),叫做目標(biāo)函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的___________線性目標(biāo)函數(shù)如果目標(biāo)函數(shù)是___________________,則稱為線性目標(biāo)函數(shù)最大值或最小值不等式(組)關(guān)于變量的一次函數(shù)結(jié)論:線性規(guī)劃中的基本概念名稱定義目標(biāo)函數(shù)要求_______________的函數(shù),叫做目標(biāo)函數(shù)約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的___________線性目標(biāo)函數(shù)如果目標(biāo)函數(shù)是___________________,則稱為線性目標(biāo)函數(shù)最大值或最小值不等式(組)關(guān)于變量的一次函數(shù)名稱定義線性約束條件如果約束條件是_______________________________則稱為線性約束條件線性規(guī)劃問題在線性約束條件下,求線性目標(biāo)函數(shù)的_______________問題,稱為線性規(guī)劃問題最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)達到_______________的點的坐標(biāo),稱為問題的最優(yōu)解可行解滿足線性約束條件的解,叫做可行解可行域由所有_______組成的集合叫做可行域關(guān)于變量的一次不等式(或等式),最大值或最小值最大值或最小值可行解【對點訓(xùn)練】1.若實數(shù)x,y滿足不等式組則z=2x-y的最小值等于 (

)

A.-1 B.1 C.2 D.-2【解析】選D.由作出可行域如圖:化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,由圖可知,當(dāng)直線y=2x-z過點A時直線在y軸上的截距最大,z有最小值為-2.2.已知變量x,y滿足則x2+y2的最大值為 (

)A.10 B.5 C.4 D.2【解析】選A.作出變量x,y滿足所對應(yīng)的可行域(如圖陰影部分),由解得A(3,-1),而z=x2+y2表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,數(shù)形結(jié)合可得最大距離為OA=,即z=x2+y2的最大值為10.【解析】選A.作出變量x,y滿足所對應(yīng)的可行域(如圖陰影部分),由解得A(3,-1),而z=x2+y2表示可行域內(nèi)的點到原點距離的平方,數(shù)形結(jié)合可得最大距離為OA=,即z=x2+y2的最大值為10.3.設(shè)x,y滿足約束條件則z=的最大值為

(

)A.0 B. C.1 D.2【解析】選D.約束條件對應(yīng)的區(qū)域如圖:由z=的幾何意義得,區(qū)域內(nèi)的點A(1,2)與點O的連接直線斜率最大,即z=的最大值為=2.類型一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值【典例1】(1)x,y滿足約束條件:則z=2x+y的最大值為 (

)

A.-3 B. C.3 D.4(2)已知實數(shù)x,y滿足求x+2y的取值范圍.【解題指南】畫出約束條件表示的平面區(qū)域,利用圖解法求解.【解析】(1)選C.依題意可畫出可行域如圖聯(lián)立可得交點(2,-1),如圖所示,當(dāng)z=2x+y經(jīng)過點(2,-1)時,z最大為3.(2)作出實數(shù)x,y滿足表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,2),B(-2,0),C(-1,-1).設(shè)z=F(x,y)=x+2y,將直線l:z=x+2y進行平移,當(dāng)l經(jīng)過點A時,目標(biāo)函數(shù)z達到最大值,得z最大=F(2,2)=6;當(dāng)l經(jīng)過點C時,目標(biāo)函數(shù)z達到最小值,得z最小=F(-1,-1)=-3,因此,x+2y的取值范圍是[-3,6].【方法總結(jié)】用圖解法解決線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題的一般步驟(1)畫:根據(jù)線性約束條件,在直角坐標(biāo)系中,把可行域表示的平面圖形準(zhǔn)確地畫出來,可行域可以是封閉的多邊形,也可以是一側(cè)開放的無限大的平面區(qū)域.(2)移:運用數(shù)形結(jié)合的思想,把目標(biāo)函數(shù)表示的直線平行移動,最先通過或最后通過的頂點(或邊界)便是最優(yōu)解.(3)求:解方程組求最優(yōu)解,進而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.(4)答:寫出答案.【跟蹤訓(xùn)練】1.設(shè)x,y滿足約束條件則z=2y-x的最小值為 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選A.畫出約束條件所表示的可行域,如圖(陰影部分)所示.目標(biāo)函數(shù)z=2y-x可化為直線y=x+,結(jié)合圖形可得,當(dāng)直線y=x+過點A時,此時在y軸上的截距最小,此時目標(biāo)函數(shù)取得最小值.又由解得A(-1,0),所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin=2×0-(-1)=1.2.若變量x,y滿足約束條件則z=2x+y的最大值和最小值分別為(

)A.4和3

B.4和2

C.3和2

D.2和0【解析】選B.滿足約束條件的可行域如圖所示:

平移直線2x+y=0,經(jīng)過點N(1,0)時,2x+y最小,最小值為2,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最小值為2.經(jīng)過點M(2,0)時,2x+y最大,最大值為4,則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為4.類型二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題【典例2】(1)已知x,y滿足約束條件則z=x2+y2+2x的最小值是(

)A. B.-1 C. D.1(2)已知定點P(1,9),動點Q(x,y)在線性約束條件所表示的平面區(qū)域內(nèi),則直線PQ的斜率k的取值范圍為 (

)A.[-1,7] B.[-7.1]C.(-∞,-1]∪[7,+∞) D.[-9,-1]∪[7,+∞)【解題指南】(1)利用z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1的幾何意義即可行域上的點到定點C(-1,0)的距離的平方再減1,然后再利用數(shù)形結(jié)合求解.(2)先根據(jù)約束條件畫出可行域,找到邊界的點,求出P點與邊界點的連線的斜率,數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論.【解析】(1)選D.畫出可行域如圖所示,

由于z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1,而(x+1)2+y2表示可行域上一點到定點C(-1,0)的距離的平方,由圖可知|AC|最小,所以x2+y2+2x的最小值為-1=()2-1=1.(2)選C.不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示陰影部分,

直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點為A(4,6),直線x-y+2=0與y軸的交點為B(0,2),只需求出過點P的直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點A或點B時的斜率,kBP==7,kAP==-1,所以結(jié)合圖形可得k≥7或k≤-1.【方法總結(jié)】非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求解策略(1)z=(x-a)2+(y-b)2型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x,y)與點(a,b)距離的平方;特別地,z=x2+y2型的目標(biāo)函數(shù)表示可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方.(2)z=型的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.(3)z=|Ax+By+C|可轉(zhuǎn)化為點(x,y)到直線Ax+By+C=0的距離的倍.【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)實數(shù)x,y滿足約束條件則z=x2+y2的最小值為 (

)A. B.10 C.8 D.5【解析】選B.實數(shù)x,y滿足約束條件的可行域為:

z=x2+y2的幾何意義是可行域的點到坐標(biāo)原點距離的平方,顯然A到原點距離的平方最小,由可得A(3,1),則z=x2+y2的最小值為10.類型三已知目標(biāo)函數(shù)最值求參數(shù)或其范圍【典例3】若x,y滿足且z=3x-y的最大值為2,則實數(shù)m的值為 (

)A. B. C.1 D.2【解題指南】先找出可行域確定邊界及不確定邊界中函數(shù)的確定的因素,再結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最值求解.【解析】選D.由約束條件作出可行域如圖,由z=3x-y的最大值為2,聯(lián)立解得A(2,4),化目標(biāo)函數(shù)z=3x-y為y=3x-z,由圖可知,直線mx-y=0必須過點A,可得2m-4=0,解得m=2.【方法總結(jié)】含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略(1)約束條件中含有參數(shù):此時可行域是可變的,應(yīng)分情況作出可行域,結(jié)合條件求出不同情況下的參數(shù)值.(2)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù):此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的,如果斜率一定,則對直線作平移變換;如果斜率可變,則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系分情況確定最優(yōu)解的位置,從而求出參數(shù)的值.【跟蹤訓(xùn)練】已知x,y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)z=-ax+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為________.

【解析】畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.將z=-ax+y轉(zhuǎn)化為y=ax+z,所以目標(biāo)函數(shù)z代表直線y=ax+z在y軸上的截距,若目標(biāo)函數(shù)z=-ax+y取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則直線y=ax+z應(yīng)與直線x+y-2=0或2x-y+2=0平行,如圖中虛線所示,又直線x+y-2=0和2x-y+2=0的斜率分別為-1和2,所以a=2或a=-1.答案:2或-1【知識思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞則直線y=ax+z應(yīng)與直線x+y-2=0或2x-y+2=0平行,如圖中虛線所