九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 第四章　圖形的相似 單元測試卷（北師版 2024年秋）

九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第四章圖形的相似單元測試卷（北師版2024年秋）一、選擇題(每題3分，共30分)1.(教材P79隨堂練習(xí)T3變式)下列各組中的四條線段成比例的是()A．a(chǎn)＝eq\r(2)，b＝3，c＝2，d＝eq\r(3) B．a(chǎn)＝3，b＝6，c＝8，d＝12C．a(chǎn)＝2，b＝eq\r(5)，c＝2eq\r(3)，d＝eq\r(15) D．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4，d＝52．已知△ABC∽△DEF，eq\f(AB,DE)＝eq\f(1,2)，若BC＝2，則EF＝()A．4 B．6 C．8 D．163．如圖是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，虛線相互平行，則點(diǎn)P表示的數(shù)是()A．2 B．3 C.eq\f(10,3) D．4(第3題)4．學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不相似的是()ABCD5．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知eq\f(OA,OA′)＝eq\f(1,3)，若四邊形ABCD的面積是2，則四邊形A′B′C′D′的面積是()A．4 B．6 C．16 D．18(第5題)(第6題)6.如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF.若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(5)－1 C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(5)＋17．如圖，若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為()A．5 B．6 C.eq\f(16,3) D.eq\f(17,3)(第7題)(第8題)8.(2024西安期末)如圖，點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是(1，1)，(1，5)，(5，1)，(7，1)，以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是()A．(7，－2) B．(5，－1) C．(6，0) D．(7，3)9．如圖，已知BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，設(shè)AB＝18，BC＝24，AC＝12，則MN的長是()A．13 B.eq\f(25,2) C.eq\f(40,3) D．14(第9題)(第10題)10.(2023濟(jì)南)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于eq\f(1,2)BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE.以下結(jié)論不正確的是()A．∠BCE＝36°B．BC＝AE C.eq\f(BE,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2) D.eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(\r(5)＋1,2)二、填空題(每題3分，共24分)11.(教材P80隨堂練習(xí)變式)若eq\f(b,a)＝eq\f(d,c)＝eq\f(1,2)(a≠c)，則eq\f(b－d,a－c)＝________．12.(教材P93習(xí)題T3變式)如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在AB上(點(diǎn)D與A，B不重合)，若再增加一個(gè)條件就能使△ACD∽△ABC，則這個(gè)條件可以是____________．(寫出一個(gè)即可)(第12題)13．某品牌汽車為了打造更加精美的外觀，特將汽車的倒車鏡設(shè)計(jì)在整個(gè)車身黃金分割點(diǎn)的位置(即車尾與倒車鏡的距離與車長之比為eq\f(\r(5)－1,2))，如果車頭與倒車鏡的水平距離為2米(如圖)，則該車車身總長為________米．(第13題)14．已知兩點(diǎn)A(5，6)，B(7，2)，先將線段AB向右平移一個(gè)單位長度，然后將線段AB向上平移兩個(gè)單位長度，再以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將其縮小為原來的eq\f(1,2)得到線段CD，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．15.((2024北京西城區(qū)月考)為測量旗桿的高度，小輝的測量方法如下：如圖，將直角三角形硬紙板△DEF的斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上．測得DE＝0.6米，EF＝0.3米，目測點(diǎn)D到地面的距離DG＝1.7米，到旗桿的水平距離DC＝18米，按此方法，可計(jì)算出旗桿AB的高度為________米．(第15題)(第16題)16.((2024西南大學(xué)附中期中)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.CD是中線，過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為點(diǎn)F，與BC相交于點(diǎn)E，若AC＝3，BC＝4，則CE的長是________.17．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，在線段AB上取一點(diǎn)D，作DE⊥AB交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折疊．設(shè)點(diǎn)A落在線段BD上的對應(yīng)點(diǎn)為A1，DA1的中點(diǎn)為F，連接EF，若△FEA1∽△FBE，則AD＝________．(第17題)(第18題)18.(2023常德)如圖①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置．則圖②中eq\f(BD,CE)的值為________．三、解答題(19～21題每題10分，22～24題每題12分，共66分)19.(教材P81習(xí)題T1變式)已知a:b:c＝3:4:5.(1)求代數(shù)式eq\f(3a－b＋c,2a＋3b－c)的值；(2)如果3a－b＋c＝10，求a，b，c的值．20．如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長是1個(gè)單位長度．(1)畫出△ABC向上平移6個(gè)單位長度得到的△A1B1C1；(2)以點(diǎn)C為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且△A2B2C2與△ABC的相似比為2:1，并直接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．21.(2023江西改編)如圖，在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AD＝5，AC＝8，BD＝6.(1)求證：?ABCD是菱形；(2)延長BC至點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若∠E＝eq\f(1,2)∠ACD，求eq\f(OF,EF)的值．22．陽光明媚的一天，實(shí)踐課上，亮亮準(zhǔn)備用所學(xué)知識(shí)測量教學(xué)樓前一座假山AB的高度．如圖，亮亮在地面上的點(diǎn)F處，眼睛貼地觀察，看到假山頂端A、教學(xué)樓頂端C在一條直線上．此時(shí)他起身在F處站直，發(fā)現(xiàn)自己的影子末端和教學(xué)樓的影子末端恰好重合于點(diǎn)G處，測得FG＝2米，亮亮的身高EF為1.6米．假山的底部B處因有圍欄無法到達(dá)，但經(jīng)詢問和進(jìn)行部分測量后得知，BF＝9米，點(diǎn)D，B，F(xiàn)，G在一條直線上，CD⊥DG，AB⊥DG，EF⊥DG，已知教學(xué)樓CD的高度為16米，請你求出假山的高度AB.23.(2023天門)如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)M落在邊AD上(點(diǎn)M不與點(diǎn)A，D重合)，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P，折痕分別與邊AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BM.(1)求證：∠AMB＝∠BMP；(2)若DP＝1，求MD的長．24.如圖①，小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形ABCD和矩形EFGH，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上(EF<AB)，且點(diǎn)C，D，G，H在直線AB的同側(cè)；第二步，設(shè)置eq\f(AB,AD)＝m，eq\f(EF,EH)＝n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動(dòng)；第三步，畫出邊EF的中點(diǎn)O，射線OH與射線AD相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P，D不重合)，射線OG與射線BC相交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q，C不重合)，觀測DP，CQ的長度．(1)如圖②，小麗取AB＝4，EF＝3，m＝1，n＝3，滑動(dòng)矩形EFGH，當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，CQ＝________.(2)小麗滑動(dòng)矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點(diǎn)．她發(fā)現(xiàn)對于任意的m≠n，DP＝CQ總成立，請說明理由．(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想設(shè)定m，n的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動(dòng)矩形EFGH，DP＝CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．

答案一、1.C2.A3.C4.A5.D6.C7.C8.A9．C點(diǎn)撥：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∠AMN＝∠ABC.∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO.∴MO＝MB，NO＝NC.∴△AMN的周長＝AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝18＋12＝30.又∵∠MAN＝∠BAC，∴△AMN∽△ABC.∴eq\f(MN,BC)＝eq\f(△AMN的周長,△ABC的周長).∴eq\f(MN,24)＝eq\f(30,54)∴MN＝eq\f(40,3).10．C點(diǎn)撥：由題意得BC＝DC，CE平分∠ACB.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°.∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝36°.故A正確．∵CE平分∠ACB，∠ACB＝72°，∴∠ACE＝36°＝∠A，∴AE＝CE.∵∠ABC＝72°，∠BCE＝36°，∴∠BEC＝72°＝∠B.∴CE＝BC.∴BC＝AE.故B正確．∵∠A＝∠BCE，∠ABC＝∠CBE，∴△ABC∽△CBE.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BC,BE).設(shè)AB＝1，BC＝x，則BE＝1－x，∴eq\f(1,x)＝eq\f(x,1－x)，解得x＝eq\f(\r(5)－1,2).∴BE＝1－eq\f(\r(5)－1,2)＝eq\f(3－\r(5),2).∴eq\f(BE,AC)＝eq\f(3－\r(5),2).故C錯(cuò)誤．過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，EH⊥AC于H，∵CE平分∠ACB，∴EG＝EH.∴eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(\f(1,2)·AC·EH,\f(1,2)·BC·EG)＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(\r(5)＋1,2).故D正確．二、11.eq\f(1,2)12.∠ACD＝∠ABC(答案不唯一)13．(3＋eq\r(5))14.(3，4)15.10.716.eq\f(9,4)點(diǎn)撥：∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝BD＝eq\f(1,2)AB，∠BCD＋∠ACF＝90°.∴∠B＝∠BCD.∵AE⊥CD，∴∠CAF＋∠ACF＝90°.∴∠CAF＝∠BCD＝∠B.又∵∠ACE＝∠BCA，∴△ACE∽△BCA.∴eq\f(CE,AC)＝eq\f(AC,BC).∴CE＝eq\f(AC2,BC).∵AC＝3，BC＝4，∴CE＝eq\f(9,4).17.eq\f(8,5)18.eq\f(4,5)點(diǎn)撥：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10.在題圖①中，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝90°，∠AED＝∠ACB.∴△ADE∽△ABC.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC).∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC).由題圖①知∠BAC＝∠DAE，∴在題圖②中，∠BAD＝∠CAE.∴△ABD∽△ACE.∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).三、19.解：∵a：b：c＝3：4：5，∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k.(1)eq\f(3a－b＋c,2a＋3b－c)＝eq\f(9k－4k＋5k,6k＋12k－5k)＝eq\f(10,13).(2)∵3a－b＋c＝10，∴9k－4k＋5k＝10，解得k＝1.∴a＝3，b＝4，c＝5.20．解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求．(2)如圖所示，△A2B2C2即為所求，A2(－2，－2)．21．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AD＝5，AC＝8，BD＝6.∴DO＝BO＝eq\f(1,2)BD＝3，AO＝CO＝eq\f(1,2)AC＝4.在△AOD中，AD2＝25，AO2＋OD2＝32＋42＝25，∴AD2＝AO2＋OD2.∴△AOD是直角三角形，且∠AOD＝90°.∴AC⊥BD.∴平行四邊形ABCD是菱形．(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ACB＝∠ACD，AD＝BC.∵∠E＝eq\f(1,2)∠ACD，∴∠E＝eq\f(1,2)∠ACB.∵∠ACB＝∠E＋∠COE，∴∠E＝∠COE.∴CE＝OC＝eq\f(1,2)AC＝4.過點(diǎn)O作OG∥CD交BC于點(diǎn)G，∴eq\f(BG,GC)＝eq\f(BO,OD)＝1.∴CG＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(5,2).∴eq\f(OF,EF)＝eq\f(GC,CE)＝eq\f(\f(5,2),4)＝eq\f(5,8).22．解：∵CD⊥DG，EF⊥DG，∴∠EFG＝∠D＝90°.又∵∠G＝∠G，∴△GEF∽△GCD.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(GF,GD)，即eq\f(1.6,16)＝eq\f(2,DB＋9＋2)，解得BD＝9米．∵AB⊥DG，∴∠ABF＝90°＝∠D.∵∠AFB＝∠CFD，∴△FAB∽△FCD.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(FB,FD)，即eq\f(AB,16)＝eq\f(9,9＋9)，解得AB＝8米．∴假山的高度AB為8米．23．(1)證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得∠EMP＝∠EBC＝90°，EM＝EB，∴∠EMB＝∠EBM.∴∠EMP－∠EMB＝∠EBC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC.∴∠AMB＝∠MBC.∴∠AMB＝∠BMP.(2)解：如圖，延長MN，BC交于點(diǎn)Q.∵AD∥BC，∴∠DMP＝∠Q.又∵∠DPM－∠CPQ，∴△DMP∽△CQP.∵DP＝1，正方形ABCD的邊長為3，∴CP＝2.∴eq\f(MD,QC)＝eq\f(MP,QP)＝eq\f(DP,CP)＝eq\f(1,2).∴QC＝2MD，QP＝2MP.設(shè)MD＝x，則QC＝2x，∴BQ＝3＋2x.∵∠BMP＝∠MBC，即∠BMQ＝∠MBQ，∴MQ＝BQ＝3＋2x.∴MP＝eq\f(1,3)MQ＝eq\f(3＋2x,3).在Rt△DMP中，MD2＋DP2＝MP2，∴x2＋12＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋2x,3)))eq\s\up12(2).解得x1＝0(舍)，x2＝eq\f(12,5).∴MD＝eq