2021-2022學(xué)年山西省運(yùn)城市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（學(xué)生版+解析版）

2021-2022學(xué)年山西省運(yùn)城市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.（3分）方程x（x-2）=x的根是（）

A.x~~0B.x~~2C.xiX2==2D.x\~0,

2.（3分）將拋物線y=2?+l向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位后得到的拋物線表達(dá)

式為（）

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

3.(3分)在RtZvlBC中，ZC=90°,若sinA=則cosA的值為()

58212

A.—B.—C.D.

1213313

4.（3分）如圖，AABC和△48'C是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若04：04=1：2,

則△A8C與△48'C的周長(zhǎng)比為（)

C.I：2D.1：9

5.（3分）某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為50萬(wàn)元，到三月底營(yíng)業(yè)額累計(jì)為500萬(wàn)元.如果設(shè)平

均每月的增長(zhǎng)率為x,依題意得，可列出方程為（）

A.50（l+x）2=500

B.50（l+x）3=500

C.50（l+x）2=450

D.50+50（l+x）+50（l+x）2=500

6.（3分）如圖，直線/1〃/2〃/3,直線a,6與這三條直線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)E,F,

F,若A&BC=5：3,則所：。尸等于（）

b

C.3：5D.8：11

7.(3分)點(diǎn)A(-3,yi),B(1,”),C（3,*）在反比例函數(shù)），=三的圖象上，則yi,

y2f”的大小關(guān)系是（）

A.y2>y3>y]B.y]>y3>y2C.y2>y2>y\D.y3>y\>y2

8.（3分）某三棱柱的三種視圖如圖所示，已知俯視圖中tanB=4,S&ABC=7,下列結(jié)論中：

2

①主視圖中，〃=3；②左視圖矩形的面積為18；③俯視圖NC的正切值為3其中正確的

個(gè)數(shù)為（）

左視圖

A.C.1個(gè)D.0個(gè)

9.（3分）已知拋物線（a￥0）的對(duì)稱軸為直線x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

為A（3,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①M(fèi)cVO；②廬-4ac>0；③拋物線

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）；④方程a『+bx+c=l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其

中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊,

點(diǎn)8落在矩形A8C。的內(nèi)部點(diǎn)尸處，若tan/D4F=*,則BE的長(zhǎng)為（）

B

、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

.（3分）若a是銳角且sina=亨，則a的度數(shù)是.

11.

12.（3分）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，從中

隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號(hào)之和大于5的概率為.

V5-1

13.（3分）我們把寬與長(zhǎng)的比為黃金比（―^一）的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形

ABCD^,AB<BC,BC=2,/ABC的平分線交邊于點(diǎn)E,則OE的長(zhǎng)為.

14.（3分）如圖，有一矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另三邊用16米的長(zhǎng)

籬笆圍成，則矩形ABC。面積的最大值是.

B'---------------------'C

15.（3分）如圖，在△A8C中，AB=14,AC=10,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)M是BA延長(zhǎng)線

4

上一點(diǎn)，已知tanNC4M=w，ND4B=45°,則AO的長(zhǎng)為.

MAB

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明。證明過(guò)程或演算步驟）

16.（10分）（1）計(jì)算：V2sin45°+2cos30°+|1-tan60°|.

（2）解方程：（x+3）2=2X+6.

17.（8分）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交A。，BC于點(diǎn)、E,

F,EF與AC相交于點(diǎn)。，連接AF,CE.

（1）求證：四邊形AECF是菱形;

（2）已知sin/ACF=洛，CF=5,AB=6,請(qǐng)你直接寫出sinB的值.

18.（8分）某”綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量運(yùn)城北站關(guān)公銅像高度的實(shí)踐活動(dòng)，他們?cè)O(shè)

計(jì)了兩個(gè)測(cè)量方案如下表.經(jīng)過(guò)老師與小組利用課余時(shí)間實(shí)地考察放棄了方案一，采用

了方案二，他們?cè)阢~像底部所在的平地上選取兩個(gè)不同的測(cè)點(diǎn)，分別測(cè)量了銅像頂端的

仰角以及這兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離.為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)

測(cè)點(diǎn)之間的距離時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果填入表格，測(cè)量

數(shù)據(jù)如下表.

課題測(cè)量公關(guān)銅像的高度

成員組長(zhǎng)：XXX,組員：XXX,XXX,XXX

工具側(cè)傾器,皮尺等

設(shè)計(jì)方案說(shuō)明：線段AB表示銅像，線段C。表

方案一示側(cè)傾器，CD的高度為1.1米，點(diǎn)E

測(cè)量在48上，點(diǎn)A,B,C,D,E在同一

示平面內(nèi).需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有8c的距

意圖離,傾斜角BC的距離，傾斜角/4DE

的度數(shù).

方案說(shuō)明：線段AB表示銅像，線段CQ,

EG表示側(cè)傾器，CD,PG的高度為

測(cè)量1.1米，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)4,B,C,

示D,E,F,G在同一平面內(nèi).需要測(cè)

意圖量的數(shù)據(jù)有CF的距離，傾斜角N

ADE,NAGE的度數(shù).

實(shí)施方案ZADE的平均值ZAGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

測(cè)量

數(shù)據(jù)

(1)“綜合與實(shí)踐”小組為什么放棄方案一，你認(rèn)為原因可能是什么？(寫出一條即可)

(2)請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)公銅像的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin28.50*0.48,cos28.5°~0.88,tan28.5°（盤）

19.(8分)如圖，一次函數(shù)yi=x+b與反比例函數(shù)"=歹交于點(diǎn)A(1,a),0(-4,1),

與y軸，x軸分別交于點(diǎn)8,C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)作AE，)，軸于點(diǎn)E,連接。E,求△AQE的面積；

(3)根據(jù)圖象請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍.

y

20.（9分）某經(jīng)銷商經(jīng)銷一種封面為建黨100周年的筆記本，每本進(jìn)價(jià)為3元，按每本5

元出售，每天可售出30本.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種筆記本銷售單價(jià)每提高1元，每天的銷售量就

會(huì)減少3本.

（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該經(jīng)銷商每天銷售這筆記本的銷售利潤(rùn)為105元？

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使該經(jīng)銷商每天銷售這種筆記本所得的利潤(rùn)最大？

最大利潤(rùn)是多少元？

USB

度IR中■共產(chǎn)竟雇立100周年

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21.（8分）閱讀與思考

閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的性質(zhì)后，希望學(xué)習(xí)小組又進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)：如果在雙曲線

上任取兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別向兩坐標(biāo)軸垂線（垂足不同時(shí)在x或y軸上），那么垂足的連

線和這兩點(diǎn)的連線平行.如圖1,點(diǎn)A,B是反比例函數(shù)y=[（ZW0）在第一象限圖象上

的兩點(diǎn)，作ACy軸于點(diǎn)。，BCLx軸于點(diǎn)C,連接CQ,則AB〃CQ；如圖2,點(diǎn)A,

8是反比例函數(shù)），=1（AH0）在第一象限圖象上的兩點(diǎn)，作軸于點(diǎn)。，D,BCL

y軸于點(diǎn)C,連接8,則AB〃CD在老師指導(dǎo)下希望學(xué)習(xí)小組進(jìn)行嚴(yán)格推理，證明這

一結(jié)論是正確的.

【結(jié)論應(yīng)用】

任務(wù)：（1）如圖2,若40與BC交于點(diǎn)E,CE：BE=\：2.

喘的值為―.

②若的面積為6,則四邊形OCED的面積為.

（2）智慧學(xué)習(xí)小組利用上述結(jié)論又進(jìn)行了新的探究，如圖3,直線EF與反比例函數(shù)），=]

(20)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的上方，與x,y軸分別交于點(diǎn)E,凡則得

到AE=BF這一結(jié)論.

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：作4D_Ly軸于點(diǎn)￡>,8C_Lx軸于點(diǎn)C,連接CD,

則A8〃C￡),BC//DE.

.\ZDEA=ZCBF,四邊形EQCB是平行四邊形.

仔細(xì)閱讀上面的證明過(guò)程，按照上面的證明思路，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

22.(12分)綜合與實(shí)踐

如圖1,在綜合實(shí)踐課上，老師讓學(xué)生用兩個(gè)等腰直角三角形進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)探究.在

RtZ\ABC中，NBAC=90°,AB=AC,在RtZWWN中，ZMAN=90°,AM=AN,點(diǎn)

M,N分別在AC,A8邊行，直角頂點(diǎn)重合在一起，將Rtz^AMN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)

旋轉(zhuǎn)角/K4C=a,其中0°<a<90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)M落在BC上時(shí)，如圖2：

①請(qǐng)直接寫出NBA/N的度數(shù)為(用含a的式子表示)；

□

②若tana=甲AC—1,求AM的長(zhǎng)；

(2)如圖3,連接BN,CM,并延長(zhǎng)CM交BN于點(diǎn)E,請(qǐng)判斷CE與BN的位置關(guān)系,

并加以證明；

(3)如圖4,當(dāng)NBAC與NMAN是兩個(gè)相等鈍角時(shí)，其他條件不變，即在△ABC與4

AMN中，AB=AC,AM=AN,ZMAN=ZBAC=^,NMAC=a,則NCEN的度數(shù)為

(用含a或0的式子表示).

23.(12分)綜合與探究

如圖，直線y=—%+4與x軸，y軸分別交于8,C兩點(diǎn)，拋物線y=o?+%+c經(jīng)過(guò)8,

C兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A(點(diǎn)A在點(diǎn)2的左側(cè))，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)￡>.拋物線

的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)￡

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)例是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接。M并延長(zhǎng)交x軸交于點(diǎn)F,當(dāng)FM：FD=1：4

時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是該拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,試判斷是否存在這樣的點(diǎn)P,

使/%B+NBCO=90°,若存在，請(qǐng)直接寫出，”的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2021-2022學(xué)年山西省運(yùn)城市九年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑)

1.(3分)方程x(x-2)=x的根是()

A.x=0B.x=2C.xi=0,X2=2D.xi=0,12=3

【解答】解：x(x-2)=x,

x(x-2)-x=0,

x(x-3)=0,

x-3=0或x=0,

解得：xi=3,X2=O；

故選：D.

2.(3分)將拋物線y=2?+l向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位后得到的拋物線表達(dá)

式為()

A.y=2(x-2)2+4B.y=2(x+2)2+4

C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2-2

【解答】解：拋物線)=廿+1向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位后得到的拋物線表

達(dá)式為:y=2(x+2)2+3+1,即y=2(x+2)2+4.

故選:B.

3.(3分)在RtZ\ABC中，NC=90°,若sinA=/，則cosA的值為()

58212

A.—B.—C.—D.—

1213313

【解答】解：Vsin2A+cos2A=l,即(―)2+cos2A=l,

13

ACOS2A=襟,

...cosA=，或—黃(舍去)，

?,?COSA=Y1g2.

故選：D.

4.(3分)如圖，△ABC和△AbC是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若OA：OA'=\：2,

則△A8C與△A'B'C的周長(zhǎng)比為()

A.I：4B.I：3C.I：2D.1：9

【解答】解：OA'=1：2,

：.AC：A'C=1：2,

.?.△ABC與△4'B'C的相似比是1：2,

.,.△ABC與B1C'的周長(zhǎng)比為1：2,

故選：C.

5.(3分)某超市一月份的營(yíng)業(yè)額為50萬(wàn)元，到三月底營(yíng)業(yè)額累計(jì)為500萬(wàn)元.如果設(shè)平

均每月的增長(zhǎng)率為x,依題意得，可列出方程為()

A.50(1+x)2=500

B.50(1+x)3=500

C.50(1+x)2=450

D.50+50(1+x)+50(1+x)2=500

【解答】解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意：二月份的月營(yíng)業(yè)額為50義(1+x),

三月份的月銷售額在二月份月銷售額的基礎(chǔ)上增加X(jué),

為50X(1+x)X(1+x),則列出的方程是：50+50(1+x)+50(1+x)2=500.

故選：D.

6.(3分)如圖，直線/1〃/2〃/3,直線”，人與這三條直線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)E,F,

F,若A8：BC=5：3,貝IjEF：。尸等于()

A.3：8B.5：8C.3：5D.8：11

【解答】解：???直線/1〃/2〃/3,

#DEAB5

EF~BC~3

.EF3

??=一,

DF8

故選：A,

7.(3分)點(diǎn)4(-3,yi),8(1,?),C(3,*)在反比例函數(shù))，=呈的圖象上，則yi,

”，戶的大小關(guān)系是()

A.y2>y3>y\B.y\>y3>y2C.y2>y2>y\D.y3>y\>y2

【解答】解：?反比例函數(shù))，=呈中，a=-3<0,

,此函數(shù)圖象在二、四象限，

：-3<0,

...點(diǎn)A(-3,yi)在第二象限，

V3>l>0,

(1,”)，C(3,*)兩點(diǎn)在第四象限，

?RVy3Vo.

”，”的大小關(guān)系為

故選：B.

8.(3分)某三棱柱的三種視圖如圖所示，已知俯視圖中tanB=*,S&ABC=1,下列結(jié)論中：

2

①主視圖中，"=3；②左視圖矩形的面積為18；③俯視圖NC的正切值為3其中正確的

個(gè)數(shù)為()

左視圖

BC

俯視圖

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【解答】解：由簡(jiǎn)單幾何體的三視圖可知，這個(gè)幾何體是三棱柱，高為6,BD=4,CD

=m,

iAD

VtanB=|=gg,BD=49

：.AD=2,

又???SAABC=7=yC?A￡）,

1

A-（4+m）X2=7,

2

解得m=3,

因此①正確；

左視圖長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2,寬為6,所以面積為12,

因此②不正確；

An9

在Rt"QC中，tanC=^=*

因此③正確；

綜上所述，正確的結(jié)論有①③，共2個(gè)，

故選：B.

俯視圖

9.（3分）已知拋物線>=以2+版+。"wo）的對(duì)稱軸為直線x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

為A（3,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①HcVO；②*-4ac>0；③拋物線

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）;④方程a/+bx+c=l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其

中正確的個(gè)數(shù)為（）

【解答】解：①???開口向上與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，能得到：?>0,c<

0,一名>0，b<0,

'.abc>0,錯(cuò)誤，不符合題意；

②圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知臣-4ac>0,正確，符合題意；

③?對(duì)稱軸為直線x=l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（3,0）,

.?.拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,0）,正確，符合題意；

④由圖象可知，拋物線y=o?+bx+c與直線y=l有兩個(gè)交點(diǎn)，

...方程/+〃x+c=l有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確，符合題意；

故選：C.

10.（3分）如圖，在矩形ABC。中，AB=5,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將AABE沿直線AE折疊，

點(diǎn)8落在矩形4BC。的內(nèi)部點(diǎn)尸處，若tan/D4FT，則BE的長(zhǎng)為（）

【解答】解：過(guò)尸作GH〃AB交4。于G,交BC于H,如圖:

;四邊形4BC。是矩形，GH//AB,

二四邊形ABHG是矩形，

；.NAGF=NEHF=90°,GH=AB=5,

???/\ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在矩形ABCD的內(nèi)部點(diǎn)F處，

：.AF=AB=5,ZAFE=90°,BE=EF,

3

VtanZDAF=7q，

.GF3

AG4

設(shè)G尸=3x,則AG=4x,

222

在RtZkAbG中，AG+GF=AFf

（4x）2+（3x）2=52,

解得x=l或尤=-1（舍去），

?"G=4,GF=3,

:?FH=GH-GF=2,

VZAFE=90°,

AZAFG=90°-ZEFH=ZFEH,ZAGF=ZEHF=90°,

???XAGFsXFHE,

EFFHEF2

???一=—,即一=

AFAG54

：.EF=I，

：.BE=I，

故選:A.

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）

11.（3分）若a是銳角且sina=?則a的度數(shù)是60。.

【解答】解：Ya是銳角且sina=亨，

.\Za=60o.

故答案為：60°.

12.（3分）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球，這些球除標(biāo)號(hào)外都相同，從中

隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的小球標(biāo)號(hào)之和大于5的概率為1.

【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下:

開始

1134

小木z\/1\

234134124123

和345356457567

共有12種等可能的情況數(shù),其中摸出的小球標(biāo)號(hào)之和大于5的有4種,

41

則摸出的小球標(biāo)號(hào)之和大于5的概率為二；=

123

故答案為：

V5-1

13.（3分）我們把寬與長(zhǎng)的比為黃金比（《一）的矩形稱為黃金矩形，如圖，在黃金矩形

ABCD中，AB<BC,BC=2,ZABC的平分線交AD邊于點(diǎn)E,則DE的長(zhǎng)為3一遮.

【解答】解：...四邊形ABCC是黃金矩形，AB<BC,BC=2,

，行一

：.AD=BC=2,AB=N4=NABC=90°,

平分NA8C,

AZABE=45°,

.??△ABE是等腰直角三角形,

：.AE=AB=V5-},

：.DE=AD-AE=2-（V5-I）=3-遍,

故答案為：3—yT^.

14.（3分）如圖，有一矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，養(yǎng)雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另三邊用16米的長(zhǎng)

籬笆圍成，則矩形面積的最大值是32〃尸.

AD

B'------------------'C

【解答】解：設(shè)矩形的寬為笛*,面積為夕戶,

根據(jù)題意得：S=x（16-2x）

=-2J?+16X

=-2（x-4）2+32,

...x=4〃?時(shí)，菜園面積最大，最大面積是32%2.

故答案為：32w2.

15.（3分）如圖，在△ABC中，AB=14,AC=10,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)例是BA延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，已知tan/CAM=&ND48=45°，則AD的長(zhǎng)為4企.

3-------

MAB

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C、。作CM_L8M,DNLBM.

VtanZCAA/=暫=

:.CM=4k,AM=3k(攵為不等于0的常數(shù)).

在RtZ\4CM中，

9：AC=V/1M24-CM2,

???J(4k)2+(3k)2=10.

解得k=2.

，CM=8,AM=6.

???8M=A8+AM=20,

在Rt/XAON中，

VZDAB=45°，

：.AN=DN.

CM_DN

VtanB=BM=~BN9

8DNDN

20-BN-14-DN

：.DN=AN=4.

???AZ)=4A②

故答案為：4V2.

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明。證明過(guò)程或演算步驟）

16.(10分)(1)計(jì)算：V2sin45°+2cos30°+|1-tan60°|.

(2)解方程：(x+3)2=〃+6.

【解答】解：(1)V2sin45°+2cos30°+|1-tan60°|

=&x岑+2x亨+V5-1

=1+V3+V3-1

—28；

(2)?/(x+3)2=2X+6,

(x+3)2=2(x+3),

(x+3)2-2(x+3)=0,

則(x+3)(x+3-2)=0,

.,.x+3=0或x+l=0.

??X\=~3,X2=~1.

17.(8分)如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線4c的垂直平分線分別交AD,BC于點(diǎn)、E,

F,EF與AC相交于點(diǎn)。，連接AF,CE.

(1)求證：四邊形AEC尸是菱形;

(2)已知sin/ACF=W，CF=5,AB=6,請(qǐng)你直接寫出sinB的值.

【解答】(1)證明：四邊形A8CZ)是平行四邊形,

：.AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

又：EF垂直平分4C,

：.OA=OC.EA=EC,

在△人(?￡和△CO尸中，

ZEA0=/FCO

OA=0C

Z.AOE=Z.COF

:.△AOEQlXCOFCASA),

：.OE=OF,

...四邊形AECF是平行四邊形,

'JEA^EC

，平行四邊形AECf■是菱形；

(2)解：過(guò)A作4W_LBC于M,如圖所示:

"JEFYAC,

：.ZCOF=90°,

：sinNACF=*=黑，CF=5,

：.OF=V5,

：.0C=>JCF2-OF2=J52-（V5）2=2遍,

：.AC=2OC=4^5,

由（1）得：四邊形AEC尸是菱形，

：.AF=CF=5,

'：AMYBC,

：.ZAMB=ZAMC=90a,

：.AM2=AF2-FM2=Ad-CM2,

即52-F〃2=（475）2_（尸M+5）2,

解得：FM=3,

；.AM=y/AF2-FM2=V52-32=4,

4M_4_2

sinB=AB=6=T

18.(8分)某“綜合與實(shí)踐”小組開展了測(cè)量運(yùn)城北站關(guān)公銅像高度的實(shí)踐活動(dòng)，他們?cè)O(shè)

計(jì)了兩個(gè)測(cè)量方案如下表.經(jīng)過(guò)老師與小組利用課余時(shí)間實(shí)地考察放棄了方案一，采用

了方案二，他們?cè)阢~像底部所在的平地上選取兩個(gè)不同的測(cè)點(diǎn)，分別測(cè)量了銅像頂端的

仰角以及這兩個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的距離.為了減小測(cè)量誤差，小組在測(cè)量仰角的度數(shù)以及兩個(gè)

測(cè)點(diǎn)之間的距離時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果填入表格，測(cè)量

數(shù)據(jù)如下表.

課題測(cè)量公關(guān)銅像的高度

成員組長(zhǎng)：XXX,組員：XXX,XXX,XXX

工具側(cè)傾器,皮尺等

設(shè)計(jì)方案說(shuō)明：線段A8表示銅像，線段CQ表

方案一示側(cè)傾器，CD的高度為1.1米，點(diǎn)E

測(cè)量在AB上，點(diǎn)A,B,C,D,E在同一

示平面內(nèi).需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有8C的距

意圖離，傾斜角BC的距離，傾斜角NAQE

的度數(shù).

方案說(shuō)明：線段AB表示銅像，線段CQ,

EG表示側(cè)傾器，CD,FG的高度為

測(cè)量1.1米，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)A,B,C,

示D,E,F,G在同一平面內(nèi).需要測(cè)

意圖量的數(shù)據(jù)有CF的距離，傾斜角/

ADE,/AGE的度數(shù).

實(shí)施方案ZADE的平均值ZAGE的平均值CF的平均值

方案二的28.5°45°10米

測(cè)量

數(shù)據(jù)

（1）“綜合與實(shí)踐”小組為什么放棄方案一，你認(rèn)為原因可能是什么?（寫出一條即可）

（2）請(qǐng)你根據(jù)他們的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算關(guān)公銅像的高度.

6、

（參考數(shù)據(jù):sin28.5°-.48,cos28.5°*0.88,tan28.5°F

【解答】解：（1）答案不唯一，如：方案一適合底部可直接到達(dá)；底部不可到達(dá)；方案

二適合測(cè)量底部不可直接到達(dá)的物體的高度；在地面上可以無(wú)障礙地直接測(cè)得測(cè)點(diǎn)與被

測(cè)物體的底部之間的距離；

（2）解：由題意可得：四邊形COGF,四邊形CDE8是矩形，

：.DG=CF=\OfBE=CD=lAf

設(shè)AE=x.

在RtZVLEG中，ZAEG=90°,ZAGE=45Q,

^tanZAGE=

，tan45°=良

?'?EG---=%,

tan450

在RlZ\AEO中，ZAED=90°,NAOE=28.5°,

Ap

9：tanZADE=

：.tan28.50=注

Y

'DE=也九28.5。'

?:DG=DE-EG,

x

10=-g—x,

IT

??x=12,

AAB=AE+BE=12+1.1=13.1（米），

答：關(guān)公銅像AB的高度為13.1米.

A

E

BFC

19.(8分)如圖，一■次函數(shù)yi=x+b與反比例函數(shù)”=［交于點(diǎn)A(1,a),D(-4,1),

與_y軸，x軸分別交于點(diǎn)B,C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)作軸于點(diǎn)E,連接。E,求△AOE的面積；

(3)根據(jù)圖象請(qǐng)直接寫出當(dāng)yi>”時(shí)，x的取值范圍.

【解答】解：(1)；點(diǎn)。(-4,-1)在反比例函數(shù)y=［的圖象上,

：.k=-4X(-1)=4.

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=+

(2)...點(diǎn)4(1,a)在在反比例函數(shù)y=9的圖象上，

??〃=4.

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),

軸，

：.AE=\,OE=4,

作。交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)M

則MN=0E=4,ND=T.

：.MD=5,

115

，SAADE=］XAEXDM=3X1x5=亍

(3)當(dāng)yi>”時(shí)，x的取值范圍-4<x<0或x>l.

20.（9分）某經(jīng)銷商經(jīng)銷一種封面為建黨100周年的筆記本，每本進(jìn)價(jià)為3元，按每本5

元出售，每天可售出30本.調(diào)查發(fā)現(xiàn)這種筆記本銷售單價(jià)每提高1元，每天的銷售量就

會(huì)減少3本.

（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該經(jīng)銷商每天銷售這筆記本的銷售利潤(rùn)為105元？

（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使該經(jīng)銷商每天銷售這種筆記本所得的利潤(rùn)最大？

最大利潤(rùn)是多少元？

慶國(guó)中m箕產(chǎn)竟周年

Th*C*fwwtwilPertyChtaw

【解答】解：（1）設(shè)每本銷售單價(jià)是x元時(shí)，每天獲利105元，

由題意得：（x-3）[30-3（%-5）]=105,

整理得：18x+80=0,

解得：xi=10,X2=8,

銷售單價(jià)定為10元或8元，每天獲利105元；

（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，

則卬=（%-3）[30-3（x-5）]

=-37+54x-135

=-3（x-9）2+108,

V-3<0,

...當(dāng)x=9時(shí)，w有最大值,最大值為108,

答：銷售單價(jià)定為9元時(shí)，才能使該經(jīng)銷商每天銷售這種筆記本所得的利潤(rùn)最大，最大

利潤(rùn)108元.

21.（8分）閱讀與思考

閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):

學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的性質(zhì)后，希望學(xué)習(xí)小組又進(jìn)行了深入的探究，發(fā)現(xiàn)：如果在雙曲線

上任取兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別向兩坐標(biāo)軸垂線(垂足不同時(shí)在x或y軸上)，那么垂足的連

線和這兩點(diǎn)的連線平行.如圖1,點(diǎn)A,8是反比例函數(shù)(ZWO)在第一象限圖象上

的兩點(diǎn)，作AOLy軸于點(diǎn)Q,BCLx軸于點(diǎn)C,連接C。，則AB〃C￡>；如圖2,點(diǎn)A,

8是反比例函數(shù)(AW0)在第一象限圖象上的兩點(diǎn)，作ACx軸于點(diǎn)。，D,BCL

y軸于點(diǎn)C,連接8,則A8〃CD在老師指導(dǎo)下希望學(xué)習(xí)小組進(jìn)行嚴(yán)格推理，證明這

一結(jié)論是正確的.

【結(jié)論應(yīng)用】

任務(wù)：(1)如圖2,若與BC交于點(diǎn)E,CE：BE=1：2.

①的值為~.

AB-2-

②若△ABE的面積為6,則四邊形OCEZ)的面積為3.

(2)智慧學(xué)習(xí)小組利用上述結(jié)論又進(jìn)行了新的探究，如圖3,直線EF與反比例函數(shù))二［

(kWO)的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)8的上方，與x,>軸分別交于點(diǎn)E,F,則得

到4E=B尸這一結(jié)論.

下面是該結(jié)論的部分證明：

證明：作ACy軸于點(diǎn)￡>,BCLx軸于點(diǎn)C,連接C￡>,

則AB〃CD,BC//DE.

：./DEA=NCBF,四邊形EDCB是平行四邊形.

仔細(xì)閱讀上面的證明過(guò)程，按照上面的證明思路，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

圖1圖2圖3

【解答】解：(1)?'：CD//AB,

：.△ABEs

.CDCE

?.—,

ABBE

VCE：BE=1：2,

..CO1

?——，

AB2

故答案為：

?VC￡：BE=\：2,

.S&CDE_1

S&ABE4

AABE的面積為6,

3

2-

,?NCOD=NOCE=NODE=90°,

四邊形OOEC是矩形，

S四邊彩ODEC=2sKDE=3,

故答案為：3；

(2)如圖，作軸于點(diǎn)D,BCJ_x軸于點(diǎn)C,連接CD,

貝ljA8〃C￡),BC//DE.

四邊形EDCB是平行四邊形，

:.BE=CD,

同理，四邊形4OCF是平行四邊形，

：.AF=CD,

：.BE=AF,

J.AE^BF.

22.(12分)綜合與實(shí)踐

如圖1,在綜合實(shí)踐課上，老師讓學(xué)生用兩個(gè)等腰直角三角形進(jìn)行圖形的旋轉(zhuǎn)探究.在

為△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,在RtZXAMN中，NM4N=90°,AM=AN,點(diǎn)

M,N分別在AC,A3邊行，直角頂點(diǎn)重合在一起，將RtZ\AMN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)

旋轉(zhuǎn)角NAMC=a,其中0°<a<90°.

(1)當(dāng)點(diǎn)例落在8c上時(shí)，如圖2：

①請(qǐng)直接寫出N8MN的度數(shù)為a(用含a的式子表示)；

□

②若tana=甲AC=7,求AM的長(zhǎng);

(2)如圖3,連接BN,CM,并延長(zhǎng)CM交BN于點(diǎn)E,請(qǐng)判斷CE與BN的位置關(guān)系，

并加以證明；

(3)如圖4,當(dāng)N8AC與NMAN是兩個(gè)相等鈍角時(shí)，其他條件不變，即在△ABC與4

AMN中，AB=AC,AM=AN,ZMAN=ZBAC=^,ZMAC=a,則NCEN的度數(shù)為180°

-B(用含a或0的式子表示).

【解答】解：（1）①???將Rt^AMN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角NM4C=a,

:.NMAC=NBAN=a,

VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,

VZMAN=90°,AM=AN,

：.ZAMN^ZANM=45°,

N4MW=NABC=45°,

...點(diǎn)A,點(diǎn)M,點(diǎn)B,點(diǎn)N四點(diǎn)共圓，

:.NBAN=/BMN=a,

故答案為：a；

②如圖2,作MO_LAC于點(diǎn)。，

圖2

設(shè)MD=3x,

'：ZBAC=90°,AB=AC,

.?.NC=45°,

.?.NOMC=/C=45°,

:.CD=DM=3x,

在RtZXAOM中，ZADM=90°,

***tCLTiAD=40=4,

：.AD=4xf

：