2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)120中高一（下）第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)120中高一（下）第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=5ii+2，則z?A.1+2i B.?1+2i C.1?2i D.?1?2i2.設(shè)a，b是空間中的兩條直線，α，β是空間中的兩個(gè)平面，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若a?α，b//α，則a//bB.若a?α，α∩β=b，則a與b相交

C.若a?α，b?β，α//β，則a//bD.若a?α，b?β，α//β，則a與b沒(méi)有公共點(diǎn)3.若cos(π6?α)=3A.?2425 B.?725 C.4.已知M=sin100°?cos100°，N=2(sin44°cos12°+sin46°sin12°)，P=12(1+tan22°)(1+tan23°)，那么M，NA.M<N<P B.P<M<N C.N<M<P D.P<N<M5.已知正三棱臺(tái)的上、下底面的棱長(zhǎng)分別為3和6，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該正三棱臺(tái)的體積為(

)A.1932 B.21326.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且△ABC的面積S△ABC=3，S△ABCA.3 B.?3 C.27.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，Q為正方形BB1C1CA.[1,2]

B.[328.已知函數(shù)f(x)=xsin(ωx+π4),?x1,x2∈(πA.[12,32] B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)z1，z2，z3為復(fù)數(shù)，z1A.若|z1|=|z2|，則|z1z3|=|z2z3| B.10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且3bcosC+3ccosB=a2，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.a=3

B.若A=π4，且△ABC有兩解，則b的取值范圍為[3,32]

C.若C=2A，且△ABC為銳角三角形，則c的取值范圍為(32,33)

11.半正多面體亦稱(chēng)“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是(

)A.該半正多面體的表面積為2134

B.該半正多面體的體積為23212

C.該半正多面體外接球的表面積為11π2

D.若點(diǎn)M，N分別在線段DE三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知a=(?2,λ)，b=(3,1)，若(a+b)⊥b，則13.△ABC中，角A，B，C滿足cos2A?cos2B=2sinC(sinB?sinC)，則1tanB+114.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看作是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個(gè)球面的半徑為R，球冠的高是?，球冠的表面積公式是S=2πR?，如圖2，已知C，D是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn)，∠AOC=∠BOD=π3,S扇形COD四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(sinx,1)，b=(?cosx,32)，函數(shù)f(x)=2a?(a?b)．

(1)求16.(本小題15分)

已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//DC，AB⊥AD，DC=2AB=2，AD=3，PB=PC，M，N分別是PD，BC的中點(diǎn).求證：

(1)AM//平面PBC；

(2)MN⊥BC17.(本小題15分)

如圖，我國(guó)南海某處的一個(gè)圓形海域上有四個(gè)小島，小島B與小島A、小島C相距都為5nmile，與小島D相距為35nmile.∠BAD為鈍角，且sinA=35．

(1)求小島A與小島D之間的距離和四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；

(2)記∠BDC為α，∠CBD為18.(本小題17分)

如圖，在三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．

(1)求證：B1C/?/19.(本小題17分)

某煙花廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一款環(huán)保、安全的迷你小煙花，初步設(shè)計(jì)了一個(gè)平面圖，如圖所示，該平面圖由Rt△ABF，直角梯形BCEF和以C為圓心的四分之一圓弧ED構(gòu)成，其中AB⊥BF，BC⊥CE，BF/?/CE，且BC=BF=1，CE=2，AB=72，將平面圖形ADEF以AD所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體即為煙花．

(1)求該煙花的體積；

(2)工廠準(zhǔn)備將矩形PMNQ(該矩形內(nèi)接于圖形BDEF，M在弧DE上，N在線段EF上，PQ在AD上)旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體用來(lái)安放燃料，設(shè)∠MCE=θ(0<θ≤π3)，

①請(qǐng)用θ表示燃料的體積V；

②若煙花燃燒時(shí)間t和燃料體積V

答案解析1.C

【解析】解：∵z=5ii+2=5i(2?i)(2+i)(2?i)=1+2i，

∴2.D

【解析】解：A選項(xiàng)，若a?α，b/?/α，則a/?/b，或a與b異面，

如圖1，滿足a?α，b/?/α，但a與b不平行，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，若a?α，α∩β=b，則a與b平行或相交，

如圖2，滿足a?α，α∩β=b，但a與b平行，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，若a?α，b?β，α/?/β，則a/?/b，或a與b異面，

如圖3，滿足a?α，b?β，α/?/β，但不滿足a/?/b，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)的分析可知：若a?α，b?β，α/?/β，則a/?/b，或a與b異面，

即a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，

假設(shè)a與b有公共點(diǎn)，設(shè)公共點(diǎn)為P，則P∈α，P∈β，則P∈α∩β，但α/?/β，

故矛盾，假設(shè)不成立，即a與b沒(méi)有公共點(diǎn)，D正確．

故選：D．

3.B

【解析】解：sin(2α+π6)=sin4.B

【解析】解：由題意可得：M=2(sin100°×22?cos100°×22)=2sin(100°?45°)=2sin55°>2sin45°=1，

N=5.D

【解析】解：因?yàn)檎馀_(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為3，6，

所以上下底面面積分別為S′=12×32×32=934，S=12×32×62=93，

如圖，連接上下底面中心OO1，則OO1即為三棱臺(tái)的高，過(guò)B作BC⊥AO6.D

【解析】解：∵△ABC的面積S△ABC=3=12acsinB，

∴acsinB=23，

S△ABC=34(a2+c2?b2)，7.D

【解析】解：如圖，取CC1中點(diǎn)E，B1C1中點(diǎn)F，連接D1E，D1F，EF，

所以EF/?/B1C，正方體中，易得B1C/?/A1D，所以EF//A1D，

因?yàn)镋F?平面A1PD，A1D?平面A1PD，所以EF/?/平面A1PD，

因?yàn)镻，E為BB1，CC1中點(diǎn)，所以D1E//A1P，

因?yàn)镈1E?平面A1PD，A1P?平面A1PD，所以D1E/?/平面A1PD，

因?yàn)镋F∩D1E=E，所以平面D1EF//平面A1PD，

因?yàn)镈8.A

【解析】解：由x2f(x1)?x1f(x2)>0，得f(x1)x1>f(x2)x2．

設(shè)g(x)=f(x)x=sin(ωx+π4)，

由于x1,x2∈(π2,5π6)，且

x1<x2時(shí)，g(x1)>g(x2)，

可知g(x)在(π2,5π6)上單調(diào)遞減．

由正弦函數(shù)性質(zhì)可知T≥2×(5π6?π2)=2π39.ABC

【解析】解：對(duì)于A，由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得，|z1z3|=|z1||z3|，|z2z3|=|z2||z3|，

∵|z1|=|z2|，

∴|z1z3|=|z2z3|，故A正確，

對(duì)于B，∵z1z210.ACD

【解析】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?bcosC+3ccosB=a2，

所以由正弦定理，得3sinBcosC+3sinCcosB=asinA，即

3sin(B+C)=asinA，

因?yàn)锳+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，且sinA≠0，所以a=3，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA得9=b2+c2?2bc，

將此式看作關(guān)于c的二次方程c2?2bc+b2?9=0，由題意得此方程有兩個(gè)正解，

故b2?9>0(2b)2?4(b2?9)>0，解得b∈(3,32)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由正弦定理，得asinA=csin2A，即c=2acosA=6cosA，

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

所以0<A<π20<B<π20<C<π2，即0<A<π20<π?3A<π20<2A<π2，解得π6<A<π4，

所以c=6cosA∈(32,33)，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于11.BCD

【解析】解：由題意，該半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，其棱長(zhǎng)為1，

對(duì)于A，該正多面體的表面積為4×(34×32?3×34×12)+4×34×12=73，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，如圖所示，該半正多面體所在的正四面體中，可得正四面體的棱長(zhǎng)為3，

取正四面體的下底面的中心為N，連接MN，則MN⊥底面ABC，

在直角△MNG中，∵M(jìn)G=3，NG=23×32×3=3，

∴MN=?MG2?NG2=32?(3)2=6，

∴該半正多面體的體積為924?4×13×34×12×63=23212，故B正確；

對(duì)于C，該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，

記球心為O，半徑為R，△DEF的球心為O1，

連接OA，NA，OF，OO112.2【解析】解：a=(?2,λ)，b=(3,1)，

則a+b=(1,λ+1)，

(a+b)⊥b，

則(a+b)?b=(1,λ+1)?(3,1)=3+1+λ=013.2【解析】解：∵cos2A?cos2B=2sinC(sinB?sinC)，

化簡(jiǎn)可得sin2B+sin2C?sin2A=sinBsinC，

由正弦定理可得b2+c2?a2=bc，

即cosA=b2+c2?a22bc=12，

又因?yàn)锳∈(0,π)，

所以A=π3，

1tanB+1tanC=14.72π+36【解析】解：因?yàn)椤螦OC=∠BOD=π3，所以∠DOC=π?2×π3=π3，設(shè)圓的半徑為R，

又S扇形COD=12×π3R2=6π，解得R=6(負(fù)值舍去)，

過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，

則CE=OCsinπ3=33，OE=OCcosπ3=3，

所以AE=R?OE=3，同理可得DF=33,OF=BF=3，

將扇形DOC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為：

一個(gè)半徑R=6的球中上下截去兩個(gè)球缺所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐，15.解：(1)由a=(sinx,1)，b=(?cosx,32)，得a?b=(sinx+cosx,?12)，

∴f(x)=2a?(a?b)=2sin2x+2sinxcosx?1=sin2x?cos2x=2sin(2x?π4)．

∴f(x)的最小正周期為2π2=π【解析】(1)由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f(x)，由周期公式求周期，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)由x的范圍求出2x?π416.證明：(1)如圖，取PC的中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，BQ，

因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，

所以MQ//DC，MQ=12DC，

又AB//DC，AB=12DC，

所以AB//MQ，AB=MQ，

所以四邊形ABQM是平行四邊形，

所以AM/?/BQ，

因?yàn)锳M?平面PBC，BQ?平面PBC，

所以AM/?/平面PBC；

(2)連結(jié)PN，DN，DB，

因?yàn)镻B=PC，N是BC的中點(diǎn)，

所以PN⊥BC，

在△ABD中，AB⊥AD，AD=3，AB=1，

所以DB=2，

由條件DC=2，所以DC=DB，

又N是BC的中點(diǎn)，所以DN⊥BC，

因?yàn)镈N，PN?平面PDN，DN∩PN=N，

所以BC⊥平面PDN，

因?yàn)镸N?平面【解析】(1)取BC的中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ，BQ，證明四邊形ABQM是平行四邊形，則AM/?/BQ，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)連結(jié)PN，DN，DB，證明BC⊥平面PDN，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證．

本題考查線面平行的證法，線面垂直的證法及線線垂直的證法，屬于中檔題．17.解：(1)∵sinA=35，且A為鈍角，∴cosA=?1?(35)2=?45，

在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2?2AD?AB?cosA，

∴(35)2=AD2+52?2AD?5?(?45)，即AD2+8AD?20=0，

解得：AD=2或AD=?10(舍去)．

∴小島A與小島D之間的距離為2?nmile．

∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴A與C互補(bǔ)，則sinC=35，

cosC=cos(180°?A)=?cosA=45．

在△BDC中，由余弦定理得：CD2+CB2?2CD?CB【解析】(1)由sinA求得cosA，在△ABD中，由余弦定理列式求得AD；再由A、B、C、D四點(diǎn)共圓求解sinC與cosC，在△BDC中，由余弦定理解得CD，再求△ABD、△BCD的面積，可得四個(gè)小島所形成的四邊形的面積；

(2)在△BD