第18課 全等三角形 （解析版）-2021年中考數(shù)學(xué)學(xué)霸必刷測(cè)評(píng)卷（+綜合）

2021年中考數(shù)學(xué)學(xué)霸必刷測(cè)評(píng)卷（專(zhuān)題+綜合）

第四單元三角形第18課：全等三角形

選擇題（共7小題）

1.如圖，在四邊形ABCD中，?B60?,?￡>120?,BC=CD=a,則AB-A￡>=（）

B.—aC.D.4

2

【解析】如圖，連接AC,作CF八AB于尸，CE八AD交A。的延長(zhǎng)線(xiàn)于E.

Q?B60?,?ADC120?,

\?DAB2DCB180?,

Q?￡?CFA180?,

\?EAF?ECF180?,

\?ECF?DCB,

\?DCE?BCF,

Q?E?CFB90?,CD=CB,

\DCED@DCFB(AAS),

\CE=CF,DE=BF=BCgpos60?,

QAC=AC,CE=CF,

\RtDACE@RtDACF(HL),

\AE=AF,

\AB-AD=AF+BF-(AE-DE)=2DE=a,

故選：C.

2.如圖，在等邊DABC中，AB=4,D、E分別為射線(xiàn)C3、AC上的兩動(dòng)點(diǎn)，且BD二CE,直線(xiàn)4D和BE

相交于M點(diǎn)，則CM的最大值為（）

QDABC是等邊三角形，

\BA=CB,2ABe?ACB60?,

\?ABD?BCE120?,

QBD=CE,

\DABD@DBCE(SAS),

\?D?E,

Q?DBM?EBC,

\2DMB?BCE120?,

\IAMB60?,

\點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中紅線(xiàn)(在的外接圓e/上)，

連接C/,延長(zhǎng)C/交el于N,當(dāng)點(diǎn)M與N重合時(shí)，CM的值最大,

在RtDJCB中，BJ=fiCBn30=—,JC=2BJ=—,

33

\CN=-------F-----=4。3，

33

\CM的最大值為4有，

故選：D.

3.如圖，AD是DABC的角平分線(xiàn)，？C2?B,產(chǎn)是8C的中點(diǎn)，EF//AD交AB于點(diǎn)、E,且BE=4AE,

若CD=4,則AB的長(zhǎng)為（）

A.10B.9C.8D.6

【解析】如圖作左八AC于G,。”八AB于在A8上截取AC,

QA4平分E>BAC,

\DG=DH,

品地BD1般AB

DADC廠(chǎng)石八廠(chǎng)

SDADCDC—gACgDGAC

設(shè)5尸=FC=4a,

QEFI/AD,

BEBF

\——=——=4A,

AEFD

\FD=a,CD—3tz=4,

\a=~?BD=5<7=—>

33

在DA￡）例和DAE>C中，

IAD=AD

DAM?DAC,

IAM=AC

\DDAM@DDAC（SAS）,

\DM=DC,7AMD?C,

Q?C22B,

\?AMD?BIMDB2?B,

\?B2MDB,

\BM=MD=CD=4,設(shè)AC=AM=x,

則有，—二幺，

x+420

T

\x=6,

\AB=BM+AC=4+6=10,

故選：A.

4.如圖，AB=49AC=2,以8C為邊向上構(gòu)造等邊三角形BCD,連接A。并延長(zhǎng)至點(diǎn)?，使AD二包）,

則PB的最小值是（）

A.72B.4書(shū)-2C.4-45D.473-4

【解析】如圖，以A8為邊構(gòu)造等邊三角形4的8,連接A陋，取48的中點(diǎn)M,連接。M,

在等邊三角形A048和等邊三角形88中，

AB=A?,BC=BD,^BA=?CBD60?,

\2ABC60??ADB,BD=60?2ABD,

\?ABC驕BD,

在DABC和△A四中，

|AB=A?8

1?ABC季BD,

|BC=BD

\DABC@AA(BD(SAS),

\AC=A2D2,

QAD=PD,AM=BM,

\DW是D4滬的中位線(xiàn)，

\PB=2DM,

\當(dāng)。M最小時(shí)，PB有最小值，

Q4A4組是等邊三角形，M是AB中點(diǎn)，

'當(dāng)點(diǎn)A,D,M在同一條直線(xiàn)上時(shí)，0M有最小值,

此時(shí)，A2A4,AM=2,AMAB,

\A?M4^~AM2=V42-22=26,

\DM=AWAID273-2,

\P8的最小值是46-4.

故選：。.

5.如圖，DABC是等邊三角形，點(diǎn)。、E分別為邊8C、AC上的點(diǎn)，且CD=A￡,點(diǎn)尸是8E和A。的交

點(diǎn)，8GAA￡＞于G點(diǎn)，己知？BEC75?,FG=1,則A8的長(zhǎng)為()

A.#B.272C.2石D.3

【解析】QDABC是等邊三角形,

\2BAE?C60?,AB=AC,

在DABE和DC4O中

\AE=CD

1?EAB?C,

\AB=AC

\DABE@\yCAD{SAS）

\2ABE?C4T>,BE=AD,

\?BFD2ABE?BAD?CAD?RAF?BAC60?;

QBG八AD,

\1BGF90?

\?FBG30?,

QFG=1,

\FG=、BF,B|JBF=2FG=2,

2

Q?BEC75?,?BAE60?,

\?ABE?BEC?BAE15?,

Q?FBG30?，

\?ABG30?15?45?,

QBGAAD,

\?AGB90?,

\AG=BG=sjBF2-FG2=V22-I2=6,

AB=4AG?+BG?=J（逐y+（Gy=瓜,

故選：A.

6.如圖，在DA3c中，?BAC45?,CD^AB于點(diǎn)D,AE八BC于點(diǎn)、E,AE與CD交于點(diǎn)尸，連接87"

OE,下列結(jié)論中：①4尸=BC；②？。仍45?,③AE=CE+28D,④若？C4E30?,則竺土竺=1,

AC

正確的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【解析】QAEABC,

\?AEC?ADC?CDB90?,

Q7AFD?CFE,

\?DAF2DCB,

Q/W=DC,

\DADF@DCDB,

QAF=BC,故①正確，

\?DFB?DBF45?,

取8尸的中點(diǎn)O,連接?！?gt;、OE.

Q?BDF?BEF90?,

\OE=OF=OB=OD,

\E、F、D、B四點(diǎn)共圓，

\?DEB?DFB45?,故②正確，

如圖1中，作。M八AE于M,DMBC于N,

圖1

易證DDMF@DDNB,四邊形DWEV是正方形，

\MF=BN,EM=EN,

\EF+EB=EM-FM+EV+NB=2EM=2DN,

QAE-CE=BC+EF-EC=EF+BE=2DN<2BD,

\AE-CE<2BD,即AE<EC+2BD,故③錯(cuò)誤，

如圖2中，作。于M,DN八BC于N.易證DDMF@DDNB,四邊形OWEN是正方形,

\FM=BN,EM=EN=DN,

\EF+EB=EM-MF+￡7V+BN=2EN=2DN,,2BD,

QAE-EC=ADF+EF-EC=BC_EF-EC=EF+B&2BD,

\AR,EC+2BD,故③錯(cuò)誤，

如圖2中，延長(zhǎng)FE到，，使得FH=FB.連接〃C、BH.

Q?C4E30?,?C4￡>45?,?ADF90?,

\2DAF15?,?AFD75?,

Q?DFB45?,

\?AFB120?,

\?BFH60?,

QFH=BF,

\是等邊三角形，

\BF=BH,

QBCAFH,

\FE=EH,

\CF=CH,

\?CFH?CHF2AFD75?,

\?ACH75?,

\?ACH2AHe75?,

\AC=AH,

QAF+FB=AF+FH=AH,

\AF+BF=AC,故④正確，

故選：B.

7.如圖，等邊三角形ABC中，8。是AC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段80上，？ACE45?,AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交3c

于點(diǎn)尸，EG=EF,連接CG交5。于點(diǎn)〃.下面結(jié)論：①CE=AE??ACG30?;③EB=（小-1）DE；

?CH+DH=—AB.

2

其中正確的有（）

G

E

B

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】QDABC是等邊三角形，8。是AC邊上的中線(xiàn),

\BD八AC,AD=DC，2CAB?ACB?ABC60?,

\EC=EA,故①正確，

QEC=E4,

\1ECA?EAC45?,

\?BAF?BAC?EAC15?,

\?AFC?FAB?ABC75?,

QEG=EF,CE^FG,

\CF=CG,

\ECF?ECG15?,

\?ACG?GCF30?,故②正確，

設(shè)4)=￡)C=機(jī)，則AB=AC=2機(jī)，BD=瓶瓶,

QAD=DE=m，

\BE=-m,

EB邪m-mrr

\----=------------=>J3-1,

DEm

\EB=(幣-1)DE,故③正確，

在RtDCDH中，Q?DCH30?.CD=m,

\DH=-CD=-,CH=,

333

\CH+DH=百m=—AB，故④正確，

2

故選：D.

填空題(共5小題)

8.如圖，四邊形ABCD中，A(l,l),8(8,2),C(6,6),￡>(3,5),E在四邊形內(nèi)，E(5,3),以下結(jié)論正確的是

①②③④(填寫(xiě)編號(hào)).

①DABE@DAC￡>:?AE^BC③？ADC135?;?tan?EBA!

【解析】①Q(mào)48={49+1=5點(diǎn),AE=416+4=2#>，BE=,9+1=加,4C=0+25=5近,

AD=-J4+16=2>/5,CD=19+I=加,

\AB=AC,AE=AD,BE=CD,

\DABE@D4CD($ss),

故①正確；

②由①知DABEQDACD,

\AB=AC,

QCE=J9+1=加

\BC=CE,

QAE=AE,

\DABE@DACE(SSS),

\2BAE?CAE,?AEB?AEC,

\AEABC,

故②正確；

QBC2==16+4=20

\BE、CE2=10+10=20=BC2,

\?BEC90?,

360?90?

\?AEB———-=135?,

2

QDABE@DACD,

\?ADC?AEB135?,

故③正確；

④延長(zhǎng)CO與y軸交于點(diǎn)尸，連接A尸，如圖2,

則AE=加，CF=2M,

\AF2+CF2=10+40=50=AC2,

\1AFC90?,

AT1

\tan?ABEtan?ACD——=一，

CF2

故④正確.

故答案為：①②③④.

9.如圖，在DA3c中，2ACB90?,2BAC30?,BC=1,分別以A3、AC為邊作正三角形A3。、ACE,

連接。E，交A3于點(diǎn)尸，則。尸的長(zhǎng)為巫.

—2—

【解析】如圖所示，過(guò)D作。＜7八45于G,過(guò)E作七〃八D4,交D4的延長(zhǎng)線(xiàn)于H,

Q7E4C60?,?BAC30?,

\?EAG2AGD90?,

QBC=1,

\RtDABC中，AC=V3,AB=2,

又QDABD和DACE是等邊三角形，

\AE=6,DG=B

\DG=AE,

又Q2DFG?EAF,

\DAEF@DGDF(AAS),

\DF=-DE,

2

又QRtDAEH中，?EAH30?,

\HE=-AE='6,AH=-9

222

37

\DH=DA+AH=2+-=-

22t

\RtDDEH中，DE=y)HE2+DH2=(1)2=713,

\。月的長(zhǎng)為巫，

2

故答案為：巫.

2

10.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC=4,?ABC60?,?ABD?BCD180?,對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于

點(diǎn)、E,H為BD的中點(diǎn).若CE=1,則E長(zhǎng)為—.

一4一

B

【解析】QAB=BC=4,1ABC60?,

\DABC是等邊三角形，

\1BAC?BCA60?,AB=BC=AC=4,

過(guò)點(diǎn)8作？AB/2CBD,交AC于/，作8V八AC于N,如圖所示:

則4V=C7V=2,BN=—AB=273,

2

I?ABF?CBE

在DAB/和DC班:中，iA8=8C,

BAF?BCE

\DABF@DCBE(ASA),

\AF=CE=],\CF=3,FE=AC-AF-CE=4-1-1=2,FN=EN=-EF=

2

\BF=BE,BF=y/BN2+FN2=J(2后+F=岳,

\?BFE?BEF,

Q2ABD?BCD180?,

\?ABD?CBD2CDB,

Q2ABD?ABF?FBE?CBD?FBE,

\?FBE?CDB,

\BFHCD,

\DFEB^DCED,

BF_BE_FE_2

'而=9=瓦=丁

\f_1n_岳

\CD——BF------,

22

連接FD并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于M,

則CD是DBFM的中位線(xiàn)，

\DM=DF,

QH為BD的中點(diǎn)，

\CH是D8DW的中位線(xiàn),

\CH=-DM=-DF

22f

QB尸//CD,

\?DCE?BFE,

Q?BEF?DEC,

\2DCE?DEC,

\nrnr用

2

作QG八AC于G,

\CG=EG=-CE=-,

22

\FG=EF+EG=I，DG=Jc>-CG?=J（半尸?（；了二G，

1用

\xCriH4=—DF=-----；

24

故答案為：叵.

4

11.如圖，DAPB中，AB=20,2APB90?,在AB的同側(cè)作正D43Z）、正DATE和正D8PC,則四邊

形PCDE面積的最大值是2.

【解析】如圖所示，過(guò)戶(hù)作于G,過(guò)戶(hù)作P/7AAE,交AE于H,

Q2APE2BPC60?,2APB90?,

\?EPC150?,

QDAPE是正三角形，PHAEt

\?APH2EPH30?,

\?CPH180?,即點(diǎn)。、P、”在一條直線(xiàn)上，

在正DAB。、正D4PE和正D8PC,

\AE=APfAD=AB,BP=CP,2EAP?DAB60??CPB,

\?DAE?BAP,

\DAED@DAPB(SAS),

\ED=BP,

\ED=CP,

同理可得￡P(guān)=DC,

\四邊形PCDE是平行四邊形，

Q?EPH30?,

\EH=-EP=-AP,

22

'S平行四邊形CDEP=EH?CPBPSDABPf

QAB=272,1APB90?,

\以A8為直徑作圓，當(dāng)汽;最大時(shí)，SD?的面積最大，

此時(shí)G尸為半徑，

\倉(cāng)即點(diǎn)=2，

\四邊形PCAE面積的最大值是2.

故答案為：2.

12.如圖，在四邊形ABC￡＞中，？A90?,AD=2,AB-BC=1,圓心在線(xiàn)段B。上的eO交AB于點(diǎn)E、

【解析】如圖在BA上截取即'=BC,連接DT.作Q0A8C于M,ON^AB于N.

\OM=ON,

\必平分DABC,

\?DBC?DBT,

QBD=BD,BC=BT,

\DDBC@DDBT,

\CD=DT,

QAB-BC=AT=1,

在RtDADT中，DT=QAD?+47,=122+『=有,

\CD=DT=6，

故答案為布.

三.解答題(共3小題)

13.如圖，AO與BC相交于點(diǎn)尸，F(xiàn)C,?A?C,點(diǎn)E在BO的垂直平分線(xiàn)上.

(1)如圖1,求證：？尸8E?FDE；

(2)如圖2,連接CE分別交B。、4。于點(diǎn)H、G,當(dāng)？FBD?DBE?ABF,CD=QE時(shí)，直接寫(xiě)出

所有與DABF全等的三角形.

c

圖1圖2

【解析】(1)證明：在D84戶(hù)和DDB中

!?A?C

1E4=FC

!?4FB?CFD

\DBAF@DDCF(ASA)

\BF=DF

\?FBD?FDB

又QE在BD的垂直平分線(xiàn)上

\EB=ED

\2EBD?EDB

\1FBE2FDE

(2)答案：DHBE、DDFC、DDCH、DGED

理由如下：

由⑴?FBD?FDB,2EBD?EDB

Q?FBD?DBE

\2FDB?FDB

QBD=BD

\DBGD@DBED(ASA)

\BF=EB,DE=DF

QCD=DE

\BF=FD=DE=EB=BA=CD

設(shè)？AB/7x,則由已知，2FBD?FDB?EBD2EDBx

QAB=BF

\1A?AFB2x

在DABD中，x+2x+2x=180?

\x=36?

\1FBD1FDB1EBD1EDB36?

?AFB?CFD?A72?

\?CDB72?

QED=CD,2EBD36?

\?DCE?CED36?

Q?DBE36?

\?BHE72?

\DABF@DHBE,同理，DABF@DHCD,DABF@DGED

\與DAB/全等的三角形有DHBE、DDFC、DDCH、DGED

SS

EE

圖1圖2

14.(1)如圖①所示，P是等邊DABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、IPC，將D54P繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得

DBCQ,連接PQ.PA1+PB-=PC2,證明？PQC90?；

(2)如圖②所示，P是等腰直角DABC(?ABC90?)內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA、PB、PC,將D8AP繞B點(diǎn)順時(shí)

針旋二轉(zhuǎn)90。得D8C