江西省撫州市臨川第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

臨川二中20232024學(xué)年下學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，，則的值為（）A.15 B.20 C.30 D.40【答案】D【解析】【分析】借助等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】，即，則.故選：D.2.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.48 B.30 C.60 D.120【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)式定理分析求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，可得的系數(shù)為.故選：C.3.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，離心率為，則雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件列方程組求出，然后利用點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】由已知得，解得，則雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線，故雙曲線的左焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A.4.已知遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是與的等差中項(xiàng)，則（）A.21 B.21或57 C.21或75 D.57【答案】A【解析】【分析】由題意列方程求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由是與等差中項(xiàng)，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)等比數(shù)列是遞減數(shù)列，不合題意；故，，則，故選：A5.若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程消元后利用韋達(dá)定理得到坐標(biāo)之間的關(guān)系式，結(jié)合條件，解出即可.【詳解】由題知拋物線的焦點(diǎn),則直線方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，則，，則，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選：B.7.現(xiàn)有四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算“用四種不同得顏色要對(duì)如圖形中的五部分進(jìn)行著色”和“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”的涂色方法，由古典概型公式計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，用四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，每個(gè)部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個(gè)區(qū)域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個(gè)區(qū)域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對(duì)如圖形中的五個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C8.在正三棱錐中，，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則=（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，得到PA，PB，PC兩兩垂直，從而把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體求解.【詳解】解：在正三棱錐中，，又，，所以，所以，同理可得，，即PA，PB，PC兩兩垂直，把該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體，則三棱錐的外接球就是正方體的外接球，正方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，易得，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，則點(diǎn)O到平面ABC的距離，所以．故選：D．二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，下列說(shuō)法正確的有（）A. B. C.中最大 D.【答案】AD【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合給定條件可得，，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】由，得，又，得，，所以，，數(shù)列是遞減數(shù)列，其前6項(xiàng)為正，從第7項(xiàng)起均為負(fù)數(shù)，等差數(shù)列，公差，A選項(xiàng)正確；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；前6項(xiàng)和最大，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，，有，則，D選項(xiàng)正確.故選：AD.10.下列說(shuō)法正確的有（）A.從3名男生，2名女生中選取2人，則其中至少有一名女生的概率為B.若隨機(jī)變量，則方差C.若隨機(jī)變量，則D.已知隨機(jī)變量的分布列為，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式判斷A；根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式及方差的性質(zhì)判斷B；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷C；根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，從3名男生，2名女生中選取2人，則其中至少有一名女生的概率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，隨機(jī)變量，則期望，所以，故B正確；對(duì)于C，隨機(jī)變量且，則，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距分別為和的橢圓，點(diǎn)是橢圓與其長(zhǎng)軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與其短軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)和為其焦點(diǎn)，．點(diǎn)在橢圓上，若，則（）A.成等差數(shù)列B.成等比數(shù)列C.橢圓的離心率D.的面積不小于的面積【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系計(jì)算判斷ABC；計(jì)算三角形面積，再比較大小判斷D.【詳解】依題意，橢圓方程為，由對(duì)稱性不妨設(shè)，，，對(duì)于，由，得，因此，即成等比數(shù)列，A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，由，，得，則，而，因此離心率，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由橢圓定義得，，，由，得，即，則，，又，因此，所以的面積不小于的面積，D正確.故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知多項(xiàng)式，則___________.【答案】8【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理直接求解.【詳解】多項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)為：所以.故答案為：8.13.直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值等于______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圓心到直線距離與弦長(zhǎng)一半的平方和等于半徑的平方，求出圓心到直線距離，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出結(jié)果?！驹斀狻拷猓河深}知，圓的圓心為，半徑為1，因?yàn)?，所以圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€，所以，解得，故答案為：14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】降次作差即可證明為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式以及分離參數(shù)得，設(shè)，求出其最值，即可得到的范圍.【詳解】根據(jù)，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則可變?yōu)椋?，令，則，且，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是證明為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式求出，最后分離參數(shù)，求出右邊的最值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)運(yùn)用等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出；(2)根據(jù)條件求出的通項(xiàng)公式，再分組求和.【小問(wèn)1詳解】已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；【小問(wèn)2詳解】，.；綜上，16.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，，E為PB中點(diǎn)．（1）求證：PD//平面ACE；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱PD上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF．推導(dǎo)出EF//PD．由此能證明PD//平面ACE；

（2）取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，F(xiàn)O．推導(dǎo)出PO⊥平面ABCD．建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，利用向量法能求出二面角E?AC?D的余弦值；（3）假設(shè)存在，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)BD交AC于點(diǎn)F，連結(jié)EF．

因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以F為BD中點(diǎn)．

又因?yàn)镋為PB中點(diǎn)，所以EF//PD，

因?yàn)镻D?平面ACE，EF?平面ACE，

所以PD//平面ACE．【小問(wèn)2詳解】取CD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，F(xiàn)O．

因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BC⊥CD．

因?yàn)镻C＝PD，O為CD中點(diǎn)，所以PO⊥CD，OF∥BC．所以O(shè)F⊥CD．

又因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD，PO?平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，

所以PO⊥平面ABCD．

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A（1，?1，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，1），E（，，）

設(shè)平面ACE的法向量為，

令y＝1，則x＝2，z＝?1，所以．

平面ACD的法向量為，．

如圖可知二面角E?AC?D為鈍角，所以二面角E?AC?D的余弦值為．【小問(wèn)3詳解】假設(shè)存在棱PD上的點(diǎn)M，使得AM⊥BD，設(shè)，又D（0，?1，0），則，解得，故存在棱PD上的點(diǎn)M，使得AM⊥BD，17.某大學(xué)保衛(wèi)處隨機(jī)抽取該校1000名大學(xué)生對(duì)該校學(xué)生進(jìn)出校園管理制度的態(tài)度進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，結(jié)果見(jiàn)下表：男生（單位：人）女生（單位：人）總計(jì)贊成400300700不贊成100200300總計(jì)5005001000（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)生的性別是否有關(guān)；（2）為答謝參與問(wèn)卷調(diào)查的同學(xué)，參與本次問(wèn)卷調(diào)查的同學(xué)每人可以抽一次獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)結(jié)果及概率如下：獎(jiǎng)金（單位：元）01020獲獎(jiǎng)概率若甲?乙兩名同學(xué)準(zhǔn)備參加抽獎(jiǎng)，他們獲獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立，記兩人獲得獎(jiǎng)金的總金額為（單位：元），求的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.150.100.050.0100.0012.0722.7063.8416.63510.828【答案】（1）有關(guān)（2）16.【解析】【分析】（1）根據(jù)卡方的計(jì)算公式，即可求值與臨界值比較作答，（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求解概率，即可由期望公式求解.【小問(wèn)1詳解】零假設(shè)為：該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)生的性別無(wú)關(guān)聯(lián).由已知得根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該校大學(xué)生贊成學(xué)生進(jìn)出校園管理制度與學(xué)生的性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.【小問(wèn)2詳解】由題意可知的取值為.記事件表示甲同學(xué)中獎(jiǎng)金額為元，；事件表示乙同學(xué)中獎(jiǎng)的金額為元，，且事件與事件相互獨(dú)立.則，故的數(shù)學(xué)期望18.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．且，，，（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和，求證：；（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）由已知條件列出方程組，求解出d，q，根據(jù)等比和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，求出，得證；（3）利用錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法分奇偶項(xiàng)兩組求和即可.【小問(wèn)1詳解】解：由已知可得，，聯(lián)立①②，得，解得或，因?yàn)槭歉黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以，代入①式可得，所以，；【小問(wèn)2詳解】，，，則，所以；【小問(wèn)3詳解】，令，則，，得，令，.19.已知拋物線，頂點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)．（1）如圖1所示，已知|，求線段中點(diǎn)到軸的距離；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值；（3）如圖2所示，設(shè)為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，過(guò)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)，且，，設(shè)線段MN與線段的交點(diǎn)為，求直線斜率的取值范圍．【答案】（1）3（2）4（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)求解即可；（2）由題意可知四邊形的面積等于，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，將拋物線方程與直線，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)用表示，進(jìn)而可得到直線的方程，證明直線過(guò)定點(diǎn)即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)檫^(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，設(shè)，，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為線段中點(diǎn)到軸的距離為.【小問(wèn)2詳解】由點(diǎn)與原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可知是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，設(shè)，，由韋達(dá)定理可得，，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最小值為4．【小問(wèn)3詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知直線的斜率存在，且不為，則直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，解得，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定