湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章圓錐曲線與方程3-2雙曲線課件

1.雙曲線的定義平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對(duì)值為正常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌

跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作雙曲線的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫

作雙曲線的焦距.2.當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條方向相反的射線(包括端點(diǎn));

當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在;當(dāng)2a=0時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段F1F2的垂直平分

線.

3.2雙曲線1|

雙曲線的定義1.標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),

-

=1(a>0,b>0);當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),

-

=1(a>0,b>0).2.一般方程雙曲線的一般方程為Ax2-By2=1,其中AB>0,當(dāng)A>0,B>0時(shí),焦點(diǎn)在x軸上;當(dāng)A<0,

B<0時(shí),焦點(diǎn)在y軸上.

2

|

雙曲線的方程焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)圖形

1.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)3|

雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)性質(zhì)范圍x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸:x軸、y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)漸近線y=±

xy=±

x離心率e=

,e∈(1,+∞)實(shí)軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)等于2a,a叫

作雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)虛軸線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)等于2b,b叫

作雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)2.e=

=

=

>1,它反映了雙曲線開口的大小,e越大,開口就越大.

1.等軸雙曲線實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫作等軸雙曲線.它有如下性質(zhì):(1)方程形式為x2-y2=λ(λ≠0);(2)漸近線方程為y=±x,兩條漸近線互相垂直;(3)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都等于2a,離心率e=

.2.距離雙曲線

-

=1(a>0,b>0)右支上任意一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的最小距離為a+c,到右焦點(diǎn)的最小距離為c-a.3.焦半徑雙曲線上一點(diǎn)P(x0,y0)與左(下)焦點(diǎn)F1或右(上)焦點(diǎn)F2之間的線段叫作雙曲線

的焦半徑,記r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)

-

=1(a>0,b>0),若點(diǎn)P在右支上,則r1=ex0+a,r2=ex0-a;若點(diǎn)P在左支上,則r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.(2)

-

=1(a>0,b>0),若點(diǎn)P在上支上,則r1=ey0+a,r2=ey0-a;若點(diǎn)P在下支上,則r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.1.已知平面上一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之差為常數(shù)2a(a>0,2a<|F1F2|),則點(diǎn)M

的軌跡是雙曲線嗎?不是,它表示雙曲線的一支.當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a時(shí),M的軌跡為焦點(diǎn)為F2的這一側(cè)的

一支;當(dāng)|MF2|-|MF1|=2a時(shí),M的軌跡為焦點(diǎn)為F1的這一側(cè)的一支.知識(shí)辨析2.雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c的關(guān)系相同嗎?不相同.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,c2=a2+b2,a>0,b>0,a與b的大小關(guān)系不確定;橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程中,a2=b2+c2,其中a>b>0.3.給定一個(gè)方程Ax2+By2=1,它一定表示雙曲線嗎?不一定.當(dāng)AB<0時(shí)表示雙曲線,當(dāng)A>0,B>0,且A≠B時(shí)表示橢圓,當(dāng)A=B>0時(shí)表示圓.

4.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是不是定值?是.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b,此結(jié)論在解小題時(shí)可直接應(yīng)用.1.定義法1雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解根據(jù)雙曲線的定義確定a2,b2的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.2.待定系數(shù)法.其步驟如下:(1)定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,還是二者都有可能.(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點(diǎn)位置,設(shè)其方程為

-

=1(a>0,b>0)或

-

=1(a>0,b>0),焦點(diǎn)位置不確定時(shí),可設(shè)為mx2+ny2=1(mn<0).(3)尋關(guān)系:根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b或m,n的方程組.(4)得方程:解方程組,將a,b或m,n的值代入所設(shè)方程即可.3.常見雙曲線方程的設(shè)法(1)漸近線方程為y=±

x的雙曲線方程可設(shè)為

-

=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果漸近線方程為Ax±By=0,那么雙曲線方程可設(shè)為A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).(2)與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)或

-

=1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

-

=λ(λ≠0)或

-

=λ(λ≠0).(3)與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的離心率相等的雙曲線方程可設(shè)為

-

=λ(λ>0)或

-

=λ(λ>0),這是因?yàn)橛呻x心率不能確定焦點(diǎn)位置.(4)與橢圓

+

=1(a>b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為

-

=1(b2<λ<a2).

典例求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)以橢圓

+

=1長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(3,

);(2)過點(diǎn)P

,Q

,且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上;(3)漸近線方程為y=±

x,且經(jīng)過點(diǎn)A(2,-3).解析

(1)由題意得,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且c=2

.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1(a>0,b>0),則有a2+b2=c2=8,由雙曲線過點(diǎn)(3,

)得

-

=1,∴a2=3,b2=5.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1.(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.∵點(diǎn)P,Q在雙曲線上,∴

解得

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1.(3)解法一:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1(a>0,b>0),則

=

.①∵點(diǎn)A(2,-3)在雙曲線上,∴

-

=1.②①②聯(lián)立,無解.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)方程為

-

=1(a>0,b>0),則

=

.③∵點(diǎn)A(2,-3)在雙曲線上,∴

-

=1.④聯(lián)立③④,可得a2=8,b2=32.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1.解法二:由題意可設(shè)雙曲線方程為

-y2=λ(λ≠0),∵A(2,-3)在雙曲線上,∴

-(-3)2=λ,即λ=-8.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

-

=1.1.雙曲線上的點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形.雙曲

線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題可以根據(jù)定義結(jié)合余弦定理、勾股定理或三角形

面積公式等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算,在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運(yùn)

用.2.焦點(diǎn)三角形中常用的結(jié)論(1)設(shè)∠F1PF2=θ,則焦點(diǎn)三角形的面積S=

=c|yP|.(2)設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則e=

.2雙曲線的焦點(diǎn)三角形?

典例設(shè)F1,F2為雙曲線

-

=1的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=120°,則△F1PF2的面積為

3

.解析

由題意可得a=5,b=3,c=

,則F1(-

,0),F2(

,0),則|F1F2|2=136,||PF1|-|PF2||=10.由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos120°=

+3|PF1|·|PF2|=100+3|PF1|·|PF2|=136,∴|PF1|·|PF2|=12,∴△F1PF2的面積S=

|PF1|·|PF2|·sin120°=

×12×

=3

.1.焦點(diǎn)在x軸上和y軸上的雙曲線的漸近線方程不同,注意區(qū)分.2.雙曲線的兩條漸近線的斜率互為相反數(shù).3.漸近線與離心率的關(guān)系:

=

,e=

.4.求雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)鍵是通過給出的幾何關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)a,c(或

a,b或b,c)的關(guān)系式,結(jié)合c2=a2+b2進(jìn)行求解.3雙曲線的漸近線和離心率

典例已知雙曲線

-

=1(b>0)上任意一點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積等于3,則該雙曲線的離心率等于

(D

)A.

B.

C.

D.

解析

易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以漸近線方程為y=±

x,即bx±

y=0.設(shè)P(x0,y0),則P到兩條漸近線的距離之積為

·

=

,又

-

=1,即b2

-5

=5b2,所以

=3,所以b2=

,故雙曲線的離心率e=

=

=

=

,故選D.一般地,設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0)①,雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)②.把①代入②,得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)當(dāng)b2-a2k2=0,即k=±

時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行,直線與雙曲線C相交于一點(diǎn).(2)當(dāng)b2-a2k2≠0,即k≠±

時(shí),Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn);Δ=0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn);Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點(diǎn).4直線與雙曲線的位置關(guān)系

典例

(1)已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),討論雙曲線與直線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);(2)若直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=1交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB的面積

為

,求實(shí)數(shù)k的值.思路點(diǎn)撥

(1)(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與雙曲線方程,得一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

系得到x1+x2,x1x2,并求出k的范圍,根據(jù)△AOB的面積為

列出等式,進(jìn)而求解.解析

(1)聯(lián)立

消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)①當(dāng)1-k2=0,即k=±1時(shí),方程(*)只有一個(gè)解x=

.故k=±1時(shí),直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線l與漸近線平行.②當(dāng)1-k2≠0,即k≠±1時(shí),易得Δ=4(4-3k2),(i)令Δ>0,得-

<k<

且k≠±1,此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不相等的解,方程組有兩組解,故直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn).(ii)令Δ=0,得k=±

,此時(shí)方程(*)有兩個(gè)相等的解,故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線l與雙曲線相切.(iii)