2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)章末綜合測(cè)評(píng)一空間幾何體課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE章末綜合測(cè)評(píng)(一)空間幾何體(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．一個(gè)等腰三角形繞它的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的曲面所圍成的幾何體是()A．球體B．圓柱C．圓臺(tái)D．兩個(gè)共底面的圓錐組成的組合體D[直角三角形的斜邊為旋轉(zhuǎn)軸，所得幾何體是兩個(gè)圓錐．]2．如下所示的直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的，其中正確的是()ABCDA[由幾何體的直觀圖的畫法及主體圖形中虛線的運(yùn)用，知A正確．]3．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知點(diǎn)O′是斜邊B′C′的中點(diǎn)，且A′O′＝1，則△ABC的邊BC上的高為()A．1B．2C．eq\r(2)D．2eq\r(2)D[∵△ABC的直觀圖是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝eq\r(2).依據(jù)直觀圖平行于y軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，∴△ABC的高為AC＝2A′C′＝2eq\r(2).故選D.]4.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是()A．6＋4eq\r(2)B．4＋4eq\r(2)C．6＋2eq\r(3)D．4＋2eq\r(3)C[由三視圖可知該幾何體為三棱錐，記為三棱錐P-ABC，將其放入正方體中，如圖，易知PA＝AB＝AC＝2，PB＝PC＝BC＝2eq\r(2)，故其表面積為S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝6＋2eq\r(3)，故選C.]5．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐D1-ACDA．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．1A[三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).]6．棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比為1∶2,則此棱錐的高被分成的兩段之比為()A．1∶2 B．1∶4C．1∶(eq\r(2)＋1) D．1∶(eq\r(2)－1)D[借助軸截面，利用相像的性質(zhì)，若截面面積與底面面積之比為1∶2,則對(duì)應(yīng)小棱錐與原棱錐高之比為1∶eq\r(2)，被截面分成兩段之比為1∶(eq\r(2)－1).]7．若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過(guò)兩球球心的截面圓周長(zhǎng)之和為6π，則兩球的半徑之差為()A．1B．2C．3D．4A[設(shè)兩球的半徑分別為R，r(R>r),則由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)R3＋\f(4π,3)r3＝12π，,2πR＋2πr＝6π，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝2，,r＝1.))故R－r＝1.]8．如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱AB上，且EF＝2，動(dòng)點(diǎn)Q在棱D′C′上，則三棱錐A′-EFQ的體積()A．與點(diǎn)E，F(xiàn)的位置有關(guān)B．與點(diǎn)Q的位置有關(guān)C．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置都有關(guān)D．與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無(wú)關(guān)，是定值D[VA′-EFQ＝VQ-A′EF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×EF×AA′×A′D′，所以其體積為定值，與點(diǎn)E，F(xiàn)，Q的位置均無(wú)關(guān)．]9．將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中A．6eq\r(3)cm B．6cmC．2eq\r(3,18)cm D．3eq\r(3,12)cmB[由題設(shè)可知兩種器皿中的水的體積相同，設(shè)圓錐內(nèi)水面高度為h，圓錐的軸截面為正三角形，可設(shè)邊長(zhǎng)為a,由圖可得，eq\f(h,\f(\r(3),2)a)＝eq\f(r,\f(1,2)a)，所以r＝eq\f(\r(3),3)h.故V圓柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圓錐＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))eq\s\up10(2)·h，又V圓柱＝V圓錐，所以h＝6cm.]10．已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝2,SB＝SC＝4,則該三棱錐的外接球的半徑為()A．3B．6C．36 D．9A[因?yàn)槿忮FS-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以該三棱錐的外接球就是以三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱為棱的長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以外接球的半徑為eq\f(1,2)eq\r(22＋42＋42)＝3.]11．已知邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BD＝a,則三棱錐D-ABC的體積為()A．eq\f(a3,6)B．eq\f(a3,12)C．eq\f(\r(3)a3,12)D．eq\f(\r(2)a3,12)D[在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將該菱形沿對(duì)角線AC折起，使BD＝a,則三棱錐D-ABC為正四面體，D在底面的射影為正三角形的中心O,h＝OD＝eq\r(DE2－OE2)＝eq\r(\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(6),3)a,所以三棱錐D-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),4)a2·eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2)a3,12).]12．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A．36πB．64πC．144πD．256πC[如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面AOB的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O-ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)VO-ABC＝VC-AOB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，故R＝6，則球O的表面積為S＝4πR2＝144π，故選C.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．底面直徑和高都是4cm的圓柱的側(cè)面面積為________cm216π[圓柱的底面半徑為r＝eq\f(1,2)×4＝2，故S側(cè)＝2π×2×4＝16π.]14．一個(gè)正方體的表面綻開圖的五個(gè)正方形如圖陰影部分所示，第六個(gè)正方形在編號(hào)1～5的適當(dāng)位置，則可能的位置編號(hào)為________.1，4，5[第六個(gè)正方形在正方體中翻折可知其可能的編號(hào)為1，4，5.]15．如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1∶V1∶24[因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4.又F是AA1的中點(diǎn)，所以A1究竟面的距離H為F究竟面距離h的2倍，即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱錐F-ADE高的2倍，所以V1∶V2＝eq\f(\f(1,3)S△ADE·h,S△ABC·H)＝eq\f(1,24)＝1∶24.]16．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________．eq\f(π,4)[由題意可知，四棱錐底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱錐的高為2.因?yàn)閳A柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，則圓柱的上底面直徑為底面正方形對(duì)角線的一半等于1，即半徑等于eq\f(1,2)，由相像比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半，為1.所以該圓柱的體積為V＝Sh＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up10(2)×1＝eq\f(π,4).]三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長(zhǎng)為10cm，[解]如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為r、R.因?yàn)閑q\f(l－10,l)＝eq\f(r,R)，所以eq\f(l－10,l)＝eq\f(1,4)，所以l＝eq\f(40,3)cm.即圓錐的母線長(zhǎng)為eq\f(40,3)cm.18．(本小題滿分12分)如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，C′A′＝2,B′D′∥y′軸且B′D′＝1.5.(1)將其復(fù)原成原圖形，并畫出來(lái)；(2)求原平面圖形△ABC的面積．[解](1)畫法：①畫直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②在x軸上取OD＝O′D′，過(guò)D作DB∥y軸，并使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，則△ABC即為△A′B′C′的原圖形，如圖所示．(2)因?yàn)锽′D′∥y′軸，所以BD⊥AC.又B′D′＝1.5且A′C′＝2，所以BD＝3，AC＝2.所以S△ABC＝eq\f(1,2)BD·AC＝3.19．(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，其高為6cm，底面三角形的邊長(zhǎng)分別為3cm，4cm，5cm，以上、下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積[解]V三棱柱ABC-A1B1C1＝eq\f(3×4,2)×6＝36(cm3).設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則r＝eq\f(2S△ABC,AB＋BC＋AC)＝eq\f(2×\f(1,2)×3×4,3＋4＋5)＝1(cm)，V圓柱OO1＝πr2h＝6π(cm3).所以V＝V三棱柱ABC-A1B1C1－V圓柱OO1＝36－6π(cm320．(本小題滿分12分)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H,在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)求圓柱的側(cè)面積；(2)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？[解](1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則它的側(cè)面積為S＝2πrx,eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，解得r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2.(2)由(1)知S圓柱側(cè)＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2，在此表達(dá)式中，S圓柱側(cè)為x的二次函數(shù)，因此，當(dāng)x＝eq\f(H,2)時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．21．(本小題滿分12分)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.[解]由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線長(zhǎng)分別為6cm和4故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3).又V長(zhǎng)方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長(zhǎng)方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g).22．(本小題滿分12分)如圖所示，有一塊扇形鐵皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下來(lái)一個(gè)扇形環(huán)ABCD，作圓臺(tái)形容器的側(cè)面，并且余下的扇形OCD試求：(1)AD的長(zhǎng)；(2)容器的容積．[解](1)如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r、R，AD＝x，則O