【青松雪】拋物線二級結論與初中數(shù)學數(shù)學命題

拋物線二級結論與初中數(shù)學命題我們以最簡單的二次函數(shù)（）為例。一般的二次函數(shù)（）可以化成頂點式，然后再經過平移得到。但是情況太復雜，不適合初中生研究。1、以新定義的形式，定義焦點與準線。焦點，準線。點為拋物線上任意一點，過點作交于點，連結，試證：，即拋物線的統(tǒng)一定義。2、焦半徑公式：設點的坐標為，則；即拋物線上的點到焦點的距離有最小值。3、以為直徑的圓與軸相切?！咀C明】設的中點為，則，由焦半徑公式知：，∴，即點到軸的距離等于長度的一半，所以結論得證。4、若直線過焦點，與拋物線交于、兩點，且直線與軸的正半軸所成夾角為（）（此處避開直線的傾斜角，不然初中學生理解不了），則可得焦半徑的三角函數(shù)公式，?！咀C明】過點作于點，過點作于點?！?，∴，∴。同理可得：?！?，∴，∴，，∴，，∴，，即有最小值?！鄴佄锞€上任意一點到焦點的距離有最小值，無最大值。【例如】當?shù)扔凇ⅰr，求、或的值等。5、若直線過焦點，與拋物線交于、兩點，且直線與軸的正半軸所成夾角為（），則?！咀C明】（利用焦半徑的三角函數(shù)公式可證）構造輔助線方法同上，可得：，，∴得證?！纠纭慨敃r，求的值。6、若直線過焦點，與拋物線交于、兩點，則以為直徑的圓與準線相切。【證明】（利用焦半徑的坐標公式和中點坐標公式可證）設點，，的中點，則由焦半徑公式可得：，點到準線的距離為：，而根據(jù)中點坐標公式，∴，得證。7、若直線過焦點，與拋物線交于、兩點，且直線與軸的正半軸所成夾角為（），則線段叫做焦點弦，其長度為（焦點弦弦長公式）?！咀C明】（利用焦半徑的三角函數(shù)公式可證）由焦半徑的三角函數(shù)公式可知：，，∴，得證?！撸?，∴，即，∴焦點弦有最小值，無最大值。8、過焦點作兩條相互垂直的直線、，分別交拋物線于、、、四點，則?！咀C明】（利用焦半徑的三角函數(shù)公式可證）設直線與軸的正半軸所成夾角為，直線與軸的正半軸所成夾角為，則，由焦點弦的弦長公式可知：，，∴，∵，∴，∴，得證。9、過焦點作兩條相互垂直的直線、，分別交拋物線于、、、四點，則四邊形的面積有最小值?！咀C明】（由上面的結論，和均值不等式可得，初中生可以用設元配方來理解）由上題的結論可得：，∴由均值不等式可得：，即，∴，而，得證。10、和焦點弦有關的直角梯形結論：【條件】直線過焦點，與拋物線交于、兩點，點為的中點，過點作于點，過點作于點，點為的中點，則：（1）以為直徑的圓與準線相切；（證明略）（2）若為準線上任意一點，過點作拋物線的兩條切線，切點為、，則直線必過焦點，且。（此結論還沒想到初中學生可以理解的證法）（3）【直角梯形的中位線模型】①；②；③于點；④垂直平分，垂直平分，且垂足都在軸上。（4）。（焦點弦三角函數(shù)公式可證）（5），即的面積有最小值。（利用前面結論可證）（6）直線與直線相交于點，即兩直線都過原點。（利用對應線段成比例，可證）（7）連結與拋物線交于點，過點作拋物線的切線，則直線直線。（此為阿基米德三角形的特例，此結論還沒想到初中學生可以理解的證法）【以下結論初中生估計不好證明】11、過焦點作兩條相互垂直的直線、，分別交拋物線于、、、四點，點為中點，點為中點，則直線必過軸上的定點，且。12、焦點弦的中垂線與軸交于一點，則。13、若點是拋物線上一定點，過點作兩條直線、交拋物線于點、，①若，則，即如果直線、的斜率互為相反數(shù)，則直線的斜率為定值；②若，則直線過定點，即如果直線、互相垂直，則直線過定點。14、拋物線“蝴蝶模型”：點、是拋物線對稱軸上兩點，直線經過點，直線與拋物線交于點，直線與拋物線交于點，則直線過定點，且。15、阿基米德三角形及其性質：【條件】過拋物線上任意兩點、（）作拋物線的切線，兩切線交于點，則叫做該拋物線的阿基米德三角形。（1）點的坐標為；（2）設的中點為，則軸；（3）交拋物線于點