陜西省西安市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測試題理含解析

PAGE20-陜西省西安市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期其次次質(zhì)量檢測試題理（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知是實(shí)數(shù)集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得的集合，，進(jìn)而得到，再依據(jù)集合的交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合運(yùn)算，其中解答中熟記集合運(yùn)算的概念，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共扼復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出后，依據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得結(jié)論．【詳解】∵，∴的共軛復(fù)數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．3.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)()A.-1 B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算得到，再依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，得到關(guān)于的方程，解出的值，得到答案.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，因?yàn)?，所以所以解?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，依據(jù)向量垂直關(guān)系求參數(shù)的值，屬于簡潔題.4.的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.60 B. C. D.192【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，通過賦值法則問題得解.【詳解】二項(xiàng)式的綻開式的通項(xiàng)公式為，令，求得．可得綻開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求制定項(xiàng)，屬基礎(chǔ)題.5.某公司生產(chǎn)，，三種不同型號(hào)轎車，產(chǎn)量之比依次為，為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本，若樣本中種型號(hào)的轎車比種型號(hào)的轎車少8輛，則（）A.96 B.72 C.48 D.36【答案】B【解析】【分析】依據(jù)分層比例列式求解.【詳解】由題意得選B.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.6.已知，為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】舉出反例,利用特別值依次解除選項(xiàng)A、D,由不等式的性質(zhì)可解除C【詳解】對于選項(xiàng)A,令,時(shí),,故A不正確；對于選項(xiàng)C,,故C不正確；對于選項(xiàng)D,令,時(shí),,故D不正確；對于選項(xiàng)B,,則故選B【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用,考查特別值法處理選擇題7.如圖所示，是某幾何體的正視圖（主視圖），側(cè)視圖（左視圖）和俯視圖，其中俯視圖為等腰直角三角形,則該幾何體體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖可得該組合體下半部為一半球體，上半部為一三棱錐，依據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，利用椎體和球體的體積公式計(jì)算可得答案.【詳解】由三視圖可知：該組合體下半部為一半球體，上半部為一三棱錐，該三棱錐中一條側(cè)棱與底面垂直，底面三角形為等腰直角三角形，其中腰長為，高為3，而球體的半徑為3，所以該組合體的體積為：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖還原直觀圖，考查了椎體和球體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.8.點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離和的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)拋物線定義，將問題轉(zhuǎn)化為求的最小值加1，數(shù)形結(jié)合，則問題得解.【詳解】由得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線．過作垂直直線于，依據(jù)拋物線的定義，拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離．所以有，連接、，有，所以為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為．所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離和的最小值是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到定直線以及定點(diǎn)之間的距離之和的最小值，屬基礎(chǔ)題.9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先寫出平移的函數(shù)表達(dá)式，利用誘導(dǎo)公式得出全部取值，最小值即可確定．【詳解】由題意知，的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移變換，考查誘導(dǎo)公式，解題關(guān)鍵是確定由變成時(shí)的值．10.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．11.已知是定義在上的偶函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則的值為（）A. B.1 C.0 D.無法計(jì)算【答案】C【解析】【分析】先由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)得f（﹣x）＝f（x），然后利用與f（x）的關(guān)系，以及的奇偶性，得f（x+1）+f（x﹣1）＝0，從而得到要求的數(shù)值．【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，．因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以，可得，所以，因此．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及整體代換思想，是個(gè)基礎(chǔ)題．12.設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，若，且，則雙曲線的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形，所以，，由雙曲線的定義知，，于是，，在△中，由余弦定理可得，然后利用，求出的值即可得解．【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線的對稱性可知四邊形為平行四邊形．∴，．設(shè)，則，即，．∵，即，．∵，∴．又，在中，由余弦定理可得：，即，∴，．∴雙曲線的漸近線的斜率為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．二、填空題13.在區(qū)間內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為______．【答案】【解析】【分析】區(qū)間的長度為4，此區(qū)間內(nèi)大于2的數(shù)所在區(qū)間長度為3，由幾何概型概率公式可得概率．【詳解】依據(jù)幾何概型可知，所求概率為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求幾何概型，屬于基礎(chǔ)題．14.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______.【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，利用二次函?shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)滿意，解得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，再依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，其中解答中熟記對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，精確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.的面積，若，則角的值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)面積公式得到和余弦定理得到，結(jié)合得到，化簡得到答案.【詳解】因?yàn)?，又，所以所以，由余弦定理得所以由結(jié)合正弦定理，得所以，即，所以，因?yàn)?，所以得，或（舍去），所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了面積公式，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生對于三角公式的綜合應(yīng)用實(shí)力.16.在三棱錐中，已知平面，且為正三角形，，點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則點(diǎn)到棱的距離為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)為的中心，為中點(diǎn)，連結(jié)，，，求得，設(shè)平面截得外接球是，，，是表面上的點(diǎn)，結(jié)合圓的性質(zhì)和球的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)為的中心，為中點(diǎn)，連結(jié)，，，則，，可得,即球的半徑為，作平面交于，交于，設(shè)平面截得外接球的截面是，，，是表面上的點(diǎn)，又∵平面，所以，所以是的直徑，也是球的直徑，，所以.因?yàn)?，，，所以，所以，做，所以，又由，所以是的中位線，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中嫻熟應(yīng)用空間幾何體的幾何結(jié)構(gòu)特征和球的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力.三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．）（一）必考題：17.在正四棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而得到，由此得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面及平面的法向量，利用向量的夾角公式即可得解．【詳解】（1）證明：連接，∵，分別為，的中點(diǎn)．∴．∵正四棱柱柱中，，．∴四邊形是平行四邊形，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）在正四棱柱中，分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．∴，，，設(shè)平面的法向量，則．取，則．同樣可求出平面一個(gè)法向量．∴．設(shè)二面角，則，由，解得∴二面角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定以及利用空間向量求解二面角的問題，考查邏輯推理實(shí)力及運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題．18.某高校自主招生考試中，全部去面試的考生全部參與了“語言表達(dá)實(shí)力”和“競爭與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”兩個(gè)科目的測試，成果分別為、、、、五個(gè)等級(jí)，某考場考生的兩科測試成果數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖，其中“語言表達(dá)實(shí)力”成果等級(jí)為的考生有10人．（1）求該考場考生中“競爭與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目成果等級(jí)為的人數(shù)；（2）已知等級(jí)、、、、分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分．求該考場學(xué)生“語言表達(dá)實(shí)力”科目的平均分．【答案】（1）3；（2）2.9.【解析】【分析】（1）由“語言表達(dá)實(shí)力”科目中成果為的考生有10人，能求出該考場有40人，由此能求出該考場中“競爭與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目成果等級(jí)為的人數(shù)．（2）求出“語言表達(dá)實(shí)力”科目中成果等級(jí)為的頻率為0.100，由此能求出該考查考生“語言表達(dá)實(shí)力”科目的平均分．【詳解】（1）因?yàn)椤罢Z言表達(dá)實(shí)力”科目中成果為的考生有10人，所以該考場有（人）．所以該考場中“競爭與團(tuán)隊(duì)意識(shí)”科目成果等級(jí)為的人數(shù)為．（2）由題意可得：“語言表達(dá)實(shí)力”科目中成果等級(jí)為的頻率為．該考查考生“語言表達(dá)實(shí)力”科目的平均分為．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、平均數(shù)的求法，考查條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．19.設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）本小題運(yùn)用借Sn求an干脆求解即可；

（2）本小題運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出Tn，再依據(jù)Tn增減性求解即可.

【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，①，②，①-②得，；所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即；（2）由題，得，因?yàn)椋寓?，②，?②，得，所以，，明顯，，因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，且，因此【點(diǎn)睛】本題考查借Sn求an，錯(cuò)位相減法，是中檔題.20.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）記，若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）對參數(shù)進(jìn)行分類探討，在不同狀況下求得的最小值，依據(jù)，即可求得參數(shù)的取值范圍；（2）分別參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為對函數(shù)單調(diào)性和值域的探討，則問題得解.【詳解】（1），令，解得，；當(dāng)時(shí)，明顯成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．則，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）明顯不是的零點(diǎn)，由得．令．則，令，解得；，解得；，解得或．當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又時(shí)，不成立．∴只需，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討恒成立問題以及零點(diǎn)問題，分別參數(shù)以及分類探討是解決問題的關(guān)鍵.21.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且的面積為2．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)斜率為1的直線與圓交于，兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程并求此時(shí)的值．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）依據(jù)三角形面積可，將點(diǎn)代入橢圓得到，聯(lián)馬上可求得，；（2）設(shè)直線的方程為，表示出，聯(lián)立直線與橢圓，依據(jù)根的判別式得到的取值范圍，結(jié)合條件表示出，利用取值范圍求得其范圍.【詳解】解：（1）由的面積可得．即，∴．①又橢圓過點(diǎn)，∴．②由①②解得，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題知圓，設(shè)直線的方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由弦長公式可得．將代入橢圓方程，得，由判別式，解得．由直線和圓相交的條件可得，即，也即，綜上可得的取值范圍是．設(shè)，，則，，由弦長公式，得．由，得．∵，∴，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓的綜合，根的判別式，弦長公式，考查學(xué)生運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．（二）選考題：請考生在22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，．（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線與曲線交于，．設(shè)，且，求實(shí)數(shù)