4.1期望4.2方差公開課一等獎?wù)n件省賽課獲獎?wù)n件

前面討論了隨機(jī)變量及其分布。如果我們懂得了隨機(jī)變量X的概率分布，那么，有關(guān)X的全部概率特性也就懂得了。然而，在實(shí)際問題中，概率分布是較難擬定的。且有時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，我們并不需要懂得隨機(jī)變量的全部性質(zhì)，只要懂得其某些數(shù)字特性就夠了。因此，在對隨機(jī)變量的研究中，擬定隨機(jī)變量的某些數(shù)字特性是非常重要的。最慣用的數(shù)字特性是：盼望和方差。第四章數(shù)字特性4.1.1離散型隨機(jī)變量的盼望概念引入：某車間對工人生產(chǎn)狀況進(jìn)行考察，車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一種隨機(jī)變量。如何定義X的平均值？§4.1盼望若統(tǒng)計(jì)了100天小張生產(chǎn)產(chǎn)品的狀況，發(fā)現(xiàn)：能夠得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為32天沒有出廢品；30天每天出一件廢品；17天每天出兩件廢品；21天每天出三件廢品。能夠想象：若另外再統(tǒng)計(jì)100天，其中不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天普通不會完全相似，即另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定就是1.27。n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.能夠得到這n天中，每天的平均廢品數(shù)為(假定每天至多出三件廢品)

普通來說,若統(tǒng)計(jì)了n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均由頻率與概率的關(guān)系，

不難想到：求廢品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率替代頻率，得平均值為：這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣，就得到一種擬定的數(shù)——隨機(jī)變量X的盼望(均值)。是隨機(jī)波動的！定義1:設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,概率分布為

P{X=xk}=pk,k=1,2,…。也就是說：離散型隨機(jī)變量的盼望是一種絕對收斂的級數(shù)和。如果收斂,則稱為X的盼望(或均值)。有關(guān)定義的幾點(diǎn)闡明：(3)隨機(jī)變量的盼望與普通變量的算術(shù)平均值不同.(1)E(X)是一種實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性確保了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項(xiàng)次序的變化而變化,之因此這樣規(guī)定是由于盼望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而變化.隨機(jī)變量X的算術(shù)平均值為假設(shè)它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的平均值.當(dāng)隨機(jī)變量X取各個(gè)可能值是等概率分布時(shí),X的盼望值與算術(shù)平均值相等.例1：

發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬張,每張2元.設(shè)頭等獎1個(gè),獎金1萬元,二等獎2個(gè),獎金各5千元;三等獎10個(gè),獎金各1千元;四等獎100個(gè),獎金各100元;五等獎1000個(gè),獎金各10元.每張彩票的成本費(fèi)為0.3元,請計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤.解：設(shè)每張彩票中獎的數(shù)額為隨機(jī)變量X,則每張彩票平均可賺每張彩票平均能得到獎金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬張彩票的創(chuàng)收平均利潤為解:X的分布律為例2:自動生產(chǎn)線在調(diào)節(jié)之后出廢品的概率是p，當(dāng)在生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)應(yīng)立刻重新進(jìn)行調(diào)節(jié)，求在兩次調(diào)節(jié)之間生產(chǎn)的合格品數(shù)X的數(shù)學(xué)盼望.P71例4.2幾何分布自學(xué).例3:商店的銷售方略解:類似的題：P72例4.54.1.2持續(xù)型隨機(jī)變量的盼望例4：設(shè)持續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為解：4.1.3隨機(jī)變量函數(shù)的盼望設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，需要計(jì)算的量并非X的盼望，而是X的某個(gè)函數(shù)g(X)的盼望，那么，如何計(jì)算呢？一種辦法是：由于g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，其分布能夠由X的分布求出。一旦懂得了g(X)的分布,就能夠按照盼望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來。但使用該辦法必須先求出g(X)的分布。普通說來，這是比較復(fù)雜的事。

那么,可否不求g(X)的分布，而只根據(jù)X的分布來計(jì)算E[g(X)]呢？答案是必定的。且有以下公式：設(shè)X是一種隨機(jī)變量，Y=g(X)，則

當(dāng)X為離散型時(shí),P(X=xk)=pk;當(dāng)X為持續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為f(x)。（P72定理4.1）該公式的重要性在于：當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必求g(X)的分布，而只需懂得X的分布足矣。這對求g(X)的盼望帶來了極大方便。例5：設(shè)國際市場上對我國某種出口商品每年的需求量是隨機(jī)變量X(單位:噸)。X服從區(qū)間[2000,4000]上的均勻分布。每銷售出一噸商品,可為國家賺取外匯3萬元；若銷售不出,則每噸商品需貯存費(fèi)1萬元。求：應(yīng)組織多少貨源，才干使國家收益最大?解：設(shè)組織貨源t噸。顯然，應(yīng)規(guī)定2000≤t≤4000。國家收益Y(單位:萬元)是X的函數(shù)Y=g(X)。體現(xiàn)式為由已知條件,知X的概率密度函為可算得當(dāng)t=3500時(shí)，E(Y)達(dá)成最大值。因此，應(yīng)組織3500噸貨源。

推廣：前面我們給出了求g(X)的盼望的辦法。事實(shí)上，該結(jié)論可容易地推廣到兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X,Y)的情形。類似的題：P73例4.7設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布為

pij,i=1,2,，

j=1,2,

.則：設(shè)二維持續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的密度函數(shù)為f(x,y),則:（P72定理4.2）例6：設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布以下表所示，求Z=X2+Y的盼望.

E(Z)=

g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解：=4.25.解:例7：設(shè)(X,Y)服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G為x軸，y軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域.求E(X)，E(-3X+2Y)

及E(XY).4.1.4盼望的性質(zhì)(1).設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;(4).設(shè)X,Y互相獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);(2).若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立.推廣：推廣：(諸Xi獨(dú)立時(shí))。解：例8：該辦法稱為隨機(jī)變量的（0-1)分解，P75例4.11超幾何分布.P75例4.10.前面介紹了隨機(jī)變量的盼望。盼望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特性。但在某些場合，僅僅懂得平均值是不夠的，還需理解其它數(shù)字特性?！?.2方差例如，某零件的真實(shí)長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量成果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表達(dá)如圖：乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好由于乙儀器的測量成果集中在均值附近。又如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目的射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目的的位置如圖：甲炮射擊成果乙炮射擊成果乙較好由于乙炮的彈著點(diǎn)較集中在中心附近。

中心中心為此需要引進(jìn)另一種數(shù)字特性，用它來度量隨機(jī)變量取值偏離其中心(均值)的程度。這個(gè)數(shù)字特性就是我們要介紹的方差。4.2.1方差的定義注:有的書上也將Var(X)記成D(X)或

(X)

。

定義1:設(shè)

X是一隨機(jī)變量，若E[X-E(X)]2存在,則稱其為X的方差，記成Var(X)，即Var(X)=E[X-E(X)]2;(1)并稱為X的原則差。若X的取值比較分散，則方差較大。若方差Var(X)=0，則X以概率1取常數(shù)。方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對于其盼望的偏離程度。若X的取值比較集中，則方差較?。痪礒(X)X為離散型，P{X=xk}=pk。(1)由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)盼望。X為持續(xù)型，f(x)為密度。4.2.2方差的計(jì)算(2)計(jì)算方差的一種簡化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

展開證：Var(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2.運(yùn)用期望性質(zhì)解：于是例2：設(shè)X服從幾何分布，概率分布為P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…,其中0<p<1,求Var(X)。解：記q=1-p，則交換求和與求導(dǎo)次序無窮等比級數(shù)求和公式例3：設(shè)(X,Y)含有概率密度函數(shù)求隨機(jī)變量Y的盼望與方差。類似的題：p80例4.16.解法1：運(yùn)用聯(lián)合分布解法2：運(yùn)用邊沿分布當(dāng)0≤y≤1時(shí),4.2.3方差的性質(zhì)(1).設(shè)C是常數(shù),則Var(C)=0;(2).若C是常數(shù)，則Var(CX)=C2

Var(X);(3).若X與Y獨(dú)立，則Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y);可推廣為：若X1,X2,…,Xn互相獨(dú)立，則例4：設(shè)隨機(jī)變量X的盼望和方差分別為E(X)和Var(X)，且Var(X)>0，求解：例5:X服從兩點(diǎn)分布，求E(X)及Var(X).解:

X的分布律為4.2.4六個(gè)常見分布的盼望和方差例6：X～P()，求E(X)及Var(X).解：

X的分布律為因此X的方差為結(jié)論：若X～P（），則解：例7：設(shè)X～U(a，b)，求E(X)及Var(X).解：X的密度函數(shù)為例8：

設(shè)X～E(),求E(X)及Var(X).解:

令例9:求E(X)及Var(X).則

Z～N（0，1）,其概率密度為記住正態(tài)分布的特性:例如，X～N（1，3），Y～N（2，4），X與Y獨(dú)立,則Z=2X－3Y服從正態(tài)分布N（？，？）E(Z)=2E(X)－3E(Y)因此Z~N(－4，48).解:這是n次貝努里實(shí)驗(yàn)問題，視p為每一次實(shí)驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率，則X即是n次實(shí)驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù).～(0－1)分布，例10:

設(shè)X~B(n，p)，求E(X)及Var(X).互相獨(dú)立，令記住六個(gè)常見分布的概率密