考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共207題）

考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共6套）（共207題）考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、下列結(jié)論中正確的是A、若數(shù)列{un}單調(diào)有界，則級數(shù)收斂．B、若級數(shù)部分和數(shù)列{Sn}單調(diào)有界，則級數(shù)收斂．C、若級數(shù)收斂，則數(shù)列{un}單調(diào)有界．D、若級數(shù)收斂，則級數(shù)部分和數(shù)列{Sn}單調(diào)有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由級數(shù)收斂的概念知級數(shù)收斂就是其部分和數(shù)列{Sn}收斂．?dāng)?shù)列{un}單調(diào)有界只說明存在，未必有存在；由{Sn}單調(diào)有界必存在極限即可判定級數(shù)收斂，故選B．而由級數(shù)收斂，雖然可以確定數(shù)列{Sn}和{un}收斂，但{Sn}和{un}未必是單調(diào)的．2、現(xiàn)有命題其中真命題的序號是A、①與②B、②與③C、③與④D、①與④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：設(shè)un=(－1)n-1(n=1，2，3，…)，于是收斂，但發(fā)散．可見命題①不正確．或把看成為是級數(shù)去掉括號后所得的級數(shù)．由級數(shù)的基本性質(zhì)5：收斂級數(shù)加括號之后所得級數(shù)仍收斂，且收斂于原級數(shù)的和；但若加括號所得新級數(shù)發(fā)散時，則原級數(shù)必發(fā)散；而當(dāng)加括號后所得新級數(shù)收斂時，則原級數(shù)的斂散性不能確定，即原級數(shù)未必收斂．故命題①不是真命題．設(shè)收斂，則其部分和Sn(n=1，2，…)滿足而的部分和Tn=Sn+1000一S1000，(n=1，2，…)，從而即收斂．設(shè)由極限的保號性質(zhì)可知，存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時成立，這表明當(dāng)n＞N時un同號且后項(xiàng)與前項(xiàng)的比值大于1．無妨設(shè)uN+1＞0，于是有0N+1N+2<…n<…(n＞N)，從而故發(fā)散．若級數(shù)有負(fù)項(xiàng)，可類似證明同樣結(jié)論成立．可見命題②與③都是真命題．設(shè)un=1，vn=－1(n=1，2，3…)，于是收斂，但都發(fā)散．可見命題④不是真命題．故應(yīng)選B．3、若級數(shù)當(dāng)x＞0時發(fā)散，而當(dāng)x=0時收斂，則常數(shù)a=__________.A、1B、－1C、2D、－2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：本題是一個具體的冪級數(shù)，可直接求出該級數(shù)的收斂域，再根據(jù)題設(shè)條件確定a的取值．由知收斂半徑為1，從而收斂區(qū)間為|x－a|＜1，即a－1＜x＜a+1．又當(dāng)x－a=1即x=a+1時，原級數(shù)變?yōu)槭諗?；?dāng)x－a=－1即x=a－1時，原級數(shù)變?yōu)榘l(fā)散．因此，原級數(shù)的收斂域?yàn)閍－1＜x≤a+1．于是，由題設(shè)x=0時級數(shù)收斂，x＞0時級數(shù)發(fā)散可知，x=0是收斂區(qū)間的一個端點(diǎn)，且位于收斂域內(nèi)．因此只有a+1=0，從而a=－1．故選B．4、設(shè)常數(shù)λ＞0且級數(shù)收斂，則級數(shù)A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與λ有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：利用不等式2|ab|≤a2+b2可得由于級數(shù)與均收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，即C正確．故選C．二、解答題(本題共27題，每題1.0分，共27分。)5、已知級數(shù)證明級數(shù)收斂，并求此級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由級數(shù)收斂則它的任何加括號級數(shù)也收斂的性質(zhì)及知，級數(shù)收斂，其和數(shù)為2，且an→0．又由于從而設(shè)的部分和為Sn，則S2n=a1+a2+…+a2n-1+a2n=(a1+a2)+…+(a2n-1+a2n)是的部分和，因此注意到S2n+1S2n+a2n+1，因此從而說明收斂且其和為8．知識點(diǎn)解析：注意到是的一個加括號級數(shù)，由題設(shè)知級數(shù)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的級數(shù)收斂，從而可以由級數(shù)的性質(zhì)通過運(yùn)算來判定收斂并求出其和．判定下列級數(shù)的斂散性：6、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a＞1時，1+an＞an，因此由幾何級數(shù)的斂散性可知收斂，從而收斂．當(dāng)0＜a≤1時，l+an≤2，因此從而由級數(shù)收斂的必要條件可知發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案：注意到xlnn=elnnlnx=nlnx，這樣原級數(shù)轉(zhuǎn)化為p-級數(shù)．由于級數(shù)當(dāng)p＞1時收斂，p≤1時發(fā)散可得：當(dāng)lnx＞1時收斂，當(dāng)lnx≤1時發(fā)散．因此當(dāng)x＞e時收斂，當(dāng)x≤e時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析判定下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比值判別法．因故原級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比較判別法的一般形式．由于且級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比較判別法的極限形式．由于即而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)也發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比較判別法的極限形式．于是從而由收斂即知收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比較判別法的極限形式．取那么，由可知具有相同的斂散性．由于發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：考察由洛必達(dá)法則可得因此由極限不等式性質(zhì)，當(dāng)n＞N，即由于收斂，根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的極限形式可得收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析判定下列級數(shù)的斂散性，當(dāng)級數(shù)收斂時判定是條件收斂還是絕對收斂：14、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于而級數(shù)收斂，利用比較判別法即知收斂，所以此級數(shù)絕對收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于當(dāng)n充分大時有所以此級數(shù)為交錯級數(shù)，且此時還有由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂，又由于所以級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：注意到因?yàn)閺亩耙粋€級數(shù)絕對收斂，但后一個級數(shù)是條件收斂的，故原級數(shù)條件收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析求下列冪級數(shù)的收斂域：17、標(biāo)準(zhǔn)答案：因故收斂半徑當(dāng)時，冪級數(shù)變?yōu)槭且粋€收斂的交錯級數(shù)；當(dāng)時，冪級數(shù)變成它是發(fā)散的，所以的收斂域D為知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于故原級數(shù)的收斂半徑R=+∞，即收斂域D為(－∞，+∞)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：該冪級數(shù)缺偶次方項(xiàng)，即a2n=0，故不能用求R公式求其收斂半徑．此時，可將x看成數(shù)，把原冪級數(shù)當(dāng)作一個數(shù)項(xiàng)級數(shù)來處理．由于故當(dāng)4|x|2＜1即時級數(shù)絕對收斂；當(dāng)4|x|2>1即時通項(xiàng)不趨于0，級數(shù)發(fā)散，所以收斂半徑又在處，級數(shù)成為發(fā)散．故原冪級數(shù)的收斂域?yàn)橹R點(diǎn)解析：暫無解析20、求及arctanx的麥克勞林級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，則有=1－x2+x4－x6+…+(－1)nx2n+…，(|x|＜1)．由于故對的展開式實(shí)行逐項(xiàng)積分即得由于arctanx在[－1，1]上連續(xù)，冪級數(shù)在[－1，1]上收斂，故當(dāng)x=±1時上述展開式也成立．即知識點(diǎn)解析：暫無解析求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：21、標(biāo)準(zhǔn)答案：令則易知S1(x)的收斂域?yàn)?－1，1)，且S(x)=xS1(x)．為求其和函數(shù)S(x)首先求．S1(x)，在其收斂區(qū)間(－1，1)內(nèi)進(jìn)行逐項(xiàng)積分得因此于是知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：方法1容易求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇－1，1)．為求其和函數(shù)首先在收斂區(qū)間(－1，1)內(nèi)進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)，得又因?yàn)镾(0)=0，因此注意和函數(shù)S(x)與函數(shù)－ln(1－x)都在[－1，1)上連續(xù)，它們又在(－1，1)內(nèi)恒等，于是由連續(xù)性可知S(x)=－ln(1－x)也在x=－1處成立，即S(x)=－ln(1－x)(－1≤x＜1)．方法2由公式(5·11)可知故由于ln(1+x)的收斂域?yàn)?－1，1]，故ln(1－x)的收斂域?yàn)閇－1，1)，－ln(1－x)的收斂域不變．知識點(diǎn)解析：暫無解析判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：23、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以，當(dāng)p＜e時，級數(shù)收斂；當(dāng)p＞e時，該級數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時，比值判別法失效．注意到數(shù)列是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=e時，即{un}單調(diào)遞增不是無窮小量，所以該級數(shù)也是發(fā)散的．從而，級數(shù)當(dāng)p＜e時收斂，p≥e時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：因此，當(dāng)β＜1時，原級數(shù)收斂，當(dāng)β＞1時發(fā)散．若β=1，則原級數(shù)為因此，當(dāng)α＞1時收斂，α≤1時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：25、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用比較判別法的極限形式，由于級數(shù)發(fā)散，而且當(dāng)n→∞時所以原級數(shù)也發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：仍利用比較判別法的極限形式．先改寫方法1用泰勒公式確定關(guān)于的階．由于所以收斂．方法2轉(zhuǎn)化為考察無窮小量x－ln(1+x)當(dāng)x→0時關(guān)于x的階．由即知當(dāng)x→0時x－ln(1+x)～2，從而因此原級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：注意到而且級數(shù)收斂，所以原級數(shù)也收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：28、標(biāo)準(zhǔn)答案：方法1因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，所以再采用比較判別法，并將與收斂級數(shù)相比較，由于所以，級數(shù)收斂．再由上面導(dǎo)出的不等式知原級數(shù)收斂．方法2直接利用定義來判別其收斂性．由可知所以原級數(shù)收斂，且其和為4e-1．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、其中{xn}是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先因?yàn)閧xn}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)數(shù)列，所以現(xiàn)考察原級數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}，由于又{xn}有界，即|xn|≤M(M>0為常數(shù))，故所以{Sn}也是有界的．由正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件知原級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析考察級數(shù)其中p為常數(shù)．30、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：將an2改寫成由于再將an2改寫成知識點(diǎn)解析：暫無解析31、證明：級數(shù)當(dāng)p＞2時收斂，當(dāng)p≤2時發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：容易驗(yàn)證比值判別法對級數(shù)失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理來討論它的斂散性．上題已給出了{(lán)an}上下界的估計(jì)，由注意當(dāng)p＞2即時收斂，當(dāng)p≤2即時發(fā)散，因此級數(shù)當(dāng)p＞2時收斂，當(dāng)p≤2時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)1、設(shè)級數(shù)收斂，則下列選項(xiàng)必為收斂級數(shù)的為()A、B、un2C、(u2n-1一u2n)。D、(un+un+1)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)榧墧?shù)un收斂，而un+1與un只差一項(xiàng)，故un+1收斂，再由收斂級數(shù)的和仍收斂可知，級數(shù)(un+un+1)收斂，故選D。2、如果級數(shù)an和bn都發(fā)散，則()A、(an一bn)必發(fā)散。B、anbn必發(fā)散。C、(an+|bn|)必發(fā)散。D、(|an|+|bn|)必發(fā)散。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于an發(fā)散，則|an|發(fā)散，而|an|≤|an|+|bn|)，故(|an|+|bn|)必發(fā)散，故選D。3、已知級數(shù)an收斂，則下列級數(shù)中必收斂的是()A、B、an2C、(a2n-1一l一a2n)。D、(an+an+k)，k為正整數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于(an+an+k)=an+an+k,而級數(shù)an+k為原級數(shù)an去掉了前k項(xiàng)，因此也收斂，故(an+an+k)必收斂，故選D。4、設(shè)an＞0(n=1，2，…)，且an＞收斂，常數(shù)λ∈(0，)，則級數(shù)()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與λ有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：利用比較法。因?yàn)?λ>0,而由正項(xiàng)級數(shù)an收斂可知，a2n收斂，再由比較法的極限形式知，原級數(shù)絕對收斂，故選A。5、下列命題成立的是()A、若=0，則bn收斂時，an收斂。B、=∞，則an發(fā)散時，bn發(fā)散。C、若=1，則中至少有一個發(fā)散。D、若=0，則中至少有一個收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于anbn=1,則an=0和bn=0中至少有一個不成立，則級數(shù)中至少有一個發(fā)散，故選C。6、設(shè)0≤an＜。(n=1，2，…)，則下列級數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由0≤an＜可知，0≤an2＜，而由收斂及正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)an2收斂，從而(一1)nan2絕對收斂，故選D。7、級數(shù)(α>0，β>0)的斂散性()A、僅與β取值有關(guān)。B、僅與α取值有關(guān)。C、與α和β的取值都有關(guān)。D、與α和β的取值都無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于(1)當(dāng)0<β<1時，級數(shù)發(fā)散。(2)當(dāng)β>1時，級數(shù)收斂。(3)當(dāng)β=1時，原級數(shù)為，當(dāng)α>1時收斂，當(dāng)α≤1時發(fā)散，故選C。8、設(shè)常數(shù)λ>0，且級數(shù)an2收斂，則級數(shù)()A、發(fā)散。B、條件收斂。C、絕對收斂。D、斂散性與λ有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：取an=，顯然滿足題設(shè)條件。而此時于是由比較判別法知，級數(shù)絕對收斂，故選C。9、設(shè)pn=，n=1，2，…，則下列命題正確的是()A、若an條件收斂，則都收斂。B、若an絕對收斂，則都收斂。C、若an條件收斂，則斂散性都不定。D、若an絕對收斂，則斂散性都不定。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若an絕對收斂，即|an|收斂，由級數(shù)絕對收斂的性質(zhì)知an收斂。而pn=，再由收斂級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，都收斂，故選B。10、an和bn符合下列哪一個條件可由an發(fā)散得出bn發(fā)散?()A、an≤bn。B、|an|≤bn。C、an≤|bn|。D、|an|≤|bn|。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：反證法。如果bn收斂，由|an|≤bn知，|an|收斂，從而an收斂與題設(shè)矛盾，故選B。11、若級數(shù)an收斂，bn發(fā)散，則()A、anbn必發(fā)散。B、an2必收斂。C、bn2必發(fā)散。D、(an+|bn|)必發(fā)散。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由bn發(fā)散可知，|bn|必發(fā)散，而an收斂，則(an+|bn|)必發(fā)散，故選D。12、如果級數(shù)(an+bn)收斂，則級數(shù)()A、都收斂。B、都發(fā)散。C、斂散性不同。D、同時收斂或同時發(fā)散。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由于an=(an+bn)一bn，且(an+bn)收斂，當(dāng)bn收斂時，an必收斂；而當(dāng)bn發(fā)散時，an必發(fā)散，故選D。13、設(shè)a是常數(shù)，則級數(shù)()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與口的取值有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于收斂，則收斂，但發(fā)散，則發(fā)散，故選C。14、設(shè)(a2n-1+a2n)收斂，則()A、an收斂。B、an發(fā)散。C、an=0。D、當(dāng)an＞0時an必收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)an＞0時，級數(shù)(a2n-1+a2n)為正項(xiàng)級數(shù)，由于該級數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界，從而可知正項(xiàng)級數(shù)an的部分和數(shù)列Sn=a1+a2+…+an有上界，則級數(shù)an必收斂，故選D。15、已知(一1)n-1an=2，a2n-1=5，則an等于()A、3。B、7。C、8。D、9。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：(一1)n-1an=2×5—2=8，故選C。16、正項(xiàng)級數(shù)an收斂是級數(shù)an2收斂的()A、充要條件。B、充分條件。C、必要條件。D、既非充分條件，又非必要條件。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于正項(xiàng)級數(shù)an收斂，則an=0。當(dāng)n充分大時0≤an2≤an，從而ana2收斂。但an2收斂時，an不一定收斂，如an=。因此，正項(xiàng)級數(shù)an收斂是級數(shù)an2收斂的充分條件，故選B。17、設(shè)un=(一1)nln(1+)，則()A、都收斂。B、都發(fā)散。C、un收斂而un2發(fā)散。D、un發(fā)散而un2收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：是一個交錯級數(shù)，而ln(1+)單調(diào)遞減趨于零，由萊布尼茨定理知，級數(shù)un收斂。而ln2(當(dāng)n→∞)，發(fā)散，則發(fā)散，故選C。18、設(shè)冪級數(shù)anxn與bnxn的收斂半徑分別為，則冪級數(shù)的收斂半徑為()A、5。B、。C、。D、。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)極限都存在，則由題設(shè)條件可知Ra=于是冪級數(shù)的收斂半徑為R==5，故選A。二、填空題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)19、若數(shù)列{an}收斂，則級數(shù)(an+1一an)___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂知識點(diǎn)解析：由題干知，級數(shù)(an+1一an)的部分和數(shù)列為Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1，因?yàn)閿?shù)列{an}收斂，所以{Sn}收斂。因此，級數(shù)(an+1一an)收斂。20、設(shè)a1=1，=2021，則級數(shù)(an+1一an)的和為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2020知識點(diǎn)解析：級數(shù)(an+1一an)的部分和數(shù)列為Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1=an+1一1。則一1=2021—1=2020。21、若數(shù)列(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…發(fā)散，則級數(shù)an___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識點(diǎn)解析：根據(jù)級數(shù)性質(zhì)可知，收斂級數(shù)加括號后仍然收斂。假設(shè)an收斂，則級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收斂，與題設(shè)矛盾，故an發(fā)散。22、冪級數(shù)的收斂半徑R=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：√3知識點(diǎn)解析：首先設(shè)an=，則當(dāng)滿足條件<1時，即|x|<√3時，該冪級數(shù)是收斂的。因此，此冪級數(shù)的收斂半徑是√3。23、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1)知識點(diǎn)解析：因?yàn)?1，則收斂半徑R=1。當(dāng)x=一1時，原級數(shù)為收斂；當(dāng)x=1時，原級數(shù)為發(fā)散。因此收斂域?yàn)閇一l，1)。24、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[4，6)知識點(diǎn)解析：冪級數(shù)的系數(shù)為An=．則有因此，冪級數(shù)的收斂半徑為R=1，其收斂區(qū)間為(4，6)。當(dāng)x=4時，原級數(shù)為收斂；當(dāng)x=6時，原級數(shù)為發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域是[4，6)。25、無窮級數(shù)的收斂區(qū)間為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(一√2，√2)知識點(diǎn)解析：在原級數(shù)中令=t，原級數(shù)可化為，只需討論的收斂半徑和收斂區(qū)間即可。對于級數(shù)，由于因此，的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(一1，1)。由于=t，t∈(0，1)所以x=±√2t，即原級數(shù)的收斂區(qū)間為(一√2，√2)。26、冪級數(shù)的收斂半徑R=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：設(shè)an=，則當(dāng)滿足條件=2x2＜1時，即|x|＜該冪級數(shù)是收斂的。因此，冪級數(shù)的收斂半徑是27、無窮級數(shù)的收斂區(qū)間為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：冪級數(shù)的系數(shù)為an=(1+)n2則因此，冪級數(shù)xn的收斂半徑為，收斂區(qū)間為。28、設(shè)冪級數(shù)anxn的收斂半徑為3，則冪級數(shù)nan(x一1)n+1的收斂區(qū)間為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(一2，4)知識點(diǎn)解析：根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)對原冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，得，其收斂半徑不變，因此有nan(x一1)n+1=(x一1)2nan(x一1)n-1，其收斂區(qū)間為|x一1|<3，即(一2，4)。29、已知冪級數(shù)an(x+2)n在x=0處收斂，在x=一4處發(fā)散，則冪級數(shù)an(x一3)n的收斂域?yàn)開__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，5]知識點(diǎn)解析：由題意可知，an(x+2)n的收斂域?yàn)?一4，0]，則anxn的收斂域?yàn)?一2，2]。所以an(x一3)n的收斂域?yàn)?1，5]。30、已知冪級數(shù)anxn在x=1處條件收斂，則冪級數(shù)an(x一1)n的收斂半徑為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：由題干已知冪級數(shù)anxn在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，其收斂半徑為l，因此冪級數(shù)an(x一1)n收斂半徑也為1。31、級數(shù)的和為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由麥克勞林公式易知ln(1+x)=，則32、級數(shù)的和為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令S(x)=nxn-1，(|x|<1)，那么有33、f(x)=在x=一1處的泰勒展開式為___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1)n(x+1)n，(一2＜x＜0)知識點(diǎn)解析：f(x)=考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)1、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣豱＜un＜vn，所以0＜un一ωn＜vn一ωn．又因?yàn)槭諗浚驗(yàn)橹挥挟?dāng)級數(shù)收斂時，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(xiàng)(B)，(C)將正項(xiàng)級數(shù)的結(jié)論用到了一般級數(shù)上，顯然不對．例如取級數(shù)可以說明(B)不對，取級數(shù)就可以說明(C)不對，故選(D)．2、下列命題中錯誤的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由級數(shù)收斂的性質(zhì)知命題(A)正確；由反證法可知命題(B)正確．若設(shè)，這兩個級數(shù)都發(fā)散，但是收斂，可知命題(C)正確，命題(D)錯誤．3、已知級數(shù)條件收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：設(shè)4、設(shè)a＞0為常數(shù)，則A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：5、對于級數(shù)其中un＞0(n=1，2，3，…)，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因|(一1)n-1un|=|un|=un，由絕對收斂，故命題(B)正確；命題(A)錯誤：如；命題(C)，(D)錯誤：如取6、下列結(jié)論正確的是()A、在收斂域上必絕對收斂B、的收斂半徑為R，則R一定是正常數(shù)C、若的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在(-R，R)內(nèi)必可微D、都是冪級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由冪級數(shù)的和函數(shù)S(x)在收斂區(qū)間(一R，R)上的性質(zhì)可知，命題(C)正確．命題(A)錯誤：如收斂域?yàn)?一1，1]，但在x=1處，命題(B)錯誤：因?yàn)槭諗堪霃娇赡転镽=0或R=+∞；命題(D)錯誤：由冪級數(shù)的定義可知不是冪級數(shù)．7、設(shè)0≤un≤則下列級數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因收斂，由正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法知收斂，故絕對收斂，從而收斂，故選(D)．8、已知級數(shù)則()A、級數(shù)①收斂，級數(shù)②發(fā)散B、級數(shù)①發(fā)散，級數(shù)②收斂C、兩級數(shù)都收斂D、兩級數(shù)都發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：設(shè)則{u2n}為單調(diào)增數(shù)列，故從而級數(shù)①發(fā)散，由級數(shù)發(fā)散可知，級數(shù)②一般項(xiàng)極限不為零，故發(fā)散．9、當(dāng)級勢A、一定條件收斂B、一定絕對收斂C、一定發(fā)散D、可能收斂，也可能發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因級數(shù)都為正項(xiàng)級數(shù)，且收斂，又由比較審斂法知，絕對收斂．故選(B)．10、若正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：級數(shù)存在N，當(dāng)n＞N時．a(chǎn)n2≤an,由比較審斂法知，必收斂．故選(C)．11、存在是級數(shù)(an一an+1)收斂的()A、充分條件而非必要條件B、必要條件而非充分條件C、既非充分又非必要條件D、充分必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：(an一an+1)的前n項(xiàng)和為Sn=(a1一a2)+(a2一a3)+…+(an一an+1)=a1一an+112、設(shè)存在，則()A、必收斂B、(an2一an+12)必收斂C、(a2n-1一a2n)必收斂D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于(an2一an+12)=a12—a2，所以選(B)．13、若an(x一1)n在x=-1處收斂，則在x=2處是()A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由an(x一1)n在x=一1處收斂，則收斂半徑R≥|一1—1|=2．而在x=2處，|2—1|=1＜R，所以x=2在收斂區(qū)間內(nèi)，即原級數(shù)在x=2處絕對收斂，故應(yīng)選(B)．14、級數(shù)A、收斂B、發(fā)散C、條件收斂D、絕對收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：15、當(dāng)|x|＜1時，級數(shù)的和函數(shù)是()A、ln(1一x)B、C、ln(x-1)D、一ln(x一1)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)16、設(shè)a為常數(shù)，若級數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識點(diǎn)解析：因?yàn)榧墧?shù)17、級數(shù)的和為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：因?yàn)榧墧?shù)為等比級數(shù)，其公比q滿足18、級數(shù)，當(dāng)______時絕對收斂；當(dāng)________時條件收斂；當(dāng)________時發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知識點(diǎn)解析：19、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識點(diǎn)解析：將已給級數(shù)每相鄰兩項(xiàng)加括號得新級數(shù)因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散，由于加括號后級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)必發(fā)散．20、的斂散性為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識點(diǎn)解析：21、正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列{Sn}_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：有界(或有上界)知識點(diǎn)解析：級數(shù)，收斂等價于{Sn}收斂．對于正項(xiàng)級數(shù){Sn}為單調(diào)遞增數(shù)列．由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則與數(shù)列收斂的必要條件可知，單調(diào)遞增數(shù)列{Sn}收斂等價于{Sn}有界(或有上界)．22、級數(shù)的收斂域是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1，1]知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴蝗表?xiàng)的x的冪級數(shù)，又因故R=1．23、函數(shù)f(x)=展開成的x-1的冪級數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1)n(x一1)n，0＜x＜2知識點(diǎn)解析：因一1＜x＜1．故(一1)n(x一1)n，一1＜x一1＜1，即0＜x＜2．24、冪級數(shù)在收斂區(qū)間(-a，a)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求(a為常數(shù)，0＜|a|＜e)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用級數(shù)的收斂，求數(shù)列極限或證明數(shù)列收斂．若對于級數(shù)．由知識點(diǎn)解析：暫無解析27、判別下列級數(shù)的斂散性(k＞1，a＞1)：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂，故原級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知展開式知知識點(diǎn)解析：暫無解析30、判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析31、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：易知當(dāng)n充分大時，單調(diào)遞減且收斂于0，由萊布尼茨判別法知，級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，有知識點(diǎn)解析：暫無解析33、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：F(x)單調(diào)減少，因此級數(shù)滿足萊布尼茨判別法條件，是條件收斂的．但級數(shù)發(fā)散．由收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級數(shù)，知原級數(shù)發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)兩條拋物線y=nx2+和y=(n+1)x2+記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為an．求：(1)這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；(2)級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)解方程得兩條拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值為根據(jù)對稱性可得知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)級數(shù)收斂，則下列選項(xiàng)中一定收斂的級數(shù)為()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一：令sn=u1+u2+…+un，因?yàn)槭諗浚郧掖嬖?。設(shè)，令s’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn-u1+un+1。因?yàn)椋约墧?shù)收斂。故選D。方法二：取，級數(shù)收斂，而發(fā)散，選項(xiàng)A不對；取，級數(shù)發(fā)散，選項(xiàng)B不對；取，級數(shù)發(fā)散，由比較判別法可知選項(xiàng)C不對。故選D。2、設(shè)級數(shù)收斂，則級數(shù)()A、收斂B、收斂C、收斂D、收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一：令sn=a1+a2+…+an，因?yàn)槭諗?，所以且存在。設(shè)，令故極限存在，所以收斂，故選D。方法二：令，則級數(shù)為萊布尼茨級數(shù)，故收斂。而，由此可知，級數(shù)和均發(fā)散。故選D。3、設(shè)有兩個數(shù)列{an}，{bn}，若，則()A、當(dāng)收斂時，收斂B、當(dāng)收斂時，收斂C、當(dāng)收斂時，收斂D、當(dāng)收斂時，收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：方法一：因?yàn)?，根?jù)極限的定義存在一實(shí)數(shù)M＞0，對一切n有︱an︱≤M。同理，若收斂，則，取M0=1，存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時，︱bn︱＜1，于是bn2≤︱bn︱，由正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法得收斂。由an2bn2≤M2bn2及收斂，得收斂，故選C。方法二：取，顯然收斂，但發(fā)散，選項(xiàng)A不對。取，顯然且發(fā)散，但收斂，選項(xiàng)B不對。取，顯然且發(fā)散，但收斂，選項(xiàng)D不對。由排除法可知，故選C。4、設(shè)an＞0，n=1，2，3，…，且收斂，常數(shù)，則級數(shù)()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與λ有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于為正項(xiàng)級數(shù)且收斂，則級數(shù)收斂，而且有則由比較判別法可知收斂，故絕對收斂。故選A。5、設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A、若，則級數(shù)收斂B、若存在非零常數(shù)λ，使得，則級數(shù)發(fā)散C、若級數(shù)收斂，則D、若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：方法一：取，則有，但級數(shù)發(fā)散，故選項(xiàng)A不對。取，級數(shù)收斂，但，故選項(xiàng)C不對。取，級數(shù)發(fā)散，但，選項(xiàng)D不對。故選B。方法二：設(shè)，取，因?yàn)?，所以存在正整?shù)N，當(dāng)n＞N時，，于是有，即。而發(fā)散，由正項(xiàng)級數(shù)的比較審斂法得發(fā)散。故選B。6、下列級數(shù)中屬于條件收斂的是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一：由于其中收斂，選項(xiàng)A發(fā)散。由于其中均收斂→選項(xiàng)B絕對收斂。由于收斂→選項(xiàng)C絕對收斂。故選D。方法二：直接證明選項(xiàng)D條件收斂。單調(diào)下降趨于零(n→∞)，根據(jù)萊布尼茨定理可知交錯級數(shù)收斂。又有且發(fā)散，即選項(xiàng)D條件收斂。故選D。7、設(shè)a＞0為常數(shù)，則()A、絕對收斂B、條件發(fā)散C、發(fā)散D、收斂性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：，且。由于收斂，故收斂，則絕對收斂。故選A。8、若在x=-1處收斂，則此級數(shù)在x=2處()A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、收斂性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)閤=-1為級數(shù)的收斂點(diǎn)，所以級數(shù)在︱x-1︱＜︱-1-1︱=2內(nèi)收斂，即當(dāng)-1＜x＜3時級數(shù)絕對收斂，由于x=2在區(qū)間(-1，3)內(nèi)，故選B。9、下列四個級數(shù)中發(fā)散的是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于選項(xiàng)A，因?yàn)橛杀容^審斂法知，級數(shù)收斂。對于選項(xiàng)B，因?yàn)槎墧?shù)發(fā)散，由比較審斂法的極限形式知級數(shù)發(fā)散。對于選項(xiàng)C，這是一個交錯級數(shù)，而且令，則，當(dāng)x＞e2時，f’(x)＜0，所以f(x)單調(diào)減少，即當(dāng)n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整數(shù))時，，由交錯級數(shù)的萊布尼茨定理知，級數(shù)收斂。對于選項(xiàng)D，因?yàn)槎墧?shù)收斂，所以絕對收斂。故選B。10、若級數(shù)收斂，發(fā)散，則()A、必發(fā)散B、必收斂C、必發(fā)散D、必發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一：(推理法)由發(fā)散，知一定發(fā)散，而收斂，則有一定發(fā)散。故選D。方法二：(排除法)取，則收斂，發(fā)散，但絕對收斂，排除選項(xiàng)A；發(fā)散，排除選項(xiàng)B；收斂，排除選項(xiàng)C。故選D。11、級數(shù)(a為常數(shù))()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)a=0時，為交錯級數(shù)，且當(dāng)n≥3時滿足萊布尼茨定理，所以收斂。當(dāng)a=1時，的一般項(xiàng)不趨于零，發(fā)散。所以，斂散性與a有關(guān)。故選D。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)12、若級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…發(fā)散，則級數(shù)_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識點(diǎn)解析：假設(shè)收斂，由級數(shù)性質(zhì)知，收斂級數(shù)加括號仍收斂，則級數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收斂，與題設(shè)矛盾。因此發(fā)散。13、冪級數(shù)的收斂半徑為_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：該冪級數(shù)的收斂半徑14、冪級數(shù)的和函數(shù)為_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：In2-In(3-x)，x∈[-1，3)知識點(diǎn)解析：令，則s(1)=0，對等式兩邊求導(dǎo)得其中，即-1＜x＜3。再對等式兩邊從1到x積分，得所以s(x)=In2-In(3-x)，x∈(-1，3)。當(dāng)x=-1時，s(x)連續(xù)，收斂；當(dāng)x=3時，s(x)無意義，發(fā)散，故冪級數(shù)的和函數(shù)為s(x)=In2-In(3-x)，x∈(-1，3)。15、設(shè)有以下命題①若收斂，則收斂；②若收斂，則收斂；③若，則發(fā)散；④若收斂，則都收斂。則以上命題正確的序號是_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：②③知識點(diǎn)解析：級數(shù)加括號收斂，原級數(shù)不一定收斂，如，則①不正確。是級數(shù)去掉了前100項(xiàng)，則由收斂可知收斂，則②正確。由于，則有則當(dāng)n充分大時︱un+1︱＞︱un︱＞0，從而故級數(shù)發(fā)散，③正確。設(shè)，有收斂，而均發(fā)散，④不正確。16、已知冪級數(shù)在x＞0時發(fā)散，且在x=0時收斂，則a的取值是_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：由，可知該冪級數(shù)的收斂半徑為1，從而得其收斂區(qū)間為︱x-a︱＜1，即a-1＜x＜a+1。當(dāng)x-a=1，即x=a+1時，原函數(shù)為，收斂；當(dāng)x-a=-1，即x=a-1時，原級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散。因此，原基數(shù)的收斂域?yàn)閍-1＜x≤a+1。由題設(shè)，x=0時級數(shù)收斂，x＞0時級數(shù)發(fā)散，可知x=0是其收斂區(qū)間的一個端點(diǎn)，且位于收斂域內(nèi)。因此只有a+1=0，即得a=-1。17、設(shè)級數(shù)，當(dāng)_____________________時級數(shù)收斂，當(dāng)_____________________時級數(shù)發(fā)散。標(biāo)準(zhǔn)答案：a＞e，0＜a≤e知識點(diǎn)解析：因?yàn)?，所以a＞e時級數(shù)收斂，0＜a≤e時級數(shù)發(fā)散。18、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(-2，4)知識點(diǎn)解析：令t=x-1，則由于逐項(xiàng)求導(dǎo)后的冪級數(shù)與原級數(shù)有相同的收斂半徑，且已知的收斂半徑為3，所以的收斂半徑為3，從而的收斂半徑為3。收斂區(qū)間(-3，3)。因此對于原級數(shù)，它的收斂區(qū)間為-3＜x-1＜3，即(-2，4)。19、冪級數(shù)的收斂域?yàn)開____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[-4，6)知識點(diǎn)解析：由，因此，冪級數(shù)的收斂半徑為R=1，則有︱x-5︱＜1，即4＜x＜6。當(dāng)x=4時，原級數(shù)收斂；當(dāng)x=6時，原級數(shù)為發(fā)散。故冪級數(shù)的收斂域是[-4，6)。20、設(shè)f(x)=xIn(1+x2)，則f(49)(0)=_____________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：函數(shù)f(x)的麥克勞林展開式為。因?yàn)?，所以，于是。由函?shù)麥克勞林系數(shù)的唯一性得，于是三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)21、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)是的p級數(shù)，因此收斂。所以由比較判別法可知原級數(shù)收斂。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求級數(shù)的和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于，所以收斂半徑R=1，且在x=±1處級數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)?-1，1)。又設(shè)有，所以設(shè)有則，取不定積分得，s3(0)=0→C=0，所以和函數(shù)其中0＜︱x︱＜1，s(0)=3。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、證明級數(shù)條件收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，n=2，3，…，則。因?yàn)榧墧?shù)發(fā)散，所以由比較判別法可知，級數(shù)發(fā)散，即級數(shù)不絕對收斂。注意到原級數(shù)雖然是交錯級數(shù)，但數(shù)列并沒有單調(diào)性，所以不能用萊布尼茨判別法判斷其斂散性。轉(zhuǎn)而考慮其部分和數(shù)列{s2n}{s2n+1}。因?yàn)?注意部分和數(shù)列從k=2開始)并且即數(shù)列{s2n}單調(diào)遞減有下界，所以由單調(diào)有界原理可知數(shù)列{s2n}收斂。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且，可知數(shù)列{s2n+1}也收斂，且，所以部分和數(shù)列{sn}收斂。由級數(shù)收斂的定義可知，級數(shù)收斂，從而級數(shù)條件收斂。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、判斷級數(shù)的斂散性。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閯t有故，所以根據(jù)級數(shù)收斂的定義知，收斂。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的收斂域D和函數(shù)s(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：由，故級數(shù)的收斂半徑R=1，且級數(shù)在收斂區(qū)間(-1，1)的兩個端點(diǎn)x=-1與x=1處都收斂，因此級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1，1]。令，x∈[-1，1]，用x2乘以冪級數(shù)s(x)，則有對等式逐項(xiàng)求導(dǎo)三次可知再積分三次，則有令1-t=u，則故有其中x∈(-1，1)，s(0)=0。方法二：收斂域同方法一，下面求和函數(shù)。用通項(xiàng)拆分法分解冪級數(shù)可得利用已知的和函數(shù)公式：當(dāng)0＜︱x︱＜1時，其中x∈(-1，1)，s(0)=0。代入得知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足ebn=ean-an，且an＞0，n=1，2，3，…，證明：(Ⅰ)bn＞0；(Ⅱ)若收斂，則收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由冪級數(shù)展開式可知，當(dāng)x≠0時，ex-x＞1恒成立。再由an＞0可得，ebn=ean-an＞1=e0，故bn＞0。(Ⅱ)由ebn=ean-an可得，bn=In(ean-an)。因?yàn)閍n＞0，且級數(shù)收斂，所以，則。再結(jié)合，可知由比較審斂法的極限形式可知，級數(shù)收斂。知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)，其中n=1，2，…。證明：(Ⅰ)存在；(Ⅱ)級數(shù)收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)顯然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知又因所以{an}單調(diào)遞減且有下界，故極限存在。(Ⅱ){an}單調(diào)遞減，則，原級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù)。由an≥1得而級數(shù)的部分和為存在，則級數(shù)收斂。由比較判別法知收斂。知識點(diǎn)解析：暫無解析29、判定級數(shù)與級數(shù)的斂散性。標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式并令可得從而級數(shù)可分解為兩個級數(shù)之差。因?yàn)檫@兩個級數(shù)都是收斂的，所以級數(shù)收斂。對于級數(shù)，因從而級數(shù)可以分解為級數(shù)與級數(shù)之和。由萊布尼茨判別法知交錯級數(shù)收斂；利用n→∞時可知，正項(xiàng)級數(shù)與正項(xiàng)級數(shù)有相同的斂散性，因此級數(shù)發(fā)散。再利用級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，級數(shù)是發(fā)散的。綜上所述可得，級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散。知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：由得f(0)=1，由洛必達(dá)法則有于是有f’(0)=0。再由得f’’(0)=5。因?yàn)閒(x)有二階導(dǎo)數(shù)，所以有令，于是。因?yàn)?，而收斂，所以收斂，故級?shù)絕對收斂。知識點(diǎn)解析：暫無解析31、求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由，因此級數(shù)的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1，1)。當(dāng)x=±1時，，而收斂，故原級數(shù)絕對收斂，所以得收斂域?yàn)閇-1，1]。設(shè)當(dāng)x=0時，s(0)=0。當(dāng)x∈(-1，1)且x≠0時，有而有所以因s(x)在x=1處連續(xù)，故時，原級數(shù)為所以s(x)的和函數(shù)為知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)則級數(shù)A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，所以是收斂的．而是正項(xiàng)級數(shù)，且由級數(shù)發(fā)散即得發(fā)散．這就說明C正確．2、設(shè)a＞0為常數(shù)，則級數(shù)A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：用分解法．分解級數(shù)的一般項(xiàng)3、設(shè)常數(shù)a＞2，則級數(shù)A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與α有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于設(shè)常數(shù)p滿足1＜p＜α－1，則有由正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的極限形式知級數(shù)收斂，進(jìn)而知當(dāng)α＞2時絕對收斂，即C正確．二、解答題(本題共28題，每題1.0分，共28分。)判別下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性：4、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)p≤0時，有成立，即級數(shù)的一般項(xiàng)不是無窮小量，故級數(shù)發(fā)散．當(dāng)p＞0時，令由于從而又發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散．綜合即知：無論常數(shù)p取何值，題設(shè)的級數(shù)總是發(fā)散的．知識點(diǎn)解析：暫無解析5、標(biāo)準(zhǔn)答案：因(lnn)lnn=elnn·ln(lnn)=nln(lnn)>n2(n＞ee2)，又因收斂，故級數(shù)收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析6、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)p＞1時，由于n≥3時有又收斂，故級數(shù)收斂．當(dāng)p＜1時，因又發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散．當(dāng)p=1時，因所以這表明級數(shù)的部分和Sn無界，即級數(shù)發(fā)散．綜合得當(dāng)p＞1時收斂，當(dāng)p≤1時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析7、標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)p≤1時，因又由上題知發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散．當(dāng)p＞1時，因所以這表明此時部分和有界，故級數(shù)收斂．綜合得當(dāng)p＞1時收斂；當(dāng)p≤1時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析8、討論級數(shù)的斂散性，其中標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x∈[0，1]時，x(1－x)sin2nx≥0，從而un≥0．故為正項(xiàng)級數(shù)．又sin2nx≤x2n(x∈[0，1])，所以而收斂，所以收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析判別下列級數(shù)的斂散性(包括絕對收斂或條件收斂)：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于而且級數(shù)發(fā)散，所以原級數(shù)不是絕對收斂的．原級數(shù)是交錯級數(shù)，易知為考察的單調(diào)性，令記由x充分大時可知當(dāng)x充分大時g(x)單調(diào)增加，從而f(x)單調(diào)增加．故當(dāng)n充分大時單調(diào)減少．這說明級數(shù)滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，所以該級數(shù)收斂，并且是條件收斂的．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以此級數(shù)是交錯級數(shù)．又由于而且發(fā)散，這說明原級數(shù)不是絕對收斂的．由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而是單調(diào)減少的，所以，隨著n的增加而單調(diào)遞減．又因這說明級數(shù)滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，從而它是收斂的．結(jié)合前面的討論，知其為條件收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、判別級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：【解法一】注意級數(shù)的一般項(xiàng)滿足且條件收斂，發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散．【解法二】計(jì)算級數(shù)相鄰兩項(xiàng)之和可得由此可見級數(shù)是正項(xiàng)級數(shù)，且滿足從而，級數(shù)發(fā)散，于是級數(shù)發(fā)散，再利用級數(shù)性質(zhì)可知原級數(shù)發(fā)散．知識點(diǎn)解析：設(shè)則級數(shù)可寫成對于交錯級數(shù)首先要討論它是否絕對收斂，為此采取比較判別法的極限形式，由于un滿足可見級數(shù)不絕對收斂．又因級數(shù)的一般項(xiàng)的絕對值不是單調(diào)減少的，從而不能用萊布尼茨判別法來判別這個級數(shù)的條件收斂性，必須用其他方法來討論它是否條件收斂．以下介紹兩種方法．12、判斷如下命題是否正確：設(shè)無窮小un～vn(n→∞)，若級數(shù)收斂，則也收斂．證明你的判斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：對于正項(xiàng)級數(shù)，比較判別法的極限形式就是：若0＜A＜+∞，則與同時收斂或同時發(fā)散．本題未限定為正項(xiàng)級數(shù)，由收斂不能斷定一定收斂．比如，取則即un－vn(n→∞)．級數(shù)是收斂的，然而級數(shù)是不收斂的．這個例子說明：對正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法的極限形式不能用于判定任意項(xiàng)級數(shù)的條件收斂性．要注意變號級數(shù)與正項(xiàng)級數(shù)的區(qū)別．知識點(diǎn)解析：暫無解析求下列冪級數(shù)的收斂域：13、標(biāo)準(zhǔn)答案：有相同的收斂半徑，可以用求收斂半徑公式計(jì)算收斂半徑，首先計(jì)算所以R=1．再考察冪級數(shù)在兩個端點(diǎn)x=±1處的斂散性．當(dāng)x=1時，級數(shù)是發(fā)散的．而當(dāng)x=－1時是交錯級數(shù)，同時為證明單調(diào)遞減，令由于而且當(dāng)x≥2時ln(1+x)＞1，從而當(dāng)x≥2時有f’(x)血壓0，即f(x)當(dāng)x≥2時單調(diào)遞減，所以從而滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，故該級數(shù)收斂．這樣即得的收斂域?yàn)閇－1，1)．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以其收斂半徑為2．又由于本題是關(guān)于x+1的冪級數(shù)，所以收斂區(qū)間的兩個端點(diǎn)為x=－3與x=1．當(dāng)x=－3時，原級數(shù)為是發(fā)散的；而當(dāng)x=1時，原級數(shù)是一個交錯級數(shù)，而且容易看出它滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，所以是收斂的．這表明冪級數(shù)的收斂域?yàn)?－3，1]．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、其中的收斂半徑R=3；(只求收斂區(qū)間)標(biāo)準(zhǔn)答案：由冪級數(shù)收斂性的特點(diǎn)知，與有相同的收斂半徑R=3．因而其收斂區(qū)間為(－2，4)．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、其中x=0時收斂，x=6時發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：考察由題設(shè)t=－3時它收斂知收斂半徑R≥3，又t=3時其發(fā)散知R≤3．因此R=3，由此可知的收斂域是[－3，3)，故原級數(shù)的收斂域是[0，6)．知識點(diǎn)解析：暫無解析求下列冪級數(shù)的收斂域及其和函數(shù)：17、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于而且在x=±1處，級數(shù)均發(fā)散，所以其收斂域?yàn)?－1，1)．為求其和函數(shù)，先進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，使其能夠通過逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等手段變成幾何級數(shù)．設(shè)并令則由可得從可得，于是故S(x)=S1(x)－S2(x)+S3(x)當(dāng)x=0時，上面的運(yùn)算不能進(jìn)行，然而從原級數(shù)可直接得出S(0)=a0=1．綜合得冪級數(shù)的和函數(shù)容易看這就說明S(x)在x=0處還是連續(xù)的，這一點(diǎn)也正是冪級數(shù)的和函數(shù)必須具備的性質(zhì)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：利用同樣的方法容易求得級數(shù)的收斂域?yàn)?－1，1)．令為求應(yīng)先進(jìn)行兩次逐項(xiàng)積分，即再進(jìn)行兩次求導(dǎo)，則故知識點(diǎn)解析：暫無解析將下列函數(shù)展成麥克勞林級數(shù)并指出展開式成立的區(qū)間：19、ln(1+x+x2)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于利用公式(5．11)，并分別以(－x3)與(－x)代替其中的x，就有于是知識點(diǎn)解析：暫無解析20、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于利用公式(5．13)，并以x2代替其中的x，就有上式兩端再進(jìn)行積分，注意到所以由即得注意函數(shù)在端點(diǎn)x=－1處連續(xù)，冪級數(shù)在點(diǎn)x=－1處也收斂，從而上式在端點(diǎn)x=－1處也成立，即知識點(diǎn)解析：暫無解析將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開為泰勒級數(shù)：21、在x=1處；標(biāo)準(zhǔn)答案：其中即－1＜x＜3．在上述展式中就是以代替(5．13)式中的x．類似地，有所以知識點(diǎn)解析：暫無解析22、ln(2x2+x－3)，在x=3處．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于ln(2x2+x－3)=ln(2x+3)(x－1)=ln(2x+3)+ln(x－1)，對于右端兩項(xiàng)應(yīng)用公式(5．11)，得知識點(diǎn)解析：暫無解析23、將展開為x的冪級數(shù)，并求f(n)(0)，其中n=1，2，3，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：故于是xn的系數(shù)由此可知當(dāng)n≥2時有此外還有f’(0)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)：24、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于其中所以知識點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于－∞＜x＜+∞，x≠0，所以其中－∞＜x＜+∞，x≠0．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求其收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f"(x)展開，有從而當(dāng)|x|＜1時有當(dāng)x=±1時，右邊級數(shù)收斂，又f(x)連續(xù)，所以收斂域?yàn)椋?≤x≤1．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)試將f(x)展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)楣视捎谏鲜接叶说募墧?shù)在點(diǎn)x=±1處收斂，因此上面等式在|x|≤1上成立．于是當(dāng)0＜|x|≤1時由于f(x)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，且根據(jù)冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)處處連續(xù)可得上式在點(diǎn)x=0處也成立，知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)an>0，bn>O，(n=1，2，…)，且滿足試證：(I)若級數(shù)收斂，則收斂；(Ⅱ)若級數(shù)發(fā)散，則發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于an＞0，bn＞0，故所以從而由比較判別法即知：當(dāng)收斂時收斂，而當(dāng)發(fā)散時發(fā)散．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)29、求的值；標(biāo)準(zhǔn)答案：由于所以知識點(diǎn)解析：暫無解析30、試證：對任意的常數(shù)λ＞0級數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：是正項(xiàng)級數(shù)，可用比較判別法判別其斂散性．由于所以由1+λ＞1，即知收斂，從而收斂．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、(I)求函數(shù)所滿足的二階常系數(shù)線性微分方程；(Ⅱ)求(I)中冪級數(shù)的和函數(shù)y(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)當(dāng)－∞＜x＜+∞時題設(shè)的冪級數(shù)可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)，且由此可見y(x)滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程y"－y=0．(Ⅱ)直接計(jì)算可得y(0)=1，y’(0)=從而函數(shù)y(x)是二階常系數(shù)線性微分方程初值問題的特解．注意特征方程λ2－1=0有二相異特征根λ1=1與λ2=－1，可見微分方程的通解為y(x)=C1ex+C2e-x．利用初值y(0)=1與可確定常數(shù)故(I)中冪級數(shù)的和函數(shù)知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)三（無窮級數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)平面區(qū)域D：|x|+|y|≤1，則(x+y)dxdy=()A、0B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)镈關(guān)于x，y軸都對稱，故，且有其中D1={(x，y)|x+y≤1，x≥0，y≥0}．于是2、設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、πD、一π標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：如圖1．5—1所示，用曲線y=-sinx將區(qū)域D劃分為D1和D2兩部分，則D1關(guān)于x軸對稱，D2關(guān)于y軸對稱，于是有由于區(qū)域D的面積與直線y=0，y=1，所圍成矩形的面積相等，故SD=π，故應(yīng)選(D)．3、設(shè)平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若，則I1，I2，I3的大小順序?yàn)?)A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：在積分區(qū)域D內(nèi)，≤x+y≤1，所以ln(x+y)≤0＜sin(x+y)＜x+y，于是4、累次積分f(x2+y2)dx(R＞0)化為極坐標(biāo)形式的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：積分區(qū)域D為，0≤y≤2R，如圖1.5—2所示．在極坐標(biāo)系下區(qū)域D可表示為0≤r≤2Rsinθ，0≤θ≤故5、設(shè)平面區(qū)域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若，則有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由二重積分的比較性質(zhì)，只需比較平面區(qū)域D上(x+y)2與(x+y)3的大小，即x+y與1的大?。畯膸缀蔚慕嵌纫簿褪强疾閳A域D與直線x+y=1的位置關(guān)系．因積分域D的圓心(2，1)到直線x+y=1的距離(1為圓的半徑)，故閉區(qū)域D在直線x+y=1的1=3，即當(dāng)(x，y)∈D時，有x+y＞1，從而在D上(x+y)2＜(x+y)3，則I1＜I2．6、設(shè)積分其中D1={(x，y)|(x一2)2+(y一1)2≤2)，D2={(x，y)|x2+(y+1)2≤2}，則下列選項(xiàng)正確的是()A、I1＜II2＜I3＜I4B、I4＜I3＜I2＜I1C、I4＜I3＜I1＜I2D、I1＜I3＜I2＜I4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：如圖1．5-3所示，積分域D1的邊界為圓周(x-2)2+(y一1)2=2，它與x軸交于點(diǎn)(1，0)，與直線x+y=1相切．而區(qū)域D1位于直線的上方，故在D1上x+y≥1，從而(x+y)10≤(x+y)11，因此有同樣，在D2上x+y≤1，從而(x+y)10≥(x+y)11，因此有7、已知f(x，y)dy，則I=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：積分域由兩部分組成(如圖1．5—4所示)．設(shè)將D=D1∪D2視為Y型區(qū)域，則故應(yīng)選(A)．8、交換二次積分f(x，y)dy次序正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：交換積分次序的步驟是：①由原累次積分的上下限寫出表示為積分區(qū)域D的聯(lián)立不等式，并作出D的草圖，原積分變成二重積分②按新的累次積分次序的要求寫出新的累次積分表達(dá)式．由已知積分的上下限，可知積分區(qū)域的不等式表示為：如圖1．5—5所示，則9、已知其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，則()A、c＞b＞aB、a＞b＞cC、b＞a＞cD、c＞a＞b標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于D={(x，y)|x2+y2≤1}，所以(x2+y2)2≤x2+y2≤由cosx在上單調(diào)減少可得cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥因此有c＞b＞a．10、設(shè)D由直線x=0，y=0，x+y=1圍成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，則A、2B、0C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，有∫01(1一x)f(x)dx=0，于是=∫01dx∫01-xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0．11、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，交換累次積分∫02πdx∫0sinxf(x，y)dy的次序?yàn)橄葂后y成為()A、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx+∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x，y)dxB、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx-∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x，y)dxC、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx+∫-10dy∫π+arcsiny2π-arcsinyf(x，y)dxD、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx-∫-10dy∫π+arcsiny2π-arcsinyf(x，y)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：在區(qū)間[0，2π]上，∫0sinxf(x，y)dy的上限sinx可能小于下限0．所以∫02πdx∫0sinxf(x，y)dy只是一個累次積分，而不是一個二重積分，所以應(yīng)先變形，化成兩個二重積分，即∫02πdx∫0sinxf(x，y)dy=∫0πdx∫0sinxf(x，y)dy+∫π2πdx∫0sinxf(x，y)dy=∫0πdx∫0sinxf(x，y)dy—∫π2πdx∫sinx0f(x，y)dy．交換積分次序，有∫0πdx∫0sinxf(x，y)dy=∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(x，y)dx，∫02πdx∫sinx0f(x，y)dy=∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x，y)dx，故選(B)．12、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(y)=∫0yf(x)dx，則∫01dz∫0zF(y)dy=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：∫0zF(y)dy=∫0zdy∫0yf(x)dx．交換積分次序?yàn)橄葃后x．將z看成常數(shù)，有∫0zF(y)dy=∫0zdy∫0yf(x)dx=∫0zdx∫xzf(x)dy=∫0z(z-x)f(x)dx∫01dz∫0zF(y)dy=∫01dz∫0z(z-x)f(x)dx=∫01dx∫x1(z-x)f(x)dz=二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)13、由曲線y=lnx及直線x+y=e+1，y=0所圍成的平面圖形D的面積可用二重積分表示為_______，其值等于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由得交點(diǎn)A(e，1)．所求平面圖形的面積為14、二重積分ln(x2+y2)dxdy的符號為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：負(fù)號知識點(diǎn)解析：二重積分的積分值的符號由被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)的正負(fù)號所確定．積分區(qū)域D：|x|+|y|≤1,因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故ln(x2+y2)dxdy＜0．15、設(shè)D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，則二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：被積函數(shù)含有x2+y2的形式，且積分域是以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)域，選用極坐標(biāo)計(jì)算較方便．16、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，D是由y=1,x2一y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域，則標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因積分域D關(guān)于y軸對稱，被積函數(shù)xf(y2)關(guān)于變量x是奇函數(shù)，故17、設(shè)．交換積分次序后I=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：積分域D：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲線y=e2x，y=ex與直線x=1的交點(diǎn)分別為(1，e2)與(1，e)．故18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，則19、交換二次積分次序：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由題意知，所求積分區(qū)域?yàn)閤=2y,x=y2所圍成的區(qū)域，所以20、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，a與m是常數(shù)且a＞0，將二次積分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化為定積分，則I=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0aem(a-x)f(x)(a一x)dx知識點(diǎn)解析：被積函數(shù)僅是關(guān)于x的函數(shù)，交換積分次序即可化為定積分．由二次積分的積分限可知D：0≤x≤y，0≤y≤a，故I=∫0adx∫xaem(a-x)f(x)dy=∫0aem(a-x)f(x)(a-x)dx．21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：交換積分次序，有三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)22、設(shè)F(x，y)=在D=[a，b]×[c，d]上連續(xù)，求并證明：I≤2(M一m)，其中M和m分別是f(x，y)在D上的最大值和最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然I≤2(M—m)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算二重積分其中D是第一象限中由直線y=x和曲線y=x3所圍成的封閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算二重積分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求二重積分．其中D是由曲線，直線y=2，y=x所圍成的平面區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x，y)=其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、平面區(qū)域D=((x，y)||x|+|y|≤1}，計(jì)算如下二重積分：(1)其中f(t)為定義在(一∞，+∞)上的連續(xù)正值函數(shù)，常數(shù)a＞0，b＞0；(2)(eλx一e-λy)dσ，常數(shù)λ＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)易見，積分區(qū)域D是邊長為的正方形，故其面積SD=2，因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，則由二重積分的性質(zhì)便有(2)因?yàn)榉e分區(qū)域D關(guān)于直線y=x對稱，又關(guān)于y軸，x軸對稱，函數(shù)eλx一e-λx，eλy一e-λy分別關(guān)于x，y為奇函數(shù)，則由二重積分的性質(zhì)得知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)p(x)在[a，b]上非負(fù)連續(xù)，f(x)與g(x)在[a，b]上連續(xù)且有相同的單調(diào)性，其中D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，比較的大小，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：I1一I2=p(x)p(y)g(y)[f(x)一f(y)]dxdy，由于D關(guān)于直線y=x對稱，所以I1一I2又可以寫成I1一I2=p(y)p(x)g(x)[f(y)一f(x)]dxdy，所以2(I1一I2)=p(x)p(y)[g(y)一g(x)][f(x)一f(y)]dxdy．因g(x)與f(x)的單調(diào)性相同，所以[f(x)一f(y)][g(x)-g(y)]≥0，從而知I1一I2≤0，有I1≤I2．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(x，y)在D上連續(xù)，且其中D由，x=1，y=2圍成，求f(x，y)．