指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用專項訓(xùn)練（解析版）

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用專項訓(xùn)練指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用專項訓(xùn)練1．（23-24高一上·廣東廣州二中·期末）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（

）A．8小時 B．9小時 C．10小時 D．11小時【答案】C【詳解】因為在前5個小時消除了的污染物，所以，解得，所以，設(shè)污染物減少所用的時間為t，所以，所以，解得.故選：C.2．（23-24高一上·廣東江門·期末）中國高鐵發(fā)展至今，已經(jīng)創(chuàng)造許多世界紀(jì)錄，雖比發(fā)達(dá)國家起步晚了40多年，但中國高鐵建設(shè)突飛猛進(jìn)，截至2023年初，運(yùn)營里程增加到4.2萬公里，連續(xù)十多年穩(wěn)居世界第一，中國高鐵不僅速度比以前列車快而且噪聲更小.我們常用聲強(qiáng)級表示聲音的強(qiáng)弱，其中代表聲強(qiáng)（單位：）.若普通列車的聲強(qiáng)級是，高速列車的聲強(qiáng)級是，則普通列車聲強(qiáng)是高速列車聲強(qiáng)的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【詳解】設(shè)普通列車、高速列車聲強(qiáng)分別為，聲強(qiáng)級分別為，由題意，，，兩式相減可得，，即，所以，即普通列車聲強(qiáng)是高速列車聲強(qiáng)的倍.故選：B3．（23-24高一上·廣東茂名·期末）中國高鐵技術(shù)世界領(lǐng)先，高速列車運(yùn)行時不僅速度比普通列車快且噪聲更?。寐晱?qiáng)I（單位：）表示聲音在傳播途徑中每平方米面積的聲能流密度，聲強(qiáng)級（單位：dB）與聲強(qiáng)Ⅰ的函數(shù)關(guān)系式為．若普通列車的聲強(qiáng)級是95dB，高速列車的聲強(qiáng)級是45dB，則普通列車的聲強(qiáng)是高速列車聲強(qiáng)的（

）A．6倍 B．倍 C．5倍 D．倍【答案】D【詳解】設(shè)普通列車和高速列車的聲強(qiáng)分別為，，由得，則，所以.故選：D．4．（23-24高一上·廣東廣州三校聯(lián)考·期末·多選）吸光度是指物體在一定波長范圍內(nèi)透過光子的能量占收到光能量的比例.透光率是指光子通過物體的能量占發(fā)出光能量的比例.在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，如表為不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.60.70.8設(shè)材料1?材料2?材料3的吸光度分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【詳解】由，得，則，，，，，，即，A選項錯誤；，B選項正確；，C選項正確；，，，，，所以，則有，又，則，D選項正確；故選：BCD5．（23-24高三上·廣東佛山高明區(qū)·期末·多選）在聲學(xué)中，音量被定義為，其中是音量（單位為），是基準(zhǔn)聲壓，為，p是實(shí)際聲音壓強(qiáng)．人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值．經(jīng)過研究表明，人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如圖所示，其中對應(yīng)的聽覺下限閾值為對應(yīng)的聽覺下限閾值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．音量同為20dB的聲音，1000～10000Hz的高頻比30～100Hz的低頻更容易被人們聽到B．聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小C．240Hz的聽覺下限閾值的實(shí)際聲壓為0.002PaD．240Hz的聽覺下限閾值的實(shí)際聲壓為1000Hz的聽覺下限閾值實(shí)際聲壓的10倍【答案】AD【詳解】對于A，30～100Hz的低頻對應(yīng)的聽覺下限閾值高于20dB，1000～10000Hz的高頻對應(yīng)的聽覺下限閾值低于20dB，所以對比高頻更容易被聽到，故A正確；對于B，從圖象上看，聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯誤；對于C，240Hz對應(yīng)的聽覺下限閾值為20dB，，令，此時，故C錯誤；對于D，1000Hz的聽覺下限閾值為0dB，令，此時，所以240Hz的聽覺下限閾值的實(shí)際聲壓為1000Hz的聽覺下限閾值實(shí)際聲壓的10倍，故D正確．故選：AD.6．（23-24高一上·廣東汕頭潮陽區(qū)·期末·多選）如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積（）與時間（月）的關(guān)系為，則以下敘述正確的有（

）A．浮萍蔓延的面積逐月翻一番B．第5個月時，浮萍面積會超過30C．第7個月的浮萍面積超過第6個月和第8個月的平均值D．浮萍每月增加的面積都相等【答案】AB【詳解】由圖可知點(diǎn)在函數(shù)圖象上，所以，即，所以，所以，故正確；當(dāng)時，即，所以正確；設(shè)，，時浮萍面積分別為，，，所以，，，所以，所以錯誤；第個月比第個月增加，第個月比第個月增加，且，實(shí)際上面積增長的速度越來越快，故錯誤.故選：.7．（23-24高一上·廣東廣州廣雅中學(xué)·期末·多選）空曠的田野上兩根電線桿之間的電線有相似的曲線形態(tài)．這些曲線在數(shù)學(xué)上稱為懸鏈線．懸鏈線在工程上有廣泛的應(yīng)用．在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這些曲線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式可以為（其中a，b為非零常數(shù)），則對于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（

）A．若，則為偶函數(shù)B．若，則函數(shù)的最小值為2C．若，則函數(shù)的零點(diǎn)為0和D．若為奇函數(shù)，且使成立，則a的最小值為【答案】ACD【詳解】對于A，若，定義域為全體實(shí)數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且此時，即為偶函數(shù)，故A正確；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，令，解得或，即或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為0和，故C正確；對于D，若為奇函數(shù)，則，即，經(jīng)檢驗符合題意，由題意不等式在上有解，而在上有，所以在上有解，不妨設(shè)，則，所以關(guān)于在上面有解，由基本不等式得，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，綜上所述，a的最小值為，故D正確.故選：ACD.8．（23-24高一下·廣東省六校聯(lián)考·期末）某市環(huán)保部門對市中心每天的環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時刻（時）的關(guān)系為，，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的環(huán)境綜合污染指數(shù)的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作．(1)當(dāng)時，求環(huán)境綜合污染指數(shù)的值域；(2)求的解析式；(3)規(guī)定當(dāng)時為綜合污染指數(shù)超標(biāo)，求當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，該市市中心的綜合污染指數(shù)超標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)時，綜合污染指數(shù)超標(biāo)．【詳解】（1）當(dāng)時，，①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，所以，所以．綜上所述，．（2）當(dāng)時，，令，則，所以，于是，在時是單調(diào)遞減函數(shù)，在時是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，因為，，解，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，即．（3）由，得①無解，②，解得，綜上，．所以當(dāng)時，綜合污染指數(shù)超標(biāo)．9．（23-24高一上·廣東肇慶·期末）2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會開幕式在杭州舉行，完美展現(xiàn)了“綠色”與“科技”的融合.已知綠色科技產(chǎn)品A在亞運(yùn)會開幕式后的30天內(nèi)（包括第30天），每件的銷售價格為10元，日銷售量（單位：件）與第x天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x56121824283045465258565250(1)給出下列三個函數(shù)模型：①；②；③.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式及定義域.(2)若綠色科技產(chǎn)品B在這30天內(nèi)（包括第30天）的日銷售收入（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足，求這30天內(nèi)（包括第30天）綠色科技產(chǎn)品的日銷售收入不少于綠色科技產(chǎn)品的總天數(shù).【答案】(1)，定義域為(2)16天【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時間增加時，先增后減，而①③函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以選擇模型②：.由，可得，解得，所以.由解得所以，定義域為.（2）由（1）得，設(shè)綠色產(chǎn)品的日銷售收入為（單位：元），則，當(dāng)，時，，解得，所以，；當(dāng)，時，，解得，所以，.所以這30天內(nèi)（包括第30天）綠色科技產(chǎn)品的日銷售收入不少于綠色科技產(chǎn)品的總天數(shù)為16天.10．（23-24高一上·廣東汕頭潮陽區(qū)·期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．(1)求k的值；(2)經(jīng)驗表明，當(dāng)室溫為15℃時，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1；參考值：，）【答案】(1)(2)2.7分鐘【詳解】（1）依題意，，．則化簡得，，，即：．（寫也正確）（2）由（1）得令，即．得，；得．所以剛泡好的茶水大約需要放置2.7分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感．11．（23-24高一上·廣東廣州二中·期末）為了預(yù)防甲型流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．己知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示．據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)求從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)藥物釋放完畢后，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學(xué)生才能回到教室？【答案】(1);(2).【詳解】（1）結(jié)合圖象，當(dāng)時，由藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比，故可設(shè)直線為，因為在在上，所以，解得，所以當(dāng)時，此時的函數(shù)關(guān)系為；當(dāng)時，y與t的函數(shù)關(guān)系式為，由圖可知經(jīng)過，所以，解得，所以當(dāng)時，y與t的函數(shù)關(guān)系式為.所以從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）藥物釋放完畢后，要使空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下，只需，解得.所以從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過小時,學(xué)生才能回到教室.12．（23-24高一上·廣東深圳南山區(qū)·期末）已知某產(chǎn)品在過去的32天內(nèi)的日銷售量（單位：萬件）與第天之間的函數(shù)關(guān)系為①；②這兩種函數(shù)模型中的一個，且部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（天）241020（萬件）121110.410.2(1)請確定的解析式，并說明理由；(2)若第天的每件產(chǎn)品的銷售價格均為（單位：元），