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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-812.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.43.我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”,用現(xiàn)代式子表示即為:在中,角所對的邊分別為,則的面積.根據(jù)此公式,若,且,則的面積為()A. B. C. D.4.已知正項等比數(shù)列的前項和為,則的最小值為()A. B. C. D.5.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.56.已知向量,,當時,()A. B. C. D.7.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.8.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.9.已知為圓:上任意一點,,若線段的垂直平分線交直線于點,則點的軌跡方程為()A. B.C.() D.()10.已知函數(shù),若,使得,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.11.將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種12.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭;令上方六尺:問亭方幾何?”大致意思是:有一個四棱錐下底邊長為二丈,高三丈;現(xiàn)從上面截取一段,使之成為正四棱臺狀方亭,且四棱臺的上底邊長為六尺,則該正四棱臺的高為________尺,體積是_______立方尺(注:1丈=10尺).14.已知數(shù)列的前項和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項的和為______.15.已知向量,,,則__________.16.設等比數(shù)列的前項和為,若,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)求證:(,且).18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標方程;(2)設點在上,點在上,求的最小值以及此時的直角坐標.19.(12分)在中,,是邊上一點,且,.(1)求的長;(2)若的面積為14,求的長.20.(12分)在極坐標系中,曲線的方程為,以極點為原點,極軸所在直線為軸建立直角坐標,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),與交于,兩點.(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)設點;若、、成等比數(shù)列,求的值21.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長;(2)已知,為銳角,求.22.(10分)設,函數(shù).(1)當時,求在內(nèi)的極值;(2)設函數(shù),當有兩個極值點時,總有,求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因為,令,則,解得令,則.故選:B.【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì),以及通過賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎題.2.C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.3.A【解析】

根據(jù),利用正弦定理邊化為角得,整理為,根據(jù),得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【詳解】由得,即,即,因為,所以,由余弦定理,所以,由的面積公式得故選:A【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.4.D【解析】

由,可求出等比數(shù)列的通項公式,進而可知當時,;當時,,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當時,;當時,,則的最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學生的計算求解能力,屬于中檔題.5.B【解析】

根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.6.A【解析】

根據(jù)向量的坐標運算,求出,,即可求解.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算、誘導公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關系,屬于中檔題.7.B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.8.A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9.B【解析】

如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.【點睛】本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關鍵.10.C【解析】試題分析:由題意知,當時,由,當且僅當時,即等號是成立,所以函數(shù)的最小值為,當時,為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因為,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點:函數(shù)的綜合問題.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應用、全稱命題與存在命題的應用等知識點的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學生分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關鍵.11.D【解析】

采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點睛】本題考查排列組合公式的具體應用,插空法的應用,屬于基礎題12.A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選:.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高,再計算它的體積.【詳解】如圖所示:正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱臺ABCD-A'B'C'D',且上底邊長為A'B'=6尺,所以,解得,所以該正四棱臺的體積是,故答案為:21;3892.【點睛】本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應用問題,也考查了棱臺的體積計算問題,屬于中檔題.14.1【解析】

由得時,,兩式作差,可求得數(shù)列的通項公式,進一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項和為,,且滿足,①當時,,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以(首項不符合通項),故,所以:,故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式的求法及應用,數(shù)列的前項和的公式,屬于基礎題.15.3【解析】

由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.16.【解析】

由題意,設等比數(shù)列的公比為,根據(jù)已知條件,列出方程組,求得的值,利用求和公式,即可求解.【詳解】由題意,設等比數(shù)列的公比為,因為,即,解得,,所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式,及前n項和公式的應用,其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,正確求解首項和公比是解答本題的關鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)1;(2)見解析【解析】

(1)分別求得與的導函數(shù),由導函數(shù)與單調(diào)性關系即可求得的值;(2)由(1)可知當時,,當時,,因而,構(gòu)造,由對數(shù)運算及不等式放縮可證明,從而不等式可證明.【詳解】(1)∵函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴,即在上恒成立,∴,又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,即在上恒成立,,∴綜上可知,.(2)證明:由(1)知,當時,函數(shù)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),而,∴當時,,當時,.∴∴即,∴.【點睛】本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關系,放縮法在證明不等式中的應用,屬于難題.18.(1):,:;(2),此時.【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為;(2)由題意,可設點的直角坐標為到的距離當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標方程為.(2)由題意,可設點的直角坐標為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當且僅當時,取得最小值,最小值為,此時的直角坐標為.考點:坐標系與參數(shù)方程.【方法點睛】參數(shù)方程與普通方程的互化:把參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征,選取適當?shù)南麉⒎椒?,常見的消參方法有:代入消參法;加減消參法;平方和(差)消參法;乘法消參法;混合消參法等.把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關鍵:一是適當選取參數(shù);二是確保互化前后方程的等價性.注意方程中的參數(shù)的變化范圍.19.(1)1;(2)5.【解析】

(1)由同角三角函數(shù)關系求得,再由兩角差的正弦公式求得,最后由正弦定理構(gòu)建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理構(gòu)建方程求得AB,再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC,最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】(1)據(jù)題意,,且,所以.所以.在中,據(jù)正弦定理可知,,所以.(2)在中,據(jù)正弦定理可知,所以.因為的面積為14,所以,即,得.在中,據(jù)余弦定理可知,,所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形,還考查了由同角三角函數(shù)關系和兩角差的正弦公式化簡求值,屬于簡單題.20.(1)曲線的直角坐標方程為,直線的普通方程為;(2)【解析】

(1)由極坐標與直角坐標的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化,即可求解曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,利用韋達定理得,,可得到,根據(jù)因為,,成等比數(shù)列,列出方程,即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線的極坐標方程可化為,又由,可得曲線的直角坐標方程為,由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),得,即直線的普通方程為;(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中,得,由,設方程的兩根分別為,,則,,可得,.所以,,.因為,,成等比數(shù)列,所以,即,則,解得解得或(舍),所以實數(shù).【點睛】本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程,以及參數(shù)方程與普通方程的互化,以及直線參數(shù)方程的應用,其中解答中熟記互化公式,合理應用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.21.(1);(2)4.【解析

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