江蘇省宿遷市沭陽如東中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)階段測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高二階段測試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.過兩點的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩點坐標(biāo)求出直線的斜率，結(jié)合直線傾斜角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】由已知直線的斜率為，所以傾斜角．故選：D.2.設(shè)a∈R，則“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”得到a＝－2或a＝1，即得解.【詳解】解：若a＝－2，則直線l1：－2x＋2y－1＝0與直線l2：x－y＋4＝0平行；若“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”，∴，解得a＝－2或a＝1，∴“a＝－2”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的充分不必要條件．故選：A3.點到直線的距離大于5，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用點到直線的距離公式列不等式即可求得.【詳解】因為點到直線的距離大于5，所以，解得：或，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B4.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)時，軌跡為雙曲線.則方程表示的圓錐曲線的離心率等于（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到點到定點的距離與到定直線的距離比為，即可得到.【詳解】因為，所以，表示點到定點的距離與到定直線的距離比為，所以.故選：B5.已知點，且是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的最小值是（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】結(jié)合橢圓的定義求得的最小值【詳解】，設(shè)橢圓的右焦點為，，當(dāng)在的正上方時，等號成立.故選：D6.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與半圓的位置關(guān)系可求的取值范圍.【詳解】曲線即為半圓：，其圖象如圖所示，曲線與軸的交點為，而直線為過的動直線，當(dāng)直線與半圓相切時，有，解得，當(dāng)直線過時，有，因為直線與半圓有兩個不同的交點，故，故選：D.7.已知直線與直線相交于點A，點B是圓上的動點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出點的軌跡方程，確定點軌跡，然后通過幾何意義求得最大值．【詳解】由，消去參數(shù)得，所以在以為圓心，為半徑的圓上，又點B是圓上的動點，此圓圓心為，半徑為，，∴的最大值為．故選：C.【點睛】本題考查交軌法求軌跡方程，考查兩點間的距離公式．由圓的性質(zhì)知某點到圓上的點間距離的最大值可以轉(zhuǎn)化為到圓心的距離與半徑的和．8.已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點，，若，在第一象限內(nèi)的交點為P，且滿足，設(shè)，分別是，的離心率，則，的關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由結(jié)合外角定理可得，然后可得，再結(jié)合橢圓和雙曲線定義、勾股定理列式整理可得.【詳解】因為，所以，所以所以，記橢圓長半軸長為，雙曲線實半軸長為，則由橢圓和雙曲線定義可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故選：D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分．9.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是B.若三條直線不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)的取值集合為C.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或D.過兩點的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線的方程即位置關(guān)系分別判斷.【詳解】A選項：直線與軸和軸的交點分別為和，三角形面積為，A選項正確；B選項：三條直線不能構(gòu)成三角形，可得或或直線過點，解得或或，B選項錯誤；C選項：當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點時，，當(dāng)直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點時，設(shè)直線方程為，代入點，即，解得，故直線為，C選項錯誤；D選項：由兩點式方程可直接判斷D選項正確；故選：AD10.法國著名數(shù)學(xué)家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個圓被稱為蒙日圓．已知橢圓，其蒙日圓為圓，過直線上一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則下列選項正確的是（）A.圓的方程為 B.四邊形面積的最小值為4C.的最小值為 D.當(dāng)點為時，直線的方程為【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)，找特殊位置容易求得圓的方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可以推出.【詳解】當(dāng)切線的切點分別為橢圓上頂點和右頂點時，可以得到兩切線的交點為，所以蒙日圓的方程為，故A不正確；四邊形面積為：，只需求出的最小值，而的最小值為點到直線的距離，所以的最小值為，故B正確；設(shè),則，故，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，而的最小值，故的最小值8，故等號取不到，故C不正確；當(dāng)點為時，點，，，四點共以為直徑圓上，所以這個圓的方程為，與圓方程聯(lián)立，可得直的方程為，故D正確.故選：BD.【點睛】易錯點睛：C選項中等號取不到，容易出錯，同時考查推理運算能力.11.2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點．若過原點的直線與上半橢圓交于點，與下半圓交于點，則下列說法正確的有（）A.橢圓的長軸長為B.線段長度的取值范圍是C.面積的最小值是4D.的周長為【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合圓的半徑長可求得，結(jié)合橢圓焦點坐標(biāo)可求得，由此可判斷A；根據(jù)，結(jié)合的范圍可判斷B；設(shè)，利用結(jié)合面積公式可求得，取可判斷C；結(jié)合橢圓定義可判斷D.【詳解】對于A，∵半圓所在圓過點，∴半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，又，∴，即，∴橢圓長軸長為，故A正確；對于B，∵，，∴，故B正確；對于C，設(shè)，則，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點，由橢圓定義知：，又，∴的周長為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.已知直線l的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且l經(jīng)過點，則直線l的方程為______．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出所求直線和已知直線的傾斜角，利用直線的一般式方程得到已知直線的斜率，再利用二倍角的正切公式求出所求直線的斜率，進而寫出直線的點斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設(shè)所求直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，且，所以，所以可得直線l的方程為，即．故答案為：.13.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，，點滿足．則當(dāng)三點不共線時，面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由可整理得到點軌跡為以為圓心，為半徑的圓，可知當(dāng)在圓心的正上方或正下方時，到的距離最大，由此可求得面積的最大值.【詳解】設(shè)，則由得：，即，整理可得：，即，點軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示：當(dāng)在圓心的正上方或正下方時，到的距離最大，且為半徑，.故答案為：.14.設(shè)是橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足，記的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別是R，r，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】化標(biāo)準，得到，，然后根據(jù)正弦定理求出.進而根據(jù)余弦定理推出的面積.根據(jù)等面積法，可知，即可求出.【詳解】將橢圓化為標(biāo)準方程可得，.所以，，，.所以，，，所以，.根據(jù)正弦定理可得，，所以.設(shè)，則.由余弦定理可得，，所以，，整理可得，，顯然是方程的兩個解，所以，所以的面積.又，所以.所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別為，，且它的對角線的交點為，求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．【答案】和【解析】【分析】依題意，由方程組可解得平行四邊形ABCD的頂點A的坐標(biāo)，再結(jié)合對角線的交點是，可求得C點坐標(biāo)，利用點斜式即可求得其他兩邊所在直線的方程.【詳解】解：聯(lián)立方程組，解得.所以平行四邊形的頂點.設(shè)，由題意知點是線段的中點，所以，解得，所以.由已知，得直線的斜率，因為與平行，所以直線的方程為，即由已知，得直線的斜率，因為與平行，所以直線的方程為，即故這個平行四邊其它兩邊所在直線的方程是和16.已知雙曲線的兩個焦點分別為，，且過點.（1）求雙曲線C的虛軸長；（2）求與雙曲線C有相同漸近線，且過點的雙曲線的標(biāo)準方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由雙曲線的定義可知，，又，求得即可．（2）設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入上述方程得即可．【小問1詳解】由題意，易知，，且.在中，由雙曲線的定義可知，，，即.∵雙曲線C的兩個焦點分別為，，∴.又∵，∴故雙曲線C的虛軸長為【小問2詳解】由（1）知雙曲線C的方程為.設(shè)與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為將點的坐標(biāo)代入上述方程，得故所求雙曲線的標(biāo)準方程為17.已知點M(3，1)，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.（1）若直線ax﹣y+4=0與圓O1相交于A，B兩點，且弦AB的長為，求a的值；（2）求過點M的圓O1的切線方程.【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.【解析】【分析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d，結(jié)合點到直線的距離公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，分切線的斜率是否存在2種情況討論，分別求出切線的方程，綜合即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，圓O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圓心為(1，2)，半徑r=2，若弦AB的長為，則圓心到直線ax﹣y+4=0的距離d=，又由圓心為(1，2)，直線ax﹣y+4=0，則有d=，解得；（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)切線斜率不存在時，其方程為x=3，與圓相切，符合條件，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)其方程為y﹣1=k(x﹣3)，圓心到它的距離，解得，切線方程為3x﹣4y﹣5=0，所以過點M的圓的切線方程為x=3或3x﹣4y﹣5=0.【點睛】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，已知橢圓的離心率為，與軸正半軸交于點，過原點不與軸垂直的動直線與交于，兩點．（1）求橢圓的標(biāo)準方程；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明：為定值，并求出該定值；（3）以點E0,2為圓心，為半徑的圓與直線、分別交于異于點的點和點，求與面積之比的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析，定值為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，再根據(jù)可求，故可求標(biāo)準方程.（2）設(shè)Ax1,y1，則可得（3）求出的方程，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程、直線方程和圓的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得面積之比，結(jié)合換元法可得范圍.【小問1詳解】由題設(shè)有，且，故，故橢圓方程為：.【小問2詳解】設(shè)Ax1,y1而，故.故為定值且定值為.【小問3詳解】由題設(shè).圓，直線，由可得即，故，由可得即，同理，而，，而，故，令，故，其中，故，而，故，故.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要用斜率或點的坐標(biāo)表示目標(biāo)函數(shù)，后者需要結(jié)合不等式、函數(shù)性質(zhì)或?qū)?shù)等工具來求范圍.19.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年——325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線表示與橢圓的切線垂直且過相應(yīng)切點的直線.已知圖乙中，橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點為，由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到經(jīng)過的路程為.（1）點是橢圓上除頂點外的任意一點，橢圓在點處的切線為在上的射影滿足，利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)求橢圓的方程；（2）在:（1）的條件下，設(shè)橢圓上頂點為，點為軸上不同于橢圓頂點的點，且，直線分別與橢圓交于點（異于點），，垂足為，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，延長，交于點，利用，求出，進而得到橢圓方程.（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與，結(jié)合題干，得到點軌跡，求得最小值.【小問1詳解】由