第5章 離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析

信號(hào)與系統(tǒng)第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析5.1

離散時(shí)間基本信號(hào)5.2

卷積和5.3

離散系統(tǒng)的基本概念5.4

離散系統(tǒng)的響應(yīng)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析本章在進(jìn)一步介紹離散時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間系統(tǒng)概念的基礎(chǔ)上，討論LTI離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析方法。本章主要內(nèi)容u離散時(shí)間基本信號(hào)的介紹u離散卷積和的定義及性質(zhì)u離散時(shí)間系統(tǒng)的基本概念u離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)學(xué)習(xí)方法：注意離散系統(tǒng)分析方法與連續(xù)系統(tǒng)分析方法的聯(lián)系、區(qū)別、對(duì)比。兩者有并行的相似性，但也存在一些重要差異。和連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)域分析對(duì)照，溫故而知新。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)5.1

離散時(shí)間基本信號(hào)f(t)⑴

模擬信號(hào)：時(shí)間和幅值均連續(xù)的信號(hào)，現(xiàn)實(shí)中的信號(hào)均為模擬信號(hào)。⑵

連續(xù)時(shí)間信號(hào)：時(shí)間連續(xù)的信號(hào)（函數(shù)值可連續(xù)也可不連續(xù)），有時(shí)不嚴(yán)格區(qū)分模擬信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的概念，統(tǒng)稱為連續(xù)信號(hào)。tOf(k)⑶

離散時(shí)間信號(hào)（序列）：只在離散的時(shí)間點(diǎn)上有定義的信號(hào)，通常由模擬或連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)取樣得到，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。k⑷

數(shù)字信號(hào)：時(shí)間離散、幅度可量化的離散時(shí)間O

21

3信號(hào)。思考：序列只在特定離散點(diǎn)取得樣值，意味著可能丟失原連續(xù)信號(hào)的部分信息！取樣間隔越小，丟失的信息量越少，那么取樣間隔要小到何種程度，才能保留原信號(hào)的全部信息？（取樣定理）X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)等間隔T取樣省略T連續(xù)

f(t)?

?

?

???

f(kT)?

?

??

離散

f(k)

k

=0,±1,±2,...離散信號(hào)的表示方法有以下幾種：(3)

圖形表示(1)

表達(dá)式形式ì

2

,k

3

0kf

(k)4f

(k)

=í0,k

<

0?線段的長(zhǎng)短表示各序列值的大小(2)

序列表示ìü2......f

(k)

=

...,0,0,

1

,2,4,8,...íy1?k=0?t(4)

數(shù)據(jù)表格形式1-

2

-

O

1

2ktk0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7u(tk)

1.2

1.4

1.3

1.7

1.1

1.9

1.8一個(gè)離散信號(hào)可以表示一個(gè)其自變量本來(lái)就是離散的現(xiàn)象，例如在有關(guān)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、年犯罪率統(tǒng)計(jì)、銀行存款利息計(jì)算、每天股票市場(chǎng)指數(shù)變化等等。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)序列的三種類型信號(hào)與系統(tǒng)f

(k)單邊序列：...序列的非零值點(diǎn)具有起點(diǎn)或終點(diǎn)，即f

(k)

=

0,k

<

k0

,右單邊序列f

(k)

=

0,k

>

k0

,左單邊序列ìkOí?f

(k)......雙邊序列：在

-

￥

￡

k

￡

￥

內(nèi)，f

(k)都可能

1

0kOf

(k)有限長(zhǎng)序列：1

0,k1

￡

k

￡

k2=

0,其它kìf

(k)í?Ok1k2kX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算f

(k)

=

f

(k)

+

f

(k)1．相加：2．相乘：12f

(k)

=

f

(k)×f

(k)12f

(k)

=

af1(k)f

(k)

=

f1(k

-

m)

右移位3．?dāng)?shù)乘：4．移位：f

(k)

=

f1(k

+

m)

左移位f

(k)f

(0)f

(1)f

(k

-

1)f

(0)f

(-

1)f

(-

1)f

(1)f

(3)f

(3)231

1-

o31-

o

1

2

4kkf

(2)f

(2)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)￥?f

(k)

=

f1(-k)f

(k)

=

f

(n)5．反折：6．差分：7．累加：1n=-

￥前向差分：Df

(k)

=

f

(k+1)

-

f

(k)后向差分：?f

(k)

=

f

(k)

-

f

(k-

1)采用較多?f

(k)

=

Df

(k

-

1)k?

?(

)

(

)

(

)f

k

?

f

ak

,

或

f

k

?

f8．展縮：?

÷aè

?注意：有時(shí)需去除某些點(diǎn)或補(bǔ)足相應(yīng)的零值。在離散時(shí)間信號(hào)處理中經(jīng)常會(huì)涉及類似的展縮運(yùn)算（稱為抽?。ㄏ?減采樣）與插值（上/增采樣））。￥?2E=

f

(k)9．序列的能量：k=-￥X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院信號(hào)與系統(tǒng)序列的展縮f

(k)例：已知f

(k)波形，請(qǐng)畫(huà)出6k?

?54321f

(2k),

f

波形。?

÷2è

?O

1

2

3

4

5

6k?k

?2è

?f

(2k)f?

÷642654321O

1

2

3

4

5

6O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12kk插值（上/增采樣）抽?。ㄏ?減采樣）X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)5.1.2

離散時(shí)間基本信號(hào)d

(k)1.單位脈沖序列與單位階躍序列0,k

1

01ìd

(k)

=(1)單位脈沖序列í1,k

=

0?k-

1

O

10,k

1

k0ìd

(k

-

1)(k

k

)d

±

=時(shí)移性抽樣性í?01,k

=

k?10f

(k)d

(k)

=

f

(0)d

(k)O

1

k注意：d(

)與單位沖激信號(hào)d(

)的區(qū)別d

用面積

(強(qiáng)度)表示，(

?

，幅度為￥

)(t)t

0;d

在

=

取有限值(不是面積)。(k)

k

0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)利用單位序列表示任意離散時(shí)間信號(hào)f

(k)ìü??(

)f

k

=

1,1.5,0,-

3,íy????t1.5k=02=

d

(

+

)+

d

(

)-

d

(

-

)k

1

1.5

k

3

k

2-

1o134ke(k)-

31...1

k

3

00

k

<

0ìe(k)

=(2)單位階躍序列í?O-11

2

3ke(k)可以看作是無(wú)數(shù)個(gè)單位脈沖序列之和:￥?e(k)

=d

(k)

+d

(k-

1)

+d

(k

-

2)

+d

(k

-

3)

+…

=

d

(k-

n)n=0d

(k)

=

e(k)

-

e(k-

1)k

與

k

是差和關(guān)系，不是微商關(guān)系。d

(

)

e

(

)X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)(

)(W

j

)ü0f

k

=

Asin

k

+2．正弦序列統(tǒng)稱為正弦序列y(

)(W

j

)0余弦序列：f

k

=

Acos

k

+t(W

)sin

kW0

:正弦序列的數(shù)字角頻率2π0sin(w0t)AO當(dāng)W

＝

,

則序列每隔10個(gè)010點(diǎn)重復(fù)一次正弦包絡(luò)的數(shù)值。1510k正弦序列是否一定是周期的？-

A(

)

(W

j

)若離散正弦序列

f

k

=

sin

k

+

是周期序列，則滿足0(

)

(

)f

k

+

N

=

f

k，N

稱為序列的周期（任意正整數(shù)）。(

)WjW

j

(

)即

f

k

+

N

=

sin[

(k+

N

)

+

]

=

sin(

k

+

)

=

f

k00W0

N

=

2p

m（m為整數(shù)）欲使上式成立，則應(yīng)有X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)2p

N

T=

=

為有理數(shù)時(shí)，正弦序列才是周期序列。W

m

T只有當(dāng)0s其中，Ts

和

T

分別是采樣周期和正弦序列的周期。下列信號(hào)是否為周期序列，若是，求周期。4p2(1)

sin(

0.2p

k);

(2)

sin(

k);

(3)

sin(

k)115（1）W0

=

0.2p，

則有：sin(0.2p

k)12p

2pNmsin(w0t)==

10

=W

0.2p100o15k所以N

=

10

，即周期為

10。（2p

中

有10個(gè)W0）-1X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)4π2πW011

11

N（2）W

=

，

則有：=

2π

=

=

,

所以周期

N

=11

。0114π

2

m4psin(

k)113

4

59

101

26

7

81122k一個(gè)周期2p（3）

=

5p

是無(wú)理數(shù)，W0所以為非周期的序列。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)離散信號(hào)

sin(W

k

+j

)與連續(xù)信號(hào)

sin(w

t

+j

)

的關(guān)系與區(qū)別：00(

)

(w

j

)f

t

=

sin

t

+0離散采樣點(diǎn)

kT（T為抽樣周期）上的正弦值ss(

)

(wj

)f

kT

=

sin

kT

+s0s令

Ω

=

w

T，離散正弦信號(hào)00

s(

)

(W

j

)f

k

=

sin

k

+0ì

ω

單位：弧度

/

秒，連續(xù)域的模擬角頻率?0區(qū)別:íΩ0

單位：弧度

，離散域的數(shù)字角頻率??X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)3．指數(shù)序列（1）單邊實(shí)指數(shù)序列

f

(k)=

a

(k)keake

(k)ake

(k)a

>

10

<

a

<

111-

1

O123344-

1

O1234kkkake

(k)ake

(k)a<

-1-

1

<

a<

011-

1

O12-

1

O12

34kX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.1離散時(shí)間基本信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)（2）復(fù)指數(shù)序列(

)(

)

(

)W0

0=jW0k=W

+A[cos

k

j

sin

k

]f

k

Aejarg?é

f

(k)ù?(

)

(

)f

k

=

f

k

e復(fù)序列用極坐標(biāo)表示：f

(k)

=

Aarg

é

f

(k)ù=

W

k?

?復(fù)指數(shù)序列：4．Z

序列0(

)f

k

=

z，

其中z為復(fù)數(shù)k若令

z

=

z

ejW，

則有=

z

k

ejWk

=

z

k

(cosWk+

jsin

Wk)f

(k)=

zkZ

序列可以看成是復(fù)指數(shù)序列。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)5.2

卷積和5.2.1

卷積和的定義￥?(

)(

)

(

)2f

k

=

f

(k)*

f

(k)

=

f

m

f

k

-

m121m=-

￥為f

(k)與f

(k)的卷積和運(yùn)算，簡(jiǎn)稱卷積和；12注意：求和是在虛設(shè)的變量

m下進(jìn)行的，

m為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k

的函數(shù)。若f1

(k)為因果序列，￥?f

(k)*

f

(k)

f

(k)

(k)*

f

(k)=e=

(

)

(

-

)f

i

f

k

i121212i=0若f

(k)、f

(k)均為因果序列，12k?f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)e(k)*

f

(k)e(k)

=

f

(i)

f

(k-

i)121212i=0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)在求卷積和時(shí)經(jīng)常用到的幾個(gè)重要關(guān)系式：ìNa

=1??N

-

11-

aN??n(1)有限項(xiàng)求和公式：

a

=對(duì)任意復(fù)數(shù)

a

1

1í??1-

an=02pj()0a

=

e?N?￥1?an

=(2)若|a|<1，則(3)若|a|<1，則1-

an=0￥a?nan

=(1-

a)2n=0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)離散卷積和的計(jì)算方法：可用于求無(wú)限長(zhǎng)序列的卷積和1.解析式法2.圖解法主要適合于求有限長(zhǎng)序列的卷積和3.矩陣計(jì)算法4.對(duì)位相乘求和法5.利用性質(zhì)

可用于求無(wú)限長(zhǎng)序列的卷積和實(shí)際應(yīng)用中序列的長(zhǎng)度往往都是有限的！X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)例5.1

f

(k)=a

ke

(k),

f

(k)=bk

e

(k)，求

f

(k)*f

(k)。1212解：因?yàn)?/p>

f

(k)

和

f

(k)均為因果信號(hào)，故12m￥kka?

????m

k-

mkf

(k)*

f

(k)

=

f

(m)

f

(k

-

m)

=

a

b

=

b?

÷1212bè

?m=-

￥m=0m=0根據(jù)有限項(xiàng)求和公式可得ì1-

(a

b)k+1解析式法k?

ba

1

b,k

>

0?

1-

a

bf

(k)*

f

(k)

=í??12bk

(k

+1)

a

=

b,k

>

00k

<

0?e

(k)*e

(k)

=

(k

+1)e

(k)同理可求得：1-

ak+1ke

(

)*e

(

)

=ke

(

)a

k

k1-

aX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)5.2.2

卷積和的圖解機(jī)理（圖解法）￥?由卷積和的定義：

f

(k)

=

f

(i)

f

(k

-

i)12i=-￥卷積過(guò)程可分解為四步：（1）換元：

k

換為

i

，得

f

(i)，

f

(i)，畫(huà)出圖形；12（2）翻轉(zhuǎn)：由

f

(i)

反轉(zhuǎn)得

f

(–i)；22（3）平移：

將f

(–i)平移

|k|得到

f

(k–i)，若k>0，右移，22若k<0，左移；（4）乘積：

f

(i)f

(k–

i)；12（5）求和：

i

從

–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)求和。注意：k

為參變量。演示下面舉例說(shuō)明。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)f1(

i

)22例：f

(k)、

f

(k)如圖所示，已知121.5-11.5f(k)=f

(k)*f

(k)，求f(2)=？112ii￥013-2-2?=-f

(i)

f

(2

i)解：f

(2)12f2(

i

)i=-￥f2(–i

)f2(2–i)1（1）換元（2）

f

(i)反轉(zhuǎn)得

f

(–

i)-1012322（3）

f

(–i)右移2得

f

(2–i)22（4）

f

(i)乘

f

(2–i)12（5）求和，得

f(2)=

4.5X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)5.2.3

卷積和的矩陣計(jì)算法若有兩個(gè)序列

f

(k)和

f

(k)，試求

f(k)=f

(k)*f

(k)。1212X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)(2)對(duì)位相乘求和法ìüìü????已知

f

(k)

=

3,

4,

0

,

6,

0

，f

(k)

=

0,

2

,

1,

5,

0

，í?yíy12??????t?tk=0k=0求：y(k)=

f

(k)*

f

(k)1

2f1(k)f2(k)3，

4，

0，

62，

1

，

5×

————————15，20，

0，

30步驟：①兩序列右對(duì)齊（注意去掉為0的值）②逐個(gè)樣值對(duì)應(yīng)相乘但不進(jìn)位3，

4，

0，

66，

8，

0，

12+

————————————6，11，19，32，6，30③同列乘積值相加（注意k

=0的點(diǎn)）所以

y(k)={

6，11，19，32，6，30}↑k=0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)說(shuō)明：有限長(zhǎng)序列卷積和

y(k)的非零元素個(gè)數(shù)(

)設(shè)

y

k

=

f

(k)*

f

(k)12f1(k)f2

(k)y(k)LA個(gè)非零元素如果：LB個(gè)非零元素L

=

L

+

L

-

1個(gè)非零元素那么：如果：ABf

(k)序列非零區(qū)間：k

￡

k

￡

k，112f

(k)序列非零區(qū)間：k

￡

k

￡

k234y(k)序列非零區(qū)間：(k

+

k

)￡

k

￡(k

+

k

)那么：1324X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)5.2.4

離散卷積和的性質(zhì)性質(zhì)1系統(tǒng)級(jí)聯(lián)f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)(1)交換律1221[](2)結(jié)合律

f

(k)*

f

(k)*

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)*

f

(k)123123[](3)分配律

f

(k)*

f

(k)+

f

(k)

=

f

(k)*

f

(k)+

f

(k)*

f

(k)1231213(

)

d

(

)

d

(

)

(

)性質(zhì)2

f

k

*

k

=

k

*

f

k

=f

(k)系統(tǒng)并聯(lián)性質(zhì)3

時(shí)移性質(zhì)則

f

(k

-

k

)*

f

(k

-

k

)

=

y(k

-

k

-

k

)

=

f

(k

-

k

)*

f

(k

-

k

)1122121221性質(zhì)4

取樣特性f

(k)*d

(k

-

k

)

=

f

(k-

k

)

=

f

(k

-

k

)*d

(k)000卷積和不存在微分、積分性質(zhì)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.2

卷積和信號(hào)與系統(tǒng)例5.4

已知序列

f1

(k)

=

2-

(k+1)

(k

+1)

和

f

(k)

=

(k

-

2)

，ee2試計(jì)算卷積和

f

(k)*

f

(k)

。121-

ak+1解：由keee，令

a=1/2，則(k)a

(k)*

(k)

=1-

ak-

kee

(

)

ee-

ke2

(k)*

(k)

=12(k)*

(k)

=

(2

-

2

)

(k)設(shè)

g(k)

=

2-

k

e(k)*e(k)

，由時(shí)移性質(zhì)，可得-

(k+1)ee(k

+1)*

(k

-

2)

=

g(k

+1-

2)

=

g(k

-

1)f

(k)*

f

(k)

=

212-

(k-

1)e-

ke=[2

-

2

]

(k

-

1)

=

2(1-

2

)

(k

-

1)性質(zhì)5

篩選特性

f

(k)d

(k)

=

f

(0)

d

(k)f

(k)d

(k

-

k

)

=

f

(k

)

d

(k

-

k

)000常用序列的卷積和公式見(jiàn)教材222頁(yè)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)5.3

離散系統(tǒng)的基本概念定義：激勵(lì)、響應(yīng)均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)，稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可y(k)f

(k)離散系統(tǒng)表示為

y(k)

=

T[

f

(k)]圖5.9

離散系統(tǒng)的輸入輸出模型f

(k)

?

y(k)簡(jiǎn)寫為符號(hào)“T”和“→”表示系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的變換作用。1.

離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量離散時(shí)間系統(tǒng)在k0時(shí)刻的狀態(tài)是指滿足如下條件的數(shù)目最少的一組數(shù)據(jù){x

(k

),x

(k

),…,x

(k

)}。

這組數(shù)據(jù)連同k

～k上1

02

0n

00的輸入

f(k)就可以惟一地確定

k

時(shí)刻的輸出

y(k)，而不需具體知道

k

0以前的輸入情況。n

稱為離散系統(tǒng)的階數(shù)。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.3

離散系統(tǒng)的基本概念信號(hào)與系統(tǒng)在實(shí)際工作過(guò)程中，系統(tǒng)的狀態(tài){x

(k

),x

(k

),…,x

(k

)}隨1

02

0n

0k0不同而變化。把描述系統(tǒng)狀態(tài)變化的變量稱作狀態(tài)變量，它是一組序列信號(hào)，記為{x

(k),x

(k),…,x

(k)}。12n2.

離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)設(shè)

k0為初始觀察時(shí)刻，則可將系統(tǒng)的輸入?yún)^(qū)分為兩部分，稱

k

以前的輸入為歷史輸入信號(hào)，稱

k

及

k

以后的輸入為當(dāng)前000輸入信號(hào)或簡(jiǎn)稱輸入信號(hào)。u僅由

k0時(shí)刻的初始狀態(tài)或歷史輸入信號(hào)引起的響應(yīng)稱作零輸入響應(yīng)，記為yx(k)；u僅由當(dāng)前輸入信號(hào)引起的響應(yīng)稱作零狀態(tài)響應(yīng)，記為yf(k)。u將y

(k)

、

y

(k)之和

稱作系統(tǒng)的完全響應(yīng)，記為y(k)。xfX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.3

離散系統(tǒng)的基本概念信號(hào)與系統(tǒng)3.

離散時(shí)間系統(tǒng)的分類線性系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非因果系統(tǒng)若

f

(k

)

?

y

(k

),

f

(k

)?

y

(k

)線性系統(tǒng)：1122則

af

(k)+bf

(k)

?

ay

(k)+by

(k)1212時(shí)不變系統(tǒng)：

若

f

(k)

?

y(k)則

f

(k

-

m

)

?

y(k

-

m

)00因果系統(tǒng)：若k

<

0時(shí)，f

(k)

=

0；那么k

<

0時(shí)，y(k)

=

0X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.3

離散系統(tǒng)的基本概念信號(hào)與系統(tǒng)例如，有三個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系如下，判斷其線性性和時(shí)變性：系統(tǒng)

1

y(k)=kf(k)系統(tǒng)

2

y(k)=|f(k)|線性時(shí)變系統(tǒng)；非線性時(shí)不變系統(tǒng)；系統(tǒng)

3

y(k)=2f(k)+3f(k-1)

線性時(shí)不變系統(tǒng)。4.

離散系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)學(xué)模型一個(gè)n階線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)，若其輸入為f(k)，全響應(yīng)為y(k)，那么，描述該系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是

n階線性常系數(shù)差分方程：y(k)

+

a

y(k

-

1)

+L+

a

y(k

-

n)n-

10=

b

f

(k)

+

b

f

(k

-

1)

+L+

b

f

(k

-

m)mm-

10式中，a

(i=0,

1,…,n-1)，b

(j=0,

1,…,

m)均為常數(shù)。ijX長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院第5章

離散信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析信號(hào)與系統(tǒng)5.4

離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)線性常系數(shù)差分方程的解法1.迭代法2.時(shí)域經(jīng)典法：齊次解+特解3.零輸入響應(yīng)

+

零狀態(tài)響應(yīng)(利用卷積求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng))時(shí)域法4.z變換法?

反變換?

y(k)變換域法5.4.1

離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

yx(k)輸入信號(hào)

f(k)為零，就可得到求解零輸入響應(yīng)

yx(k)

的差分方程[即

f(k)=0時(shí)，

y(k)=yx(k)]，其一般形式為y

(k)

+

a

y

(k

-

1)

+L+

a

y

(k

-

n)

=

0xn-

1

x0

x時(shí)域求解法從略。X長(zhǎng)沙理工大學(xué)

電氣與信息工程學(xué)院5.4

離散時(shí)間系統(tǒng)的響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)5.4.2

離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

yf

(k)系統(tǒng)在初始觀察時(shí)刻k0時(shí)的狀態(tài)或者歷史輸入為零時(shí)，僅由k≥k0時(shí)加入的輸入所引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)。其滿足的差分方程為y

(