湖南省長沙市2023-2024學年高一下學期期末數(shù)學試題（解析版）

湖南省長沙市2023-2024學年高一下學期期末調研數(shù)學試卷一、單選題1.若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A.0 B.1 C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程求解.【詳解】根據(jù)題意，復數(shù)是純虛數(shù)，所以且，解得.故選：A2.已知一組數(shù)據(jù)4，8，9，3，3，5，7，9，則（）A.這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為8 B.這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù)C.這組數(shù)據(jù)的極差為5 D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結合上四分位數(shù)、眾數(shù)、極差、平均數(shù)的意義依次判斷即得.【詳解】對于A，給定數(shù)據(jù)由小到大排列為3，3，4，5，7，8，9，9，而，所以這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為，A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3和9，B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)的極差為6，C錯誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確.故選：D3.已知，為實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的等價思想，作差分析，結合充分性與必要性進行推理即可.【詳解】由，得，所以，充分性成立；由，得，不妨取滿足不等式，所以推不出，從而得不到，必要性不成立.故選:A.4.在三角形中，，則（）A.10 B.22 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律計算即可.【詳解】.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函數(shù)圖象的對稱性得，再根據(jù)誘導公式和二倍角的余弦公式可求出結果.【詳解】因為，所以，即，，所以.故選：B6.我國古代《九章算術》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為芻童.如圖池盆幾何體是一個芻童，其中上，下底面均為正方形，且邊長分別為8和4，側面是全等的等腰梯形，且梯形的高為，則該盆中最多能裝的水的體積為（）A. B. C. D.448【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，這個芻童為棱臺，求出棱臺的高，再根據(jù)棱臺的體積公式即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意可知，這個芻童為棱臺，如圖，為垂直底面的截面，則棱臺的高為，所以該幾何體的體積為，即該盆中最多能裝的水的體積為.故選：B7.已知函數(shù)是定義在上周期為4的奇函數(shù)，且，則不等式在上的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，作出函數(shù)在上的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】因為函數(shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且，所以當時，；當時，，所以；當時，，所以，函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度得到，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示．由圖可知不等式在上解集為．故選：B．8.在中，，為外心，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形外心性質及數(shù)量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據(jù)余弦定理及基本不等式可求得最值．【詳解】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，則，故，又，設，則，當且僅當時等號成立，由可知，，故的最大值為30°．故選：A．二、多選題9.在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（）A.直線與是異面直線B.直線與所成的角是C.直線平面D.平面截正方體所得的截面面積為.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)異面直線成角，線面垂直的判定定理，梯形面積公式逐項判斷即可.【詳解】對于A，由于平面，平面，故直線與異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構成直角三角形，所以與不垂直，故假設錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接，因為，所以，所以平面截正方體所得的截面為梯形，且，所以梯形的高為，所以截面面積為，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.C.直線為圖象的一條對稱軸D.將圖象上的所有點向左平移個單位長度得到的圖象【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得，可得判定A正確，B不正確，再結合三角函數(shù)的性質，以及三角函數(shù)的圖象變換，可判定C、D正確.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，可得，則，又由，所以，又由，即，因為，所以，可得，所以，所以A正確；B不正確；對于C中，由為函數(shù)的最大值，所以直線為圖象的一條對稱軸，所以C正確；對于D中，將圖象上的所有點向左平移個單位長度，可得，所以D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)其中，且，則（）A. B.函數(shù)有2個零點C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先作出函數(shù)圖象，結合圖象逐一判定即可.【詳解】解：，故A正確；作出函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可知，，而，故y=fx，有即函數(shù)有3個零點，故B錯誤；由對稱性，，而，故，故C正確；b，c是方程的根，故，令，則，故，而，均為正數(shù)且在0,4上單調遞增，故，故D正確，故選：ACD.三、填空題12.數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的方差為_________．【答案】4【解析】【分析】直接利用方差公式求解即可.【詳解】設的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，所以的方差為：.故答案為：4.13.在《九章算術》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，四棱錐為陽馬，側棱底面為棱的中點，則直線與平面所成角的余弦值為____________.【答案】##【解析】【分析】首先證明平面，再根據(jù)線面角的定義，即可作出線面角的平面角，再計算這個平面角的大小.【詳解】因為平面ABCD，平面ABCD，故可得，又，，平面，故平面，連接，故即為所求直線與平面所成角.由，故在直角三角形中，，故，則，則直線CE與平面PAD所成角的余弦值為，故答案為：.14.設定義在上的函數(shù)的值域為A，若集合A為有限集，且對任意，存在，使得，則滿足條件的集合A的個數(shù)為______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)題意，得到A中最大元素不超過1，最小元素不小于，再跟進集合元素個數(shù)，分類討論，結合集合中元素的性質，即可求解.【詳解】解：若A中最大元素為大于1的元素為a，則，不滿足題意，故A中最大元素不超過1，同理可得A中最小元素不小于，若集合A中只有一個元素a，則，可得或，所以或，若集合A中有兩個元素，則或，當時，可得（舍去）或，此時，可得，所以；當時，，所以，可得，截得，所以，所以或（舍去），所以；若集合A中有三個元素，則或或，當時，或（舍），此時，，，所以，或，解得，，（舍去），當時，，，可得，，所以，，即，其集合A中有四個或四個以上元素，則由上推導可得，，，矛盾，即此時A無解．綜上，所滿足條件的集合A可以為，共5個．故答案為：5．四、解答題15.某重點中學100位學生在市統(tǒng)考中的理科綜合分數(shù)，以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求理科綜合分數(shù)的中位數(shù)；【答案】（1）（2）224【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；（2）首先判斷中位數(shù)在內，再設出未知數(shù)，列出方程，解得即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，解得：.【小問2詳解】由于，，因此理科綜合分數(shù)的中位數(shù)在內，設中位數(shù)為，由，解得，∴月平均用電量的中位數(shù)為224.16.已知為虛數(shù)單位，是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根.（1）設滿足方程，求；（2）設，復數(shù)所對的向量分別是與，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設出的代數(shù)形式根據(jù)復數(shù)相等可得答案；（2）求出與的坐標，根據(jù)向量夾角為鈍角列出的不等式可得答案.【小問1詳解】不妨設，則，因為滿足方程，所以，可得，所以，解得，所以，或；【小問2詳解】設，則，因為復數(shù)所對的向量分別是與，所以，，可得，，若向量與的夾角為鈍角，則，且，即，且，解得，，實數(shù)的取值范圍是.17.已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集;（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）依題意可得，即可得到，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質解得即可；（2）令，則，依題意可得對任意恒成立，參變分離可得對任意恒成立，再由基本不等式求出的最小值，即可得解.【小問1詳解】當時，可得，即，即，整理得，因為，所以，解得，所以不等式的解集為；【小問2詳解】因為，令，則，可得，由，可得，因為，恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，又因為，當且僅當，即時取等號，所以，即實數(shù)的取值范圍為．18.如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，，是圓柱的兩條母線．（1）求證：平面；（2）若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，通過線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面垂直即可；（2）先作出底面的垂線，再由垂足作兩個面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構成二面角的平面角求解即可.【小問1詳解】因為是底面的一條直徑，是下底面圓周上異于的動點，所以，又因為是圓柱的一條母線，所以底面，而底面，所以，因為平面，平面，且，所以平面，又因為，所以平面平面；【小問2詳解】如圖所示，過作圓柱的母線，連接，因為底面//上底面，所以即求平面與平面所成銳二面角的大小，因為在底面的射影為，且為下底面的直徑，所以為上底面的直徑，因為是圓柱的母線，所以平面，又因為為上底面的直徑，所以，而平面，所以為平面與平面所成的二面角的平面角，又因為在底面射影為，所以，，所以，又因為母線長為，所以，又因為平面，平面，所以，所以,所以，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.19.已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若，判斷在的單調性，并用定義法給出證明；（3）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）單調遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，得到方程，求出；（2）先得到，定義法判斷函數(shù)單調性步驟，取值，作差，判號，下結論；（3）參變分離得到，構